Vậy bài toán giờ là tìm hai số nguyên tố 𝐴 A và 𝐵 B, sao cho: ( 10 𝐴 + 𝐵 ) − ( 10 𝐵 + 𝐴 ) = 𝑛 2 (10A+B)−(10B+A)=n 2 với 𝑛 n là một số nguyên và 𝐴 > 𝐵 > 0 A>B>0. Ta có thể đơn giản hóa phương trình này: ( 10 𝐴 + 𝐵 ) − ( 10 𝐵 + 𝐴 ) = 9 𝐴 − 9 𝐵 = 9 ( 𝐴 − 𝐵 ) (10A+B)−(10B+A)=9A−9B=9(A−B) Vậy điều kiện bài toán trở thành: 9 ( 𝐴 − 𝐵 ) = 𝑛 2 9(A−B)=n 2 Điều này có nghĩa là 𝐴 − 𝐵 A−B phải là một bội số của 9, tức là 𝐴 − 𝐵 = 9 A−B=9 (vì 𝑛 2 n 2 phải là một số chính phương). Vậy ta có: 𝐴 − 𝐵 = 9 A−B=9 Do đó, 𝐴 = 𝐵 + 9 A=B+9. Với điều kiện 𝐴 A và 𝐵 B là các số nguyên tố và 𝐴 > 𝐵 > 0 A>B>0, ta sẽ thử các giá trị của 𝐵 B để tìm ra 𝐴 A sao cho cả hai đều là số nguyên tố. Chúng ta sẽ thử nghiệm với các số nguyên tố nhỏ: Nếu 𝐵 = 2 B=2, thì 𝐴 = 2 + 9 = 11 A=2+9=11 (và 11 là số nguyên tố). Nếu 𝐵 = 3 B=3, thì 𝐴 = 3 + 9 = 12 A=3+9=12 (12 không phải là số nguyên tố). Nếu 𝐵 = 5 B=5, thì 𝐴 = 5 + 9 = 14 A=5+9=14 (14 không phải là số nguyên tố). Nếu 𝐵 = 7 B=7, thì 𝐴 = 7 + 9 = 16 A=7+9=16 (16 không phải là số nguyên tố). Nếu 𝐵 = 11 B=11, thì 𝐴 = 11 + 9 = 20 A=11+9=20 (20 không phải là số nguyên tố). Vậy chỉ có 𝐵 = 2 B=2 và 𝐴 = 11 A=11 là phù hợp, với điều kiện 𝐴 > 𝐵 > 0 A>B>0. Kết luận: 𝐴 = 11 A=11, 𝐵 = 2 B=2 là cặp số nguyên tố duy nhất thỏa mãn bài toán. Ta kiểm tra lại hiệu giữa hai số này: ( 10 𝐴 + 𝐵 ) − ( 10 𝐵 + 𝐴 ) = ( 10 × 11 + 2 ) − ( 10 × 2 + 11 ) = 112 − 31 = 81 (10A+B)−(10B+A)=(10×11+2)−(10×2+11)=112−31=81 Mà 81 = 9 2 81=9 2 , là một số chính phương. Vậy, cặp 𝐴 = 11 A=11 và 𝐵 = 2 B=2 là đáp án chính xác cho bài toán này.

Để tìm số nguyên tố AB có hai chữ số và thỏa mãn điều kiện ( 𝐴 𝐵 ) − 𝑏 𝑎 ‾ là một số chính phương, ta thực hiện các bước sau: Diễn đạt các số AB và 𝑏 𝑎 ‾ : Giả sử 𝐴 và 𝐵 là các chữ số, với 𝐴 và 𝐵 thuộc khoảng từ 0 đến 9 và 𝐴 ≠ 0 (vì AB là số có hai chữ số). Khi đó, 𝐴 𝐵 = 10 𝐴 + 𝐵 và 𝑏 𝑎 ‾ = 10 𝐵 + 𝐴 . Điều kiện số chính phương: Theo đề bài, ( 10 𝐴 + 𝐵 ) − ( 10 𝐵 + 𝐴 ) = 𝑘 2 (với 𝑘 là một số nguyên). Suy ra, 9 𝐴 − 9 𝐵 = 𝑘 2 hay 9 ( 𝐴 − 𝐵 ) = 𝑘 2 . Xét điều kiện số chính phương: Do 9 ( 𝐴 − 𝐵 ) = 𝑘 2 , nên 𝐴 − 𝐵 phải là một số chính phương chia hết cho 9. Các giá trị của 𝑘 2 có thể là: 0 , 9 , 36 , 81 . Xét từng trường hợp: Với 𝑘 2 = 0 : 𝐴 − 𝐵 = 0 ⇒ 𝐴 = 𝐵 (không thể vì AB phải là số có hai chữ số khác nhau). Với 𝑘 2 = 9 : 𝐴 − 𝐵 = 1 hoặc 𝐴 − 𝐵 = − 1 . Với 𝐴 − 𝐵 = 1 : Các cặp số (A, B) có thể là (2, 1), (3, 2), ..., (9, 8). Với 𝐴 − 𝐵 = − 1 : Các cặp số (A, B) có thể là (1, 2), (2, 3), ..., (8, 9). Kiểm tra tính nguyên tố: Xét từng cặp số (A, B) từ trên, tìm số AB là số nguyên tố: (2, 1): AB = 21 (không phải số nguyên tố) (3, 2): AB = 32 (không phải số nguyên tố) (4, 3): AB = 43 (số nguyên tố) (5, 4): AB = 54 (không phải số nguyên tố) (6, 5): AB = 65 (không phải số nguyên tố) (7, 6): AB = 76 (không phải số nguyên tố) (8, 7): AB = 87 (không phải số nguyên tố) (9, 8): AB = 98 (không phải số nguyên tố) (1, 2): AB = 12 (không phải số nguyên tố) (2, 3): AB = 23 (số nguyên tố) (3, 4): AB = 34 (không phải số nguyên tố) (4, 5): AB = 45 (không phải số nguyên tố) (5, 6): AB = 56 (không phải số nguyên tố) (6, 7): AB = 67 (số nguyên tố) (7, 8): AB = 78 (không phải số nguyên tố) (8, 9): AB = 89 (số nguyên tố) Từ đó, các số nguyên tố AB thoả mãn điều kiện bài toán là: 43, 23, 67, 89.

