a) Chứng minh rằng ΔCBD là tam giác cân.

• Ta có ΔABC vuông tại A.
• D nằm trên tia đối của tia AB sao cho AD=AB.

Xét ΔABC và ΔADC:

• AB=AD (theo giả thiết)
• AC là cạnh chung
• BAC=DAC=90∘

Do đó, ΔABC≅ΔADC (c.g.c).

Từ hai tam giác bằng nhau, ta suy ra BC=DC (hai cạnh tương ứng).

Vậy ΔCBD có hai cạnh BC=DC, nên ΔCBD là tam giác cân tại C.

b) Chứng minh rằng BC=DE.

• M là trung điểm của CD, suy ra CM=MD.
• Đường thẳng qua D song song với BC cắt đường thẳng BM tại E, suy ra DE∥BC.

Xét ΔBMC và ΔDME:

• BMC=DME (hai góc đối đỉnh)
• MBC=MDE (hai góc so le trong do BC∥DE)
• CM=MD (M là trung điểm của CD)

Do đó, ΔBMC≅ΔDME (g.c.g).

Từ hai tam giác bằng nhau, ta suy ra BC=DE (hai cạnh tương ứng).

Vậy ta đã chứng minh được BC=DE.

Gọi số cây trồng được của mỗi lớp lần lượt là: x,y,z (với x,y,z là các số tự nhiên khác 0).

Theo đề bài, ta có:

• Tổng số cây trồng được của ba lớp là 118 cây: x+y+z=118
• Số cây trồng được của mỗi lớp tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp đó, nên ta có tỉ lệ thức: 18x​=20y​=21z​

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

18x​=20y​=21z​=18+20+21x+y+z​=59118​=2

Từ đó, ta tìm được số cây mỗi lớp trồng được:

• Lớp 7A: 18x​=2⇒x=2×18=36 (cây)
• Lớp 7B: 20y​=2⇒y=2×20=40 (cây)
• Lớp 7C: 21z​=2⇒z=2×21=42 (cây)

Vậy:

• Lớp 7A trồng được 36 cây.
• Lớp 7B trồng được 40 cây.
• Lớp 7C trồng được 42 cây.

Cho đa thức: A(x)=2x3−5x2−7x−2024 và B(x)=−2x3+9x2+7x+2025

a) Tính H(x)=A(x)+B(x). Để tính H(x), ta cộng các hạng tử đồng bậc của A(x) và B(x):

H(x) = A(x) + B(x) = (2x^3 - 5x^2 - 7x - 2024) + (-2x^3 + 9x^2 + 7x + 2025)

H(x) = (2x^3 - 2x^3) + (-5x^2 + 9x^2) + (-7x + 7x) + (-2024 + 2025)

H(x) = 0x^3 + 4x^2 + 0x + 1

H(x) = 4x^2 + 1

b) Chứng tỏ đa thức H(x) vô nghiệm. Ta có đa thức H(x)=4x2+1. Để chứng tỏ đa thức H(x) vô nghiệm, ta cần chứng minh rằng không có giá trị nào của x sao cho H(x)=0.

Xét biểu thức 4x2. Vì x2≥0 với mọi giá trị của x, nên 4x2≥4×0=0 với mọi giá trị của x. Do đó, H(x)=4x2+1≥0+1=1 với mọi giá trị của x.

Vì H(x)≥1 với mọi giá trị của x, nên H(x) không thể bằng 0. Vậy, đa thức H(x)=4x2+1 vô nghiệm.

• Wifi cách ông A 20m
• A và B cách nhau 55m
  → Vậy khoảng cách từ wifi đến B là:

\(55 - 20 = 35 \textrm{ } \text{m} \overset{ˊ}{\text{e}} \text{t}\)

• Bán kính wifi: 35m
• Khoảng cách đến ông A: 20m → Trong vùng phủ sóng
• Khoảng cách đến ông B: 35m → Cũng đúng bằng bán kính phủ sóng

Cả ông A và ông B đều nhận được sóng wifi, vì khoảng cách từ mỗi người đến bộ phát không vượt quá 35 mét.

a) Chứng minh rằng tia AM là tia phân giác góc A của tam giác ABD.

Xét tam giác ABD, ta có:

• AD=AB (theo giả thiết)

Do đó, tam giác ABD là một tam giác cân tại A.

Trong một tam giác cân, đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh.

Vì M là trung điểm của BD nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABD ứng với cạnh đáy BD.

Vậy, tia AM là tia phân giác của góc BAD.

Vì điểm D nằm trên cạnh AC nên góc BAD chính là góc BAC.

Do đó, tia AM là tia phân giác của góc BAC của tam giác ABC.

b) Tính số đo góc ACE.

Ta đã chứng minh được AM là tia phân giác của góc BAC. Do đó, BAE=CAE.

Xét tam giác ABE và tam giác ADE, ta có:

• AB=AD (theo giả thiết)
• BAE=DAE (vì AE là tia phân giác góc BAD)
• AE là cạnh chung

Vậy, △ABE=△ADE (c.g.c).

