A B C H D E I Xét Δ ACB và ΔHBA có:

\(\widehat{BAC}\) =\(\widehat{BHA}\) =90^o

Góc A chung

Suy ra Δ ABC\(\sim\)Δ HBA (g.g)

Suy ra AB² = BC.BH

Xét Δ  ABD có:

\(\widehat{BAD}\) + \(\widehat{ADB}\) + \(\widehat{DBA}\) = 180^o (định lí tổng ba góc trong Δ)

 \(\widehat{BAD}\) = 90^o(góc A vuông)

suy ra \(\widehat{ADB}\) +\(\widehat{DBA}\) =90^{o (1)}

Xét Δ HBE có:

\(\widehat{EHB}\) + \(\widehat{BEH}\) +\(\widehat{HBE}\) =90^o(định lí tổng ba góc trong Δ)

 \(\widehat{EHB}\) = 90^o(AH là đường cao của Δ ABC)

suy ra \(\widehat{BEH}\) + \(\widehat{HBE}\) =90^o

mà \(\widehat{BEH}\) = \(\widehat{AED}\)(hai góc đối đỉnh)

suy ra \(\widehat{BEH}\) + \(\widehat{HBE}\) = \(\widehat{AED}\) + \(\widehat{HBE}\) =90^{o (2)}

Ta có:

DB là đường phân giác của \(\widehat{ABC}\)

suy ra \(\widehat{DBA}\) = \(\widehat{DBC}\) ⁽³⁾

Từ (1) (2) và (3)

suy ra \(\widehat{AED}\) =\(\widehat{ADE}\)

suy ra Δ AED cân tại A

mà trong một tam giác cân, đường trung tuyến của tam giác đồng thời là đường trung trực, đường phân giác, đường cao của tam giác đó

nên đường trung tuyến AI đồng thời là đường trung trực, đường cao của Δ ADE

suy ra AI vuông góc với DE tại I

xét Δ EHB và Δ EIA có:

\(\widehat{BEH}\) = \(\widehat{AED}\)

\(\widehat{EIA}\) =\(\widehat{EHB}\) = 90^o

suy ra Δ EHB = Δ EIA(g.g)

suy ra\(\dfrac{EI}{EH}\) = \(\dfrac{EA}{EB}\)

nên EI.EB = EH.EA 

Gọi x là quãng đường AB(đơn vị : km)

Điều kiện: x > 0

Số thời gian người đó đi từ A đến B là:\(\dfrac{x}{15}\)(h)

Số thời gian lúc người đó về là:\(\dfrac{x}{12}\)(h)

 Thời gian về nhiều hơn 45 phút =\(\dfrac{3}{4}\)(h)

Ta có phương trình:

\(\dfrac{x}{12}\)- \(\dfrac{x}{15}\) =\(\dfrac{3}{4}\)

\(\dfrac{5x}{60}\)-\(\dfrac{4x}{60}\)\(\dfrac{45}{60}\)

5x - 4x =45

x = 45

vậy quãng đường AB dài 45 km

a)A=\(\dfrac{3x+15}{x^2-9}\)+\(\dfrac{1}{x+3}\)-\(\dfrac{2}{x-3}\)(với x≠3, x≠-3)

A=\(\dfrac{3x+15}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)+\(\dfrac{1}{x+3}\)-\(\dfrac{2}{x-3}\)

A=\(\dfrac{3x+15+x-3-2x-6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

A=\(\dfrac{\left(3x+x-2x\right)+\left(15-3-6\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

A=\(\dfrac{2x+6}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

A=\(\dfrac{2\left(x+3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}\)

A=\(\dfrac{2}{x-3}\)

b)Để có A=\(\dfrac{2}{3}\)thì\(\dfrac{2}{x-3}\)=\(\dfrac{2}{3}\)

 x- 3 = 3

x=6(thỏa mãn)

Vậy để A=\(\dfrac{2}{3}\) thì x = 6