Để giải bài toán này, ta sử dụng kiến thức về sự phân rã phóng xạ và chu kỳ bán rã của chất \( ^{210}_{84}Po \). Ta sẽ xác định phần trăm của \( ^{210}_{84}Po \) còn lại sau 276 ngày.

### Bước 1: Xác định số chu kỳ bán rã

Chu kỳ bán rã của chất \( ^{210}_{84}Po \) là 138,4 ngày. Mẫu có thời gian là 276 ngày, tức là số chu kỳ bán rã sẽ là:

\[

\frac{276}{138.4} = 2 \text{ chu kỳ bán rã}

\]

### Bước 2: Tính phần trăm chất \( ^{210}_{84}Po \) còn lại sau 276 ngày

Công thức tính phần trăm chất còn lại sau một số chu kỳ bán rã là:

\[

\text{Phần trăm còn lại} = \left(\frac{1}{2}\right)^n

\]

Trong đó:

- \( n \) là số chu kỳ bán rã (ở đây \( n = 2 \)).

Vậy phần trăm \( ^{210}_{84}Po \) còn lại sau 2 chu kỳ bán rã là:

\[

\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} = 25\%

\]

### Bước 3: Xác định lượng \( ^{210}_{84}Po \) còn lại trong mẫu

Ban đầu, mẫu chất \( ^{210}_{84}Po \) có 50% là \( ^{210}_{84}Po \) và 50% là tạp chất. Sau 276 ngày (2 chu kỳ bán rã), lượng \( ^{210}_{84}Po \) còn lại sẽ là 25% của 50% ban đầu. Do đó, phần trăm \( ^{210}_{84}Po \) còn lại trong mẫu là:

\[

25\% \times 50\% = 12,5\%

\]

### Kết luận:

Sau 276 ngày, phần trăm chất \( ^{210}_{84}Po \) còn lại trong mẫu là **12,5%**.

Để giải bài toán này, ta cần phân tích quá trình phân rã phóng xạ của hạt nhân \( ^{235}_{92}X \) biến thành \( ^{207}_{82}Y \). Quá trình phân rã này bao gồm phát ra các hạt \( \alpha \) và hạt \( \beta^- \), và mục tiêu là xác định số lượng hạt \( \alpha \) và \( \beta^- \) phát ra trong quá trình này.

### Bước 1: Tìm sự thay đổi về số proton và số nơtron

- Hạt nhân ban đầu là \( ^{235}_{92}X \), với 92 proton và 235 nucleon (bao gồm proton và nơtron).

- Hạt nhân cuối cùng là \( ^{207}_{82}Y \), với 82 proton và 207 nucleon.

Để tìm số hạt \( \alpha \) và \( \beta^- \), ta cần so sánh sự thay đổi về số proton và số nơtron trong quá trình phân rã.

### Bước 2: Phát ra hạt \( \alpha \)

Mỗi lần phát ra một hạt \( \alpha \), hạt nhân mất đi 2 proton và 2 nơtron (do hạt \( \alpha \) gồm 2 proton và 2 nơtron). Do đó, mỗi lần phát ra hạt \( \alpha \) sẽ làm giảm cả số proton và số nơtron của hạt nhân.

### Bước 3: Phát ra hạt \( \beta^- \)

Mỗi lần phát ra một hạt \( \beta^- \), một nơtron trong hạt nhân biến thành một proton, nghĩa là số proton tăng thêm 1 và số nơtron giảm đi 1.

### Bước 4: Tính số hạt \( \alpha \) và \( \beta^- \)

- Ban đầu: \( X \) có 92 proton và 235 nucleon.

- Sau phân rã: \( Y \) có 82 proton và 207 nucleon.

#### Sự thay đổi về proton:

- Ban đầu có 92 proton, và sau khi phân rã còn lại 82 proton.

- Sự thay đổi về proton: \( 92 - 82 = 10 \).

Mỗi hạt \( \beta^- \) làm tăng số proton lên 1, nên cần phát ra 10 hạt \( \beta^- \).

#### Sự thay đổi về nơtron:

- Ban đầu có 235 nucleon (gồm 92 proton và 143 nơtron).

- Sau phân rã, có 207 nucleon (gồm 82 proton và 125 nơtron).

- Sự thay đổi về nơtron: \( 143 - 125 = 18 \).

