Đặt (t = \log_3 x

Ta có: [(2t^2 - t - 1)\sqrt{5^t - m} = 0]

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

(2t^2 - t - 1 = 0) có hai nghiệm phân biệt.

(5^t - m = 0) có nghiệm.

 Hai nghiệm của (2t^2 - t - 1 = 0) khác nghiệm của (5^t - m = 0).

(2t^2 - t - 1 = 0) có (\Delta = (-1)^2 - 4(2)(-1) = 9 > 0), nên có hai nghiệm phân biệt là (t_1 = 1) và (t_2 = -1/2).

 (5^t - m = 0 \Leftrightarrow 5^t = m).

Phương trình này có nghiệm khi (m > 0).

Biện luận số nghiệm của phương trình:

 Nếu (t = 1) là nghiệm của (5^t = m), thì (5^1 = m \Rightarrow m = 5).

Nếu (t = -1/2) là nghiệm của (5^t = m), thì (5^{-1/2} = m \Rightarrow m = 1/\sqrt{5}).

Vậy, để phương trình có đúng hai nghiệm phân biệt, (m) phải khác 5 và (1/\sqrt{5}).

 (m) là số nguyên dương, (m > 0).

 (m \ne 5).

(m \ne 1/\sqrt{5}).

Vậy, các giá trị nguyên dương của (m) thỏa mãn là (1, 2, 3, 4, 6, 7, ...).

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD.

Vì M là trung điểm SD, kẻ MH // SO (H thuộc OD).

Do SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD), nên MH cũng vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

Vậy H là hình chiếu của M trên mặt phẳng (ABCD).

 Góc giữa BM và (ABCD) là góc BMH

Tam giác SOD vuông tại O, SO = √(SD² - OD²) = √((2a)² - (a√2)²) = √(4a² - 2a²) = a√2.

MH là đường trung bình của tam giác SOD, MH = SO/2 = a√2/2.

OD = AC/2 = (2a√2)/2 = a√2.

OH = OD/2 = a√2/2.

Tam giác BOH vuông tại O

BH = √(BO² + OH²) = √((a√2)² + (a√2/2)²) = √(2a² + a²/2) = √(5a²/2) = a√(10)/2.

Xét tam giác BMH vuông tại H

tan(BMH) = MH/BH = (a√2/2) / (a√(10)/2) = √2 / √10 = √(2/10) = √(1/5) = √5/5.

Gọi (x) là giá trị căn nhà.

 Số tiền vay ngân hàng là 85% giá trị căn nhà, tức là (0.85x).

 Số tiền vay từ người thân là 15% giá trị căn nhà, tức là (0.15x).

Tổng số tiền có được là (0.85x + 0.15x = x), đúng bằng giá trị căn nhà.

6 tháng đầu: Lãi suất 5%/năm, tương đương 5%/12 mỗi tháng.

Từ tháng thứ 7 trở đi: Lãi suất 12%/năm, tương đương 12%/12 = 1%/tháng.

 [M = P \frac{r(1+r)^n}{(1+r)^n - 1}]

Trong đó:

(P = 0.85x) (số tiền vay ngân hàng)

(r = 0.01) (lãi suất 1% mỗi tháng)

(n = 20 \times 12 = 240) (20 năm = 240 tháng)

 (M = 15,000,000) (khoản trả nợ hàng tháng)

Thay các giá trị vào công thức:

[15,000,000 = 0.85x \frac{0.01(1+0.01)^{240}}{(1+0.01)^{240} - 1}]

 [15,000,000 = 0.85x \frac{0.01(1.01)^{240}}{(1.01)^{240} - 1}]

 [15,000,000 = 0.85x \frac{0.01 \times 10.89255}{(10.89255 - 1)}]

[15,000,000 = 0.85x \frac{0.1089255}{9.89255}]

 [15,000,000 = 0.85x \times 0.011011]

[15,000,000 = 0.00935935x]

[x = \frac{15,000,000}{0.00935935}]

 [x \approx 1,602,746,800]

 Kết luận

Với khả năng trả nợ 15 triệu/tháng và các điều kiện vay của PVcomBank, người đó có thể mua được căn nhà có giá trị tối đa khoảng 1,602,746,800

Gọi AxAx​ là biến cố "Xạ thủ thứ x bắn trúng mục tiêu", với $x\in \left\{1;2\right\}$

Theo đề, ta có:

{A1=0,7A2=0,8{A1​=0,7A2​=0,8​

=>{A1‾=1−0,7=0,3A2‾=1−0,8=0,2{A1​​=1−0,7=0,3A2​​=1−0,8=0,2​

Xác suất để mục tiêu bị bắn trúng là:

A1⋅A2‾+A1‾⋅A2+A1⋅A2A1​⋅A2​​+A1​​⋅A2​+A1​⋅A2​

$=0,7\cdot 0,2+0,8\cdot 0,3+0,7\cdot 0,8$

=0,14+0,24+0,56

=0,94

OI là đường trung bình của hình vuông ABCD nên OI = a

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Thay OH = a√2 và OI = a:

1/(2a²) = 1/SO² + 1/a² * 1/SO² = 1/(2a²) - 1/a² = -1/(2a²)

Đặt x=5(triệu đồng), y=0,33%

5 năm=60 tháng

Gọi A_n là số tiền ông Đại có được sau n tháng

\(\text{A 1 ​ =x(1+y)}\)

\(\text{A 2 ​ =(A 1 ​ +x)⋅(1+y)=[x(1+y)+x](1+y)=x(1+y) 2 +x(1+y)}\)

\(\text{A 3 ​ =(A 2 ​ +x)(1+y)=x(1+y) 3 +x(1+y) 2 +x(1+y)}\)

\(\text{A n ​ =(A n−1 ​ +x)(1+y)=x(1+y) n +x(1+y) n−1 +...+x(1+y)}\)\(\text{=x(1+y)⋅ 1−(1+y) 1−(1+y) n ​ }\)

\(\text{A 60 ​ =5(1+0,33%)⋅ 1−(1+0,33%) 1−(1+0,33%) 60 ​ ≃}\) \(332,25\)(triệu đồng)