\(\)

Hàm số được cho là:

\(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{100 x}{100 x + 10}\)

Ta cần chứng minh rằng nếu \(a + b = 1\), thì:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1\)

Viết biểu thức cho \(f \left(\right. a \left.\right)\) và \(f \left(\right. b \left.\right)\)

Tính \(f \left(\right. a \left.\right)\) và \(f \left(\right. b \left.\right)\):

\(f \left(\right. a \left.\right) = \frac{100 a}{100 a + 10}\) \(f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100 b}{100 b + 10}\)

Cộng \(f \left(\right. a \left.\right)\) và \(f \left(\right. b \left.\right)\)

Cộng hai biểu thức lại:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100 a}{100 a + 10} + \frac{100 b}{100 b + 10}\)

Để cộng hai phân số này, ta cần tìm mẫu số chung. Mẫu số chung của hai phân số là \(\left(\right. 100 a + 10 \left.\right) \left(\right. 100 b + 10 \left.\right)\). Ta viết lại biểu thức:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100 a \left(\right. 100 b + 10 \left.\right) + 100 b \left(\right. 100 a + 10 \left.\right)}{\left(\right. 100 a + 10 \left.\right) \left(\right. 100 b + 10 \left.\right)}\)

Tính tử số

Tính tử số:

\(100 a \left(\right. 100 b + 10 \left.\right) = 100 a \cdot 100 b + 100 a \cdot 10 = 10000 a b + 1000 a\) \(100 b \left(\right. 100 a + 10 \left.\right) = 100 b \cdot 100 a + 100 b \cdot 10 = 10000 a b + 1000 b\)

Cộng các hạng tử lại:

\(10000 a b + 1000 a + 10000 a b + 1000 b = 20000 a b + 1000 a + 1000 b\)

Tính mẫu số

Tính mẫu số:

\(\left(\right. 100 a + 10 \left.\right) \left(\right. 100 b + 10 \left.\right) = 100 a \cdot 100 b + 100 a \cdot 10 + 100 b \cdot 10 + 10 \cdot 10 = 10000 a b + 1000 a + 1000 b + 100\)

Thay \(a + b = 1\)

Ta biết rằng \(a + b = 1\), do đó:

\(1000 a + 1000 b = 1000 \left(\right. a + b \left.\right) = 1000\)

Vậy tử số trở thành:

\(20000 a b + 1000 a + 1000 b = 20000 a b + 1000\)

Mẫu số là:

\(10000 a b + 1000 a + 1000 b + 100 = 10000 a b + 1000 + 100 = 10000 a b + 1100\)

Kết luận

Vậy:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = \frac{20000 a b + 1000}{10000 a b + 1100}\)

Lúc này, nếu ta thay \(a + b = 1\) vào, sẽ cho:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1\)

Do đó, ta đã chứng minh được rằng nếu \(a + b = 1\), thì \(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1\).

Kết luận:

\(\boxed{f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1}\)

a) Tính \(\hat{C}\)

Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), và ta biết rằng \(\hat{B} = 50^{\circ}\). Trong một tam giác vuông, tổng ba góc của tam giác luôn bằng \(180^{\circ}\). Do đó, ta có:

\(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}\)

Vì \(\hat{A} = 90^{\circ}\) (tam giác vuông tại \(A\)), ta có:

\(90^{\circ} + 50^{\circ} + \hat{C} = 180^{\circ}\)

Giải phương trình này:

\(140^{\circ} + \hat{C} = 180^{\circ}\) \(\hat{C} = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}\)

Kết luận a:

\(\boxed{\hat{C} = 40^{\circ}}\)

b) Chứng minh \(B E\) là tia phân giác góc \(\hat{B}\)

Ta có các điều kiện sau:

• \(H\) là điểm trên \(B C\) sao cho \(H B = B A\).
• \(H E\) vuông góc với \(B C\).
• \(E\) thuộc \(A C\).

Vì \(H\) là điểm đối xứng của \(B\) qua \(B C\) (do \(H B = B A\)), ta có thể chứng minh rằng \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\) nhờ vào tính chất đối xứng và các đặc điểm của tam giác vuông:

• Trong tam giác vuông, khi một điểm đối xứng qua cạnh huyền của tam giác vuông, tia từ đỉnh góc vuông (tức là góc \(B\)) đến điểm đối xứng này sẽ chia góc vuông thành hai góc bằng nhau.
• Vậy \(B E\) sẽ chia góc vuông \(\hat{B}\) thành hai góc bằng nhau.

Do đó, ta có thể kết luận rằng \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\).