Mỗi hạt \( \alpha \) làm giảm số nơtron đi 2, và mỗi hạt \( \beta^- \) làm giảm số nơtron đi 1. Vậy, ta có hệ phương trình:

\[

\text{Số hạt } \alpha \times 2 + \text{Số hạt } \beta^- = 18

\]

Từ kết quả trên, ta biết số hạt \( \beta^- \) là 10, do đó:

\[

\text{Số hạt } \alpha \times 2 + 10 = 18

\]

Giải phương trình:

\[

\text{Số hạt } \alpha = \frac{18 - 10}{2} = 4

\]

### Kết luận:

- Số hạt \( \alpha \) phát ra là 4.

- Số hạt \( \beta^- \) phát ra là 10.

Vậy, trong quá trình phân rã, có **4 hạt \( \alpha \)** và **10 hạt \( \beta^- \)** được phát ra.

Để xác định chu kỳ bán rã của chất phóng xạ \( ^{222}_{86}Rn \), ta sử dụng công thức về sự phân rã phóng xạ và mối liên hệ giữa thời gian bán rã và độ giảm phóng xạ.

### Bước 1: Sử dụng công thức phân rã phóng xạ

Công thức cho sự phân rã phóng xạ là:

\[

N(t) = N_0 e^{-\lambda t}

\]

Trong đó:

- \( N(t) \) là số lượng chất phóng xạ còn lại sau thời gian \( t \),

- \( N_0 \) là số lượng chất phóng xạ ban đầu,

- \( \lambda \) là hằng số phân rã (hằng số phóng xạ),

- \( t \) là thời gian đã trôi qua.

Sự giảm phóng xạ là tỷ lệ phần trăm của chất phóng xạ bị phân rã, tức là:

\[

\frac{N(t)}{N_0} = 1 - \text{tỷ lệ giảm phóng xạ}

\]

### Bước 2: Xác định tỷ lệ giảm phóng xạ

Theo đề bài, độ phóng xạ giảm 93,75%, tức là chỉ còn 6,25% lượng chất phóng xạ ban đầu. Do đó:

\[

\frac{N(t)}{N_0} = 0.0625

\]

### Bước 3: Áp dụng vào công thức phân rã

Ta có công thức:

\[

0.0625 = e^{-\lambda \cdot t}

\]

Với \( t = 15.2 \) ngày, thay vào ta có:

\[

0.0625 = e^{-\lambda \cdot 15.2}

\]

### Bước 4: Giải phương trình

Lấy logarithm tự nhiên (ln) của cả hai vế:

\[

\ln(0.0625) = -\lambda \cdot 15.2

\]

Tính \( \ln(0.0625) \):

\[

\ln(0.0625) = -2.7726

\]

Vậy phương trình trở thành:

\[

-2.7726 = -\lambda \cdot 15.2

\]

Giải cho \( \lambda \):

\[

\lambda = \frac{2.7726}{15.2} \approx 0.182 \, \text{ngày}^{-1}

\]

### Bước 5: Tính chu kỳ bán rã

Chu kỳ bán rã \( T_{1/2} \) được tính theo công thức:

\[

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}

\]

Thay \( \lambda \) vào:

\[

T_{1/2} = \frac{\ln 2}{0.182} \approx \frac{0.693}{0.182} \approx 3.81 \, \text{ngày}

\]

### Kết luận:

Chu kỳ bán rã của chất phóng xạ \( ^{222}_{86}Rn \) là khoảng **3.81 ngày**.

Để tính tuổi của khối đá, ta sử dụng phương pháp xác định tuổi bằng đồng vị phóng xạ, cụ thể là đồng vị Uranium-238 (238U) phân rã thành Lead-206 (206Pb).

**Bước 1: Áp dụng công thức tuổi đá**

Công thức tính tuổi của đá dựa trên tỉ lệ giữa lượng Uranium còn lại và lượng Lead hình thành do phân rã như sau:

\[

t = \frac{T_{1/2}}{\ln 2} \cdot \ln \left( \frac{N_{U}}{N_{Pb}} + 1 \right)

\]

Trong đó:

- \( t \) là tuổi của đá (tính bằng năm),

- \( T_{1/2} \) là chu kỳ bán rã của Uranium-238 (4,47 x 10^9 năm),

- \( N_{U} \) là lượng Uranium-238 còn lại,

- \( N_{Pb} \) là lượng Lead-206 đã hình thành.

**Bước 2: Tính tỷ lệ Uranium-238 và Lead-206**

Ta có:

- Lượng Uranium-238 ban đầu là 46,97 mg,

- Lượng Lead-206 hiện tại là 23,15 mg.

