Giả sử 3 góc của một tam giác ABC bất kì đều lớn hơn 60^o

=> A+ B+ C >60 + 60 +60 =180 (Vô lý)
Vậy một tam giác không phải là tam giác đều thì có ít nhất một góc nhỏ hơn \(6 0^{\circ}\).

Ta có:  \(\frac{ax+by}{2}\geq\frac{a+b}{2}.\frac{x+y}{2}\).

<=> 2(ax+by) ≥(a+b)(x+y)

<=> 2ax + 2by - ax - by - ay - bx≥0

<=>ax + by - ay - bx≥0

<=> a(x-y) -b (x-y) ≥0

<=> (a-b)(x-y)≥ 0 (luôn đúng vì a≥b, \(x\geq y\)

Vậy nếu a≥b, x≥y thì  \(\frac{ax+by}{2}\geq\frac{a+b}{2}.\frac{x+y}{2}\).

Ta có: 4x² + 4y² + 6x + 3 ≥ 4xy

<=> 4x² + 4y² -4xy +6x +3 ≥ 0

<=> (x² - 4xy + 4y²) +3x² + 6x + 3≥ 0

<=> (x-2y)² + 3(x² +2x + 1)≥ 0

<=> (x-2y)² + 3 (x+1)² ≥ 0 luôn đúng (vì (x-2y)² ≥ 0 và 3(x+1)²≥ 3)

Vậy với mọi \(x\), \(y\) ta có \(4x^2+4y^2+6x+3\geq4xy\)

Ta có: n chia hết cho 3 => n(n+1) chia chết cho 3

=> n² + n = 6(n²+n)

Lại có 6(n²+n) chia chết cho 6 vì 6 chia chết cho 6

vậy với mọi số tự nhiên n, nếu n chia chết cho 3 thì n(n+1)chia chết cho 6

Ta có: Vì n lẻ nên n có dạng 2k+1 (k ∈N.)

=> n³ = (2k+1)³ =8k +12k + 6k + 1 = 26k +1

Lại có: 26k là số chẵn => 26k+1 là số lẻ

Vậy với mọi số tự nhiên \(n\), nếu \(n\) lẻ thì \(n^3\) lẻ.