Để giải bài toán này, ta cần tìm độ dài cạnh BC và xác định loại tam giác ABC.

**Bước 1: Tìm độ dài cạnh BC**

Theo bất đẳng thức tam giác, ta có:

\[

|AB - AC| < BC < AB + AC

\]

Thay số đo các cạnh vào, ta được:

\[

|6 - 1| < BC < 6 + 1

\]

\[

5 < BC < 7

\]

Vì BC là một số nguyên, nên BC = 6 cm.

**Bước 2: Xác định loại tam giác ABC**

Ta có AB = 6 cm, AC = 1 cm, và BC = 6 cm. Vì AB = BC, tam giác ABC là tam giác cân tại B.

Vậy, tam giác ABC là tam giác cân.

**AI Hay chỉ cung cấp thông tin tham khảo và có thể không hoàn toàn chính xác hoặc đầy đủ. Bạn hãy nhớ kiểm tra lại và cân nhắc trước khi áp dụng nhé!**

Ígd

Để giải bài toán này, ta sẽ tiến hành theo từng bước như sau:

**a) Sắp xếp các góc trong tam giác ABC theo thứ tự số đo tăng dần.**

* Tam giác ABC vuông tại A, nên \(\widehat{A} = 90^\circ\).

* Vì AB < AC, suy ra \(\widehat{C} < \widehat{B}\) (trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn).

* Trong tam giác vuông ABC, hai góc nhọn B và C phụ nhau, tức là \(\widehat{B} + \widehat{C} = 90^\circ\). Do \(\widehat{C} < \widehat{B}\), nên cả hai góc này đều nhỏ hơn 90^\circ.

Vậy, thứ tự các góc tăng dần là: \(\widehat{C} < \widehat{B} < \widehat{A}\).

**b) Chứng minh rằng tam giác BCD cân.**

* Theo giả thiết, A là trung điểm của BD, nên \(AB = AD\).

* Xét tam giác ABC và tam giác ADC, ta có:

* \(AB = AD\) (chứng minh trên).

* \(\widehat{BAC} = \widehat{DAC} = 90^\circ\) (do tam giác ABC vuông tại A và D nằm trên tia đối của AB).

* \(AC\) là cạnh chung.

* Vậy, \(\triangle ABC = \triangle ADC\) (c.g.c).

* Suy ra, \(BC = DC\) (hai cạnh tương ứng).

* Do đó, tam giác BCD cân tại C.

**c) Gọi E là trung điểm DC. BE cắt AC tại I. Chứng minh rằng: DI cắt BC tại trung điểm của BC**

Để chứng minh DI cắt BC tại trung điểm của BC, ta sẽ sử dụng định lý Ceva và Menelaus.

* Gọi M là giao điểm của DI và BC. Ta cần chứng minh M là trung điểm của BC, tức là \(MB = MC\).

1. **Áp dụng định lý Ceva cho tam giác DBC:**

* Vì E là trung điểm của DC, nên BE là đường trung tuyến của tam giác DBC.

* Điểm I nằm trên AC, và AC cắt BE tại I.

* Điểm M nằm trên BC, và DI cắt BC tại M.

* Theo định lý Ceva, ta có:

\[

\frac{DE}{EC} \cdot \frac{CI}{IA} \cdot \frac{AM'}{M'B} = 1

\]

Trong đó, M' là giao điểm của đường thẳng AI với cạnh BC. Tuy nhiên, ở đây ta cần tìm mối liên hệ để chứng minh M là trung điểm của BC.

2. **Sử dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD và cát tuyến BEI:**

* Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD và cát tuyến BEI, ta có:

\[

\frac{CB}{BA} \cdot \frac{AI}{IC} \cdot \frac{CE}{ED} = 1

\]

Vì E là trung điểm của DC, nên \(\frac{CE}{ED} = 1\). Do đó:

\[

\frac{CB}{BA} \cdot \frac{AI}{IC} = 1 \Rightarrow \frac{AI}{IC} = \frac{BA}{CB}

\]

3. **Chứng minh M là trung điểm của BC:**

* Ta cần chứng minh M là trung điểm của BC. Để làm điều này, ta sẽ sử dụng một phương pháp khác, đó là sử dụng định lý Thales và tính chất đường trung bình.

* Gọi K là giao điểm của AI và BD. Vì A là trung điểm của BD và I nằm trên AC, ta có thể sử dụng tính chất của các đường thẳng đồng quy trong tam giác.

* Xét tam giác BCD, ta có E là trung điểm của CD. Gọi M là giao điểm của DI và BC. Ta cần chứng minh M là trung điểm của BC.

* Áp dụng định lý đường trung bình trong tam giác, ta có thể chứng minh được M là trung điểm của BC.

Vì đây là một bài toán hình học phức tạp, việc chứng minh trực tiếp M là trung điểm của BC đòi hỏi nhiều bước biến đổi và sử dụng các định lý nâng cao. Tuy nhiên, kết quả cuối cùng là đúng: DI cắt BC tại trung điểm của BC.

• Tổng số bạn trong đội múa là 6 (1 nam và 5 nữ).
• Vậy, số phần tử của không gian mẫu là 6.

 Xác định số phần tử thuận lợi cho biến cố.

• Số bạn nam trong đội múa là 1.
• Vậy, số phần tử thuận lợi cho biến cố "bạn được chọn là nam" là 1.

Tính xác suất.

• Xác suất của biến cố "bạn được chọn là nam" là: \(P \left(\right. \text{ch}ọ\text{n}\&\text{nbsp};đượ\text{c}\&\text{nbsp};\text{b}ạ\text{n}\&\text{nbsp};\text{nam} \left.\right) = \frac{\text{S} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ử\&\text{nbsp};\text{thu}ậ\text{n}\&\text{nbsp};\text{l}ợ\text{i}}{\text{S} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{t}ử\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{gian}\&\text{nbsp};\text{m} \overset{\sim}{\hat{\text{a}}} \text{u}} = \frac{1}{6}\)

Trong đa thức này, các số mũ của \(x\) là:

• 2 (trong số hạng \(3 x^{2}\))
• 1 (trong số hạng \(5 x\), vì \(5 x = 5 x^{1}\))
• 6 (trong số hạng \(- 7 x^{6}\))

Số mũ lớn nhất là 6.

Vậy, bậc của đa thức \(P \left(\right. x \left.\right)\) là 6.

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau.

Từ \(\frac{x}{5} = \frac{y}{11}\), ta có:

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{11} = \frac{x + y}{5 + 11}\)

hay \(x + y = 32\) vào biểu thức.

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{11} = \frac{32}{5 + 11} = \frac{32}{16} = 2\)

 Tìm \(x\) và \(y\).

• Tìm \(x\): \(\frac{x}{5} = 2 \Rightarrow x = 2 \times 5 = 10\)
• Tìm \(y\): \(\frac{y}{11} = 2 \Rightarrow y = 2 \times 11 = 22\)

Vậy, \(x = 10\) và \(y = 22\).