Tỉ lệ lượng Uranium-238 ban đầu và Lead-206 được tính như sau:

\[

\frac{N_{Pb}}{N_{U}} = \frac{23,15}{46,97} \approx 0,493

\]

**Bước 3: Thay giá trị vào công thức**

Ta thay giá trị \( T_{1/2} = 4,47 \times 10^9 \) năm và \( \frac{N_{Pb}}{N_{U}} \approx 0,493 \) vào công thức:

\[

t = \frac{4,47 \times 10^9}{\ln 2} \cdot \ln(0,493 + 1)

\]

Tính giá trị trong dấu ngoặc trước:

\[

\ln(0,493 + 1) = \ln(1,493) \approx 0,398

\]

Sau đó, tính giá trị của \( t \):

\[

t = \frac{4,47 \times 10^9}{0,693} \times 0,398 \approx 2,58 \times 10^9 \, \text{năm}

\]

**Kết luận:**

Tuổi của khối đá là khoảng **2,58 tỉ năm**.

Để xác định thể tích máu của bệnh nhân, chúng ta sẽ sử dụng các thông tin đã cho và mối quan hệ giữa độ phóng xạ ban đầu và độ phóng xạ đo được sau một khoảng thời gian. Ta sẽ áp dụng công thức về sự phân rã phóng xạ và định lý tỷ lệ phóng xạ.

### Các thông số đã cho:

- Đồng vị phóng xạ \(^{24}Na\) có chu kỳ bán rã \(T_{1/2} = 15 \, \text{giờ}\).

- Độ phóng xạ ban đầu \(R_0 = 2 \, \mu \text{Ci} = 2 \times 10^{-6} \, \text{Ci}\).

- Sau 7,5 giờ, độ phóng xạ đo được trong 1 cm³ máu là 502 phân rã/phút.

- Ta cần tính thể tích máu \(V_{\text{máu}}\).

### 1. Tính độ phóng xạ sau 7,5 giờ

Để tính độ phóng xạ sau một thời gian \(t\), ta sử dụng công thức phân rã:

\[

R(t) = R_0 \times e^{-\lambda t}

\]

Trong đó:

- \( R(t) \) là độ phóng xạ tại thời điểm \(t\),

- \( R_0 \) là độ phóng xạ ban đầu,

- \( \lambda \) là hằng số phân rã,

- \( t \) là thời gian đã trôi qua.

Bước 1: Tính hằng số phân rã \(\lambda\). Hằng số phân rã được tính từ chu kỳ bán rã \(T_{1/2}\) bằng công thức:

\[

\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}

\]

Với \(T_{1/2} = 15 \, \text{giờ} = 15 \times 60 \, \text{phút} = 900 \, \text{phút}\):

\[

\lambda = \frac{\ln 2}{900} \approx 7,7 \times 10^{-4} \, \text{phút}^{-1}

\]

Bước 2: Tính độ phóng xạ sau 7,5 giờ (450 phút):

\[

R(450) = 2 \times 10^{-6} \times e^{-7,7 \times 10^{-4} \times 450}

\]

\[

R(450) = 2 \times 10^{-6} \times e^{-0,35} \approx 2 \times 10^{-6} \times 0,704

\]

\[

R(450) \approx 1,408 \times 10^{-6} \, \text{Ci}

\]

### 2. Tính thể tích máu

Sau 7,5 giờ, độ phóng xạ đo được trong 1 cm³ máu là 502 phân rã/phút. Ta cần chuyển đơn vị này sang đơn vị phóng xạ \( \text{Ci} \) để có thể so sánh với độ phóng xạ ban đầu.

1 Ci = \( 3,7 \times 10^{10} \) phân rã/phút, nên:

\[

502 \, \text{phân rã/phút} = \frac{502}{3,7 \times 10^{10}} \, \text{Ci} \approx 1,36 \times 10^{-8} \, \text{Ci}

\]

Vậy độ phóng xạ trong 1 cm³ máu là \(1,36 \times 10^{-8} \, \text{Ci}\).

Bây giờ, ta có thể tính thể tích máu của bệnh nhân. Độ phóng xạ của toàn bộ lượng máu \(V_{\text{máu}}\) là tỷ lệ giữa độ phóng xạ trong mẫu máu (đo được) và độ phóng xạ tổng thể của cơ thể. Vì độ phóng xạ trong 1 cm³ máu là \(1,36 \times 10^{-8} \, \text{Ci}\), và độ phóng xạ toàn bộ cơ thể sau 7,5 giờ là \(1,408 \times 10^{-6} \, \text{Ci}\), ta có thể tính thể tích máu như sau:

\[

V_{\text{máu}} = \frac{1,408 \times 10^{-6}}{1,36 \times 10^{-8}} \, \text{cm}^3

\]

\[

V_{\text{máu}} \approx 103,53 \, \text{cm}^3

\]

### Tóm tắt:

Thể tích máu của bệnh nhân là khoảng **104 cm³**.