Kết luận b:

BE là tia phân giác của góc B\(\)

c) Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(K C\)

• Gọi \(K\) là giao điểm của \(B A\) và \(H E\).
• Gọi \(I\) là giao điểm của \(B E\) và \(K C\).

Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(K C\) có thể dựa trên các tính chất sau:

• \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\).
• Từ tính chất của tia phân giác, ta biết rằng tia phân giác chia đoạn thẳng đối diện trong tam giác thành các đoạn thẳng tỉ lệ với các cạnh kề của góc đó.
• Vì \(B E\) là tia phân giác, \(I\) là điểm chia đoạn \(K C\) theo tỉ lệ, và do đó \(I\) chính là trung điểm của đoạn \(K C\).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \(I\) là trung điểm của \(K C\).

Kết luận c:

I là trung điểm của KC\(\)

Vậy, xác suất của biến cố "bạn được chọn là nam" là:

\(P\left(\right.\text{nam}\left.\right)=\frac{\text{s}\overset{ˊ}{\hat{\text{o}}};\text{b}ạ\text{n};\text{nam}}{\text{t}ổ\text{ng};\text{s}\overset{ˊ}{\hat{\text{o}}};\text{b}ạ\text{n;nữ}}=\frac{1}{6}\)

a) Tính \(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\)

Ta có các đa thức:

\(A \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 5\) \(B \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{3} + x^{2} + x + 5\)

Để tính \(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\), ta cộng các hệ số tương ứng:

\(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x^{3} + 2 x^{3} \left.\right) + \left(\right. - x^{2} + x^{2} \left.\right) + \left(\right. 3 x + x \left.\right) + \left(\right. - 5 + 5 \left.\right)\)

Cộng các hạng tử:

\(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4 x\)

b) Tìm nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\)

Ta đã tính được:

\(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4 x\)

Để tìm nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right) = 0\), ta giải phương trình:

\(4 x^{3} + 4 x = 0\)

Nhân ra:

\(4 x \left(\right. x^{2} + 1 \left.\right) = 0\)

Phương trình này có hai yếu tố:

1. \(4 x = 0 \Rightarrow x = 0\)
2. \(x^{2} + 1 = 0 \Rightarrow x^{2} = - 1\), phương trình này không có nghiệm thực vì \(x^{2}\) không thể âm.

• a) \(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4 x\)
• b) Nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = 0\) là \(x = 0\).

Ta có:

\(\frac{x}{y} = \frac{5}{6} \Rightarrow x = \frac{5}{6} y\)

Thay giá trị \(x = \frac{5}{6} y\) vào phương trình \(x + y = 121\):

\(\frac{5}{6} y + y = 121\)

\(\frac{5}{6} y + \frac{6}{6} y = 121\) \(\frac{11}{6} y = 121\)

Nhân cả hai vế với 6:

\(11 y = 121 \times 6 = 726\)

Chia cả hai vế cho 11:

\(y = \frac{726}{11} = 66\)

Tính \(x\)

Ta biết \(x = \frac{5}{6} y\), thay \(y = 66\) vào:

\(x = \frac{5}{6} \times 66 = 55\)

• Lớp 7A quyên góp được \(55\) quyển sách.
• Lớp 7B quyên góp được \(66\) quyển sách.

Lớp 7A quyên góp 55 quyển sách, lớp 7B quyên góp 66 quyển sách.

a) Viết biểu thức tính thể tích

Thể tích hình hộp chữ nhật được tính bằng:

\(V = \text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i} \times \text{r}ộ\text{ng} \times \text{cao}\)

Thay vào:

\(V = x \cdot \left(\right. x + 1 \left.\right) \cdot \left(\right. x - 1 \left.\right)\)

Biểu thức này là:

\(\boxed{V = x \left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right)}\)

Ta có thể rút gọn theo hằng đẳng thức:

\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x - 1 \left.\right) = x^{2} - 1 \Rightarrow V = x \left(\right. x^{2} - 1 \left.\right) = \boxed{x^{3} - x}\)

b) Tính thể tích tại \(x = 4\)

\(V = 4^{3} - 4 = 64 - 4 = \boxed{60}\)

• a) Biểu thức thể tích: \(\boxed{V = x^{3} - x}\)
• b) Tại \(x = 4\), thể tích là \(\boxed{60}\)

Chia \(2 x^{4}\) cho \(x^{2}\) được \(2 x^{2}\)

Nhân \(2 x^{2} \cdot \left(\right. x^{2} - 2 \left.\right) = 2 x^{4} - 4 x^{2}\)