Nhóm các hạng tử có chứa 𝑥 x và 𝑦 y: 2 𝑥 𝑦 + 14 𝑥 + 𝑦 = 33 2xy+14x+y=33 Nhóm các hạng tử có chứa 𝑥 x và 𝑦 y: 2 𝑥 ( 𝑦 + 7 ) + 𝑦 = 33 2x(y+7)+y=33 Biến đổi phương trình: 2 𝑥 ( 𝑦 + 7 ) + 𝑦 = 33 2x(y+7)+y=33 Thêm 7 vào cả hai vế: 2 𝑥 ( 𝑦 + 7 ) + ( 𝑦 + 7 ) = 40 2x(y+7)+(y+7)=40 Nhân vế trái: ( 𝑦 + 7 ) ( 2 𝑥 + 1 ) = 40 (y+7)(2x+1)=40 Tìm các cặp số nguyên 𝑥 x và 𝑦 y thỏa mãn: Ta xét các ước của 40: ± 1 , ± 2 , ± 4 , ± 5 , ± 8 , ± 10 , ± 20 , ± 40 ±1,±2,±4,±5,±8,±10,±20,±40. Vì 2 𝑥 + 1 2x+1 là số lẻ, nên 𝑦 + 7 y+7 phải là một trong các ước lẻ của 40: ± 1 , ± 5 ±1,±5. Từ đó, ta có các trường hợp sau: Trường hợp 1: 𝑦 + 7 = 1 y+7=1 và 2 𝑥 + 1 = 40 2x+1=40 Giải hệ: 𝑦 = − 6 , 𝑥 = 19 y=−6,x=19 Trường hợp 2: 𝑦 + 7 = − 1 y+7=−1 và 2 𝑥 + 1 = − 40 2x+1=−40 Giải hệ: 𝑦 = − 8 , 𝑥 = − 21 y=−8,x=−21 Trường hợp 3: 𝑦 + 7 = 5 y+7=5 và 2 𝑥 + 1 = 8 2x+1=8 Giải hệ: 𝑦 = − 2 , 𝑥 = 3 y=−2,x=3 Trường hợp 4: 𝑦 + 7 = − 5 y+7=−5 và 2 𝑥 + 1 = − 8 2x+1=−8 Giải hệ: 𝑦 = − 12 , 𝑥 = − 9 y=−12,x=−9 Kết luận: Các cặp số nguyên 𝑥 x và 𝑦 y thỏa mãn phương trình là: ( 𝑥 , 𝑦 ) = ( 19 , − 6 ) , ( − 21 , − 8 ) , ( 3 , − 2 ) , ( − 9 , − 12 ) (x,y)=(19,−6),(−21,−8),(3,−2),(−9,−12) Vậy, các nghiệm của phương trình là ( 𝑥 , 𝑦 ) = ( 19 , − 6 ) , ( − 21 , − 8 ) , ( 3 , − 2 ) , ( − 9 , − 12 ) (x,y)=(19,−6),(−21,−8),(3,−2),(−9,−12).

với p=2ta có

p+2=2+2=4(loại)

với p=3ta có

p+10=3+10=13

p+20=3+20=23

suy ra p=3 là hợp lí

với p>3 thì p có dạng là 3k=1 và 3k=2

với p=3k+1 ta có

p+20=3k+1+20=3k+21(loại)

với p=3k=2 ta có 

p+10=3k+2+10=12(loại) 

Vập p = 3

Nhớ tick cho mình nhé!

Gọi số cây mỗi lớp phải trồng là x (cây) (170 < x < 200).

Mỗi học sinh lớp 6A phải trồng 6 cây, mỗi học sinh lớp 6B phải trồng 8 cây

⇒x∈BC(6;8)={24;48;72;...;168;192;216;...}⇒x∈BC(6;8)={24;48;72;...;168;192;216;...}

Mà số số cây đó trong khoảng từ 170 đến 200 ⇒x=192⇒x=192 (cây)

Vậy số cây mỗi lớp phải trồng là 192 cây.

P là số nguyên tố lớn hơn 3 => P không chia hết cho 2 cho 3 

Ta có :P không chia hết cho 2

=> P-1 và P+1 là 2 số chẵn liên tiếp => (P-1)(P+1) chia hết cho 8 (1)

Mặt khác:P không chia hết cho 3

Nếu P= 3k +1 thì P-1 =3k chia hết cho 3 => (P-1(P+1) chia hết cho 3

Tương tự: Nếu P= 3k+2 thì P+1=3k +3 chia hết cho 3 => (P-1(P+1) chia hết cho 3(2)

Từ (1)(2)=>(P-1)(P+1) chia hết cho 8 cho 3 mà (8;3)=1 =>(P-1)(P+1) chia hết cho 24