### a) Tính bán kính của hạt nhân nguyên tử Ra

Dựa vào công thức bán kính hạt nhân \( r = r_0 A^{1/3} \), với:

- \( r_0 = 1,4 \times 10^{-15} \) m

- \( A = 226 \) (số khối của Ra)

Ta có thể tính bán kính hạt nhân của Ra như sau:

\[

r = (1,4 \times 10^{-15}) \times 226^{1/3}

\]

Bước 1: Tính \( A^{1/3} \):

\[

226^{1/3} \approx 6,04

\]

Bước 2: Tính bán kính \( r \):

\[

r = 1,4 \times 10^{-15} \times 6,04 \approx 8,46 \times 10^{-15} \, \text{m}

\]

Vậy bán kính của hạt nhân nguyên tử Ra là khoảng **8,46 × 10⁻¹⁵ m**.

---

### b) Tính năng lượng liên kết của hạt nhân, năng lượng liên kết riêng

#### 1. Tính năng lượng liên kết của hạt nhân

Năng lượng liên kết của hạt nhân có thể tính bằng công thức:

\[

E_b = \left( Z m_p + (A - Z) m_n - m_{\text{Ra}} \right) c^2

\]

Trong đó:

- \( Z = 88 \) là số proton (vì Ra có số proton là 88).

- \( A = 226 \) là số khối.

- \( m_p = 1,007276 \, \text{amu} \) là khối lượng proton.

- \( m_n = 1,008665 \, \text{amu} \) là khối lượng neutron.

- \( m_{\text{Ra}} = 226,0254 \, \text{amu} \) là khối lượng của hạt nhân Ra.

- \( c = 3,0 \times 10^8 \, \text{m/s} \) là tốc độ ánh sáng.

Bước 1: Tính khối lượng của các proton và neutron trong hạt nhân Ra:

\[

Z m_p + (A - Z) m_n = 88 \times 1,007276 + (226 - 88) \times 1,008665

\]

Tính ra:

\[

Z m_p = 88 \times 1,007276 = 88,640288 \, \text{amu}

\]

\[

(A - Z) m_n = 138 \times 1,008665 = 139,19487 \, \text{amu}

\]

Tổng khối lượng proton và neutron:

\[

88,640288 + 139,19487 = 227,835158 \, \text{amu}

\]

Bước 2: Tính năng lượng liên kết:

\[

E_b = (227,835158 - 226,0254) \times 931,5 \, \text{MeV}

\]

\[

E_b = 1,809858 \times 931,5 \, \text{MeV}

\]

\[

E_b \approx 1,687 \, \text{MeV}

\]

Vậy năng lượng liên kết của hạt nhân Ra là khoảng **1,687 MeV**.

#### 2. Tính năng lượng liên kết riêng

Năng lượng liên kết riêng được tính bằng công thức:

\[

E_{\text{liên kết riêng}} = \frac{E_b}{A}

\]

Với \( A = 226 \), ta có:

\[

E_{\text{liên kết riêng}} = \frac{1,687}{226} \approx 0,00746 \, \text{MeV/nuclon}

\]

Vậy năng lượng liên kết riêng của hạt nhân Ra là khoảng **0,00746 MeV/nuclon**.

---

### Tóm tắt:

- **Bán kính hạt nhân Ra:** \( 8,46 \times 10^{-15} \, \text{m} \)

- **Năng lượng liên kết:** 1,687 MeV

- **Năng lượng liên kết riêng:** 0,00746 MeV/nuclon

### a) Tính bán kính của hạt nhân nguyên tử Ra

Dựa vào công thức bán kính hạt nhân \( r = r_0 A^{1/3} \), với:

- \( r_0 = 1,4 \times 10^{-15} \) m

- \( A = 226 \) (số khối của Ra)

Ta có thể tính bán kính hạt nhân của Ra như sau:

\[

r = (1,4 \times 10^{-15}) \times 226^{1/3}

\]

Bước 1: Tính \( A^{1/3} \):

\[

226^{1/3} \approx 6,04

\]

Bước 2: Tính bán kính \( r \):

\[

r = 1,4 \times 10^{-15} \times 6,04 \approx 8,46 \times 10^{-15} \, \text{m}

\]

Vậy bán kính của hạt nhân nguyên tử Ra là khoảng **8,46 × 10⁻¹⁵ m**.

---

### b) Tính năng lượng liên kết của hạt nhân, năng lượng liên kết riêng

#### 1. Tính năng lượng liên kết của hạt nhân

Năng lượng liên kết của hạt nhân có thể tính bằng công thức:

\[

E_b = \left( Z m_p