Không gian mẫu của phép thử là:

 

Ω

=

⎧

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎨

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎩

(

1

,

2

)

;

(

1

,

3

)

;

(

1

,

4

)

;

(

2

,

1

)

;

(

2

,

3

)

;

(

2

,

4

)

;

(

3

,

1

)

;

(

3

,

2

)

;

(

3

,

4

)

;

(

4

,

1

)

;

(

4

,

2

)

;

(

4

,

3

)

⎫

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎬

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎪

⎭

 

Số các kết quả có thể xảy ra (số phần tử của không gian mẫu) là 

n

(

Ω

)

=

12

.

 

Gọi A là biến cố "Lấy được 2 viên bi mà tổng hai số trên hai viên bi đó là số lẻ".

 

Số kết quả thuận lợi của biến cố A là 

n

(

A

)

=

8

.

 

Xác suất của biến cố A là 

P

(

A

)

=

n

(

A

)

n

(

Ω

)

=

8

12

=

2

3

.

 

 

Do BH, CK là đường cao ∆ABC nên BH ⊥ AC, CK ⊥ AB.

 

Xét ∆ABH vuông tại H có 

ˆ

B

A

H

=

45

∘

 nên 

ˆ

A

B

H

=

90

∘

−

ˆ

B

A

H

=

90

∘

−

45

∘

=

45

∘

.

 

Mặt khác, 

ˆ

A

B

D

=

ˆ

A

C

D

 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) nên 

ˆ

A

C

D

=

45

∘

.

 (1)

 

Tương tự, ta có 

ˆ

A

C

K

=

90

∘

−

ˆ

C

A

K

=

90

∘

−

45

∘

=

45

∘

.

 (2)

 

Từ (1) và (2) suy ra 

ˆ

D

C

E

=

ˆ

A

C

D

+

ˆ

A

C

K

=

45

∘

+

45

∘

=

90

∘

 

Mà 

ˆ

D

C

E

 là góc nội tiếp chắn cung DE nên DE là đường kính của đường tròn (O).

 

Vậy ba điểm D, O, E thẳng hàng.

 

Do BH, CK là đường cao ∆ABC nên BH ⊥ AC, CK ⊥ AB.

 

Xét ∆ABH vuông tại H có 

ˆ

B

A

H

=

45

∘

 nên 

ˆ

A

B

H

=

90

∘

−

ˆ

B

A

H

=

90

∘

−

45

∘

=

45

∘

.

 

Mặt khác, 

ˆ

A

B

D

=

ˆ

A

C

D

 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) nên 

ˆ

A

C

D

=

45

∘

.

 (1)

 

Tương tự, ta có 

ˆ

A

C

K

=

90

∘

−

ˆ

C

A

K

=

90

∘

−

45

∘

=

45

∘

.

 (2)

 

Từ (1) và (2) suy ra 

ˆ

D

C

E

=

ˆ

A

C

D

+

ˆ

A

C

K

=

45

∘

+

45

∘

=

90

∘

 

Mà 

ˆ

D

C

E

 là góc nội tiếp chắn cung DE nên DE là đường kính của đường tròn (O).

 

Vậy ba điểm D, O, E thẳng hàng.

Vẽ đường kính AD của đường tròn (O), suy ra 

ˆ

A

C

D

 

=

 

90

o

 (vì tam giác ACD có ba đỉnh thuộc đường tròn và AD là đường kính)

 

Xét 

Δ

HBA và 

Δ

CDA có: 

ˆ

A

H

B

=

ˆ

A

C

D

 

(

=

 

90

o

)

; 

ˆ

H

B

A

=

ˆ

C

D

A

 (góc nội tiếp cùng chắn)

 

Do đó 

Δ

H

B

A

 

∽

 

Δ

C

D

A

⇒

A

H

A

C

=

A

B

A

D

⇒

 

A

B

.

 

A

C

 

=

 

A

D

.

 

A

H

 

Mà AD = 2R, do đó AB. AC = 2R. AH

 

Kẻ đường kính AE của đường tròn (O). Ta thấy  

ˆ

A

C

E

=

90

°

 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

 

Từ đó  

ˆ

O

A

C

+

ˆ

A

E

C

=

90

°

. (1)

 

Theo giả thiết bài ra, ta có:  

ˆ

B

A

H

+

ˆ

A

B

C

=

90

°

. (2)

 

 Lại vì  

ˆ

A

E

C

=

ˆ

A

B

C

 (cùng chắn  



A

C

) (

3)

 

Từ (1), (2) và (3) suy ra  

ˆ

B

A

H

=

ˆ

O

A

C

 (đpcm).