Từ đó suy ra ABE=ADE và AEB=AED.

Vì E là giao điểm của tia phân giác góc B với AM, nên BE là tia phân giác của góc ABC. Do đó, ABE=CBE.

Từ ABE=ADE và ABE=CBE, ta có ADE=CBE.

Xét tam giác BCD, ta có M là trung điểm của BD.

Trong tam giác BCD, AM không chỉ là đường trung tuyến của tam giác ABD mà còn liên quan đến vị trí của điểm E trên tia phân giác góc B.

Chúng ta cần xem xét mối quan hệ giữa các góc trong tam giác ABC và tam giác BEC.

Ta có ABC=2EBC (vì BE là tia phân giác góc B).

Xét tam giác ABD cân tại A, ta có ABD=ADB=2180∘−BAD​.

Vì ADE=ABE=21​ABC, nên 21​ABC=2180∘−BAC​.

Suy ra ABC=180∘−BAC.

Trong tam giác ABC, ta có ABC+BAC+ACB=180∘.

Thay ABC=180∘−BAC và ACB=30∘ vào, ta được:

(180∘−BAC)+BAC+30∘=180∘

210∘=180∘ (Điều này có vẻ không đúng, có lẽ chúng ta cần tiếp cận theo hướng khác).

Xem xét lại phần b):

Ta có △ABE=△ADE, suy ra AEB=AED. Vì AEB+AED=180∘ (hai góc kề bù), nên AEB=AED=90∘.

Vậy, BE⊥AM.

Xét tam giác ABM, BE vừa là đường phân giác vừa là đường cao, nên tam giác ABM là tam giác cân tại B. Suy ra BA=BM.

Vì AD=AB nên AD=BM.

Xét tam giác BCD, M là trung điểm của BD.

Ta có ABC+BAC+BCA=180∘.

Vì △ABE=△ADE, nên ABC=ADC.

Trong tam giác ABD cân tại A, ABD=ADB=2180∘−BAC​.

Vậy ABC=2180∘−BAC​.

Thay vào tổng góc tam giác ABC:

2180∘−BAC​+BAC+30∘=180∘

180∘−BAC+2BAC+60∘=360∘

BAC+240∘=360∘

BAC=120∘.

Khi đó, ABC=2180∘−120∘​=30∘.

Vì BE là tia phân giác góc ABC, nên EBC=21​ABC=21​×30∘=15∘.

Trong tam giác BEC, ta có:

BEC+EBC+BCE=180∘

BEC+15∘+30∘=180∘

BEC=180∘−45∘=135∘.

Ta cần tính góc ACE, tức là BCE, mà theo giả thiết BCE=C=30∘.

Vậy, số đo góc ACE là 30∘.

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các suất ăn nhanh có thể được tạo ra khi kết hợp một món chính và một món phụ. Chúng ta có thể liệt kê các khả năng như sau:

• Cánh gà rán - Khoai tây chiên
• Cánh gà rán - Phô mai que
• Đùi gà rán - Khoai tây chiên
• Đùi gà rán - Phô mai que
• Phở - Khoai tây chiên
• Phở - Phô mai que

Như vậy, có tổng cộng 6 suất ăn nhanh khác nhau có thể xảy ra. Số phần tử của không gian mẫu là n(Ω)=6.

Biến cố A là sự kiện "Hải chọn suất ăn gồm đùi gà rán và phô mai que". Rõ ràng, chỉ có duy nhất một suất ăn thỏa mãn điều kiện này. Số phần tử của biến cố A là n(A)=1.

Xác suất của biến cố A được tính bằng công thức:

P(A)=n(Ω)n(A)​

Thay các giá trị đã tìm được vào công thức:

P(A)=1/6​

Vậy, xác suất để bạn Hải chọn được suất ăn gồm đùi gà rán và phô mai que là 1/6

Gọi chiều dài, chiều rộng và chiều cao của bể lần lượt là a,b,c (dm). Theo đề bài, ta có tỉ lệ: 3a​=2b​=1c​

Gọi hệ số tỉ lệ chung là k (k>0). Khi đó: a=3k,b=2k,c=k

Thể tích của bể nước hình hộp chữ nhật là: V=a×b×c=(3k)×(2k)×(k)=6k3 (dm3)

Vì 1 dm$^3$ tương ứng với 1 lít nước, nên thể tích của bể là 6k3 lít.

Đề bài cho biết chiều cao của bể là x (dm), vậy c=k=x. Thay vào công thức thể tích, ta được thể tích của bể là: V=6x3 (lıˊt)

Trong bể đang có 100 lít nước. Vậy số lít nước cần phải thêm vào bể để bể đầy nước là: P(x)=V−100=6x3−100 (lıˊt)

Đây chính là đa thức biểu thị số lít nước cần phải thêm vào bể để bể đầy nước theo chiều cao x của bể.