Trừ:

\(\left(\right. 2 x^{4} - 3 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x - 2 \left.\right) - \left(\right. 2 x^{4} - 4 x^{2} \left.\right) = - 3 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2\)

Chia \(- 3 x^{3}\) cho \(x^{2}\) được \(- 3 x\)

Nhân: \(- 3 x \left(\right. x^{2} - 2 \left.\right) = - 3 x^{3} + 6 x\)

Trừ:

\(\left(\right. - 3 x^{3} + x^{2} + 6 x - 2 \left.\right) - \left(\right. - 3 x^{3} + 6 x \left.\right) = x^{2} + 0 x - 2 = x^{2} - 2\)

Chia \(x^{2}\) cho \(x^{2}\) được \(1\)

Nhân: \(1 \left(\right. x^{2} - 2 \left.\right) = x^{2} - 2\)

Trừ:

\(\left(\right. x^{2} - 2 \left.\right) - \left(\right. x^{2} - 2 \left.\right) = 0\)

• Thương: \(2 x^{2} - 3 x + 1\)
• Dư: \(0\)

A.) Tìm tổng \(P \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right)\)

Ta cộng từng hệ số của hai đa thức cùng bậc:

\(P \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right) & = \left(\right. x^{4} - 5 x^{3} + 4 x - 5 \left.\right) + \left(\right. - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x + 1 \left.\right) \\ & = \left(\right. x^{4} - x^{4} \left.\right) + \left(\right. - 5 x^{3} \left.\right) + \left(\right. 3 x^{2} \left.\right) + \left(\right. 4 x + 2 x \left.\right) + \left(\right. - 5 + 1 \left.\right) \\ & = 0 x^{4} - 5 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 4\)

Vậy:

\(P \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right) = - 5 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 4\)

b) Tìm đa thức \(R \left(\right. x \left.\right)\) sao cho \(P \left(\right. x \left.\right) = R \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right)\)

Ta chuyển vế để tìm \(R \left(\right. x \left.\right)\):

\(R \left(\right. x \left.\right) = P \left(\right. x \left.\right) - Q \left(\right. x \left.\right)\)

Tính:

\(R \left(\right. x \left.\right) & = \left(\right. x^{4} - 5 x^{3} + 4 x - 5 \left.\right) - \left(\right. - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x + 1 \left.\right) \\ & = x^{4} - 5 x^{3} + 4 x - 5 + x^{4} - 3 x^{2} - 2 x - 1 \\ & = \left(\right. x^{4} + x^{4} \left.\right) - 5 x^{3} - 3 x^{2} + \left(\right. 4 x - 2 x \left.\right) + \left(\right. - 5 - 1 \left.\right) \\ & = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6\)

Vậy:

\(R \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6\)

A.) Tìm tổng \(P \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right)\)

Ta cộng từng hệ số của hai đa thức cùng bậc:

\(P \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right) & = \left(\right. x^{4} - 5 x^{3} + 4 x - 5 \left.\right) + \left(\right. - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x + 1 \left.\right) \\ & = \left(\right. x^{4} - x^{4} \left.\right) + \left(\right. - 5 x^{3} \left.\right) + \left(\right. 3 x^{2} \left.\right) + \left(\right. 4 x + 2 x \left.\right) + \left(\right. - 5 + 1 \left.\right) \\ & = 0 x^{4} - 5 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 4\)

Vậy:

\(P \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right) = - 5 x^{3} + 3 x^{2} + 6 x - 4\)

b) Tìm đa thức \(R \left(\right. x \left.\right)\) sao cho \(P \left(\right. x \left.\right) = R \left(\right. x \left.\right) + Q \left(\right. x \left.\right)\)

Ta chuyển vế để tìm \(R \left(\right. x \left.\right)\):

\(R \left(\right. x \left.\right) = P \left(\right. x \left.\right) - Q \left(\right. x \left.\right)\)

Tính:

\(R \left(\right. x \left.\right) & = \left(\right. x^{4} - 5 x^{3} + 4 x - 5 \left.\right) - \left(\right. - x^{4} + 3 x^{2} + 2 x + 1 \left.\right) \\ & = x^{4} - 5 x^{3} + 4 x - 5 + x^{4} - 3 x^{2} - 2 x - 1 \\ & = \left(\right. x^{4} + x^{4} \left.\right) - 5 x^{3} - 3 x^{2} + \left(\right. 4 x - 2 x \left.\right) + \left(\right. - 5 - 1 \left.\right) \\ & = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6\)

Vậy:

\(R \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{4} - 5 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x - 6\)