Tiếp theo, ta tính thời gian vòi chảy đầy bể trong trường hợp chiều cao bể là 5 dm. Khi x=5 dm, thể tích của bể là: V=6×(5)3=6×125=750 (lıˊt)

Vì trong bể đang có 100 lít nước, lượng nước cần chảy thêm là: 750−100=650 (lıˊt)

Mỗi phút vòi chảy được 25 lít nước. Vậy thời gian vòi chảy đầy bể là: Thời gian=Lượng nước chảy trong 1 phuˊtTổng lượng nước caˆˋn chảy​=25650​=26 (phuˊt)

Vậy, đa thức biểu thị số lít nước cần phải thêm vào bể để bể đầy nước là P(x)=6x3−100 (lít), và thời gian vòi chảy đầy bể trong trường hợp chiều cao bể là 5 dm là 26 phút.

a) Xe ông An đi 30 km đường đô thị, cần bao nhiêu lít xăng?

• Mức tiêu thụ xăng đường đô thị: 13,9 lít/100 km
• Vậy 1 km tiêu thụ: \(\frac{13 , 9}{100} = 0 , 139\) lít
• 30 km tiêu thụ:
  \(30 \times 0 , 139 = 4 , 17\) lít

Vậy xe ông An cần 4,17 lít xăng để đi 30 km đường đô thị.

b) Với 4,17 lít xăng, xe đi được bao nhiêu km đường cao tốc?

• Mức tiêu thụ cao tốc: 7,5 lít/100 km
• Vậy 1 km tiêu thụ: \(\frac{7 , 5}{100} = 0 , 075\) lít
• Quãng đường đi được:
  \(\frac{4 , 17}{0 , 075} = 55 , 6\) km

Vậy xe ông An đi được khoảng 55,6 km đường cao tốc với 4,17 lít xăng.

c) Quãng đường:

• 20 km đường đô thị
• 80 km đường cao tốc
• 30 km đường hỗn hợp

Tính xăng tiêu thụ:

1. Đường đô thị (13,9 lít/100 km):
   \(20 \times \frac{13 , 9}{100} = 2 , 78\) lít
2. Đường cao tốc (7,5 lít/100 km):
   \(80 \times \frac{7 , 5}{100} = 6 , 0\) lít
3. Đường hỗn hợp (9,9 lít/100 km):
   \(30 \times \frac{9 , 9}{100} = 2 , 97\) lít

Tổng tiêu thụ:

\(2 , 78 + 6 , 0 + 2 , 97 = 11 , 75\) lít

Vậy xe ông An tiêu thụ 11,75 lít xăng cho hành trình từ nhà về quê.

Bất đẳng thức tam giác phát biểu rằng trong một tam giác bất kỳ, tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ luôn lớn hơn độ dài của cạnh còn lại. Áp dụng cho tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

1. AB+AC>BC⟹6+1>BC⟹7>BC
2. AB+BC>AC⟹6+BC>1⟹BC>1−6⟹BC>−5 (bất đẳng thức này luôn đúng vì độ dài cạnh luôn dương)
3. AC+BC>AB⟹1+BC>6⟹BC>6−1⟹BC>5

Kết hợp các bất đẳng thức, ta có: 5<BC<7

Vì độ dài BC là một số nguyên, giá trị duy nhất mà BC có thể nhận là 6 cm.

Vậy, tam giác ABC có độ dài các cạnh là: AB = 6 cm AC = 1 cm BC = 6 cm

So sánh độ dài các cạnh, ta thấy AB = BC = 6 cm và AC = 1 cm. Do có hai cạnh bằng nhau, tam giác ABC là tam giác cân tại B.

a) Tính thể tích phần khối gỗ hình lập phương ABCD.A’B’C’D’.

Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là 10 cm.

Thể tích của hình lập phương được tính theo công thức: V=a3, trong đó a là độ dài cạnh của hình lập phương.

Trong trường hợp này, a=10 cm.

Vậy thể tích phần khối gỗ hình lập phương là: Vlậpphương​=103=10×10×10=1000cm3.

b) Tính thể tích khối gỗ.

Khối gỗ gồm hai phần: một hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ và một hình hộp chữ nhật CDE.C’D’E’ được gắn vào một mặt của hình lập phương.

Ta đã tính được thể tích của hình lập phương là 1000cm3.

Bây giờ ta cần tính thể tích của hình hộp chữ nhật CDE.C’D’E’. Hình hộp chữ nhật CDE.C’D’E’ có các kích thước sau:

• Chiều dài CD = 10 cm (cạnh của hình lập phương)
• Chiều rộng DE = 3 cm (đề bài cho)
• Chiều cao CC’ = 10 cm (cạnh của hình lập phương)

Thể tích của hình hộp chữ nhật được tính theo công thức: V=l×w×h, trong đó l là chiều dài, w là chiều rộng, h là chiều cao.

Trong trường hợp này, l=CD=10 cm, w=DE=3 cm, h=CC’=10 cm.

Vậy thể tích phần khối gỗ hình hộp chữ nhật là: Vhộpchữnhật​=10×3×10=300cm3.

Thể tích của toàn bộ khối gỗ là tổng thể tích của hình lập phương và hình hộp chữ nhật: Vkhốigỗ​=Vlậpphương​+Vhộpchữnhật​=1000+300=1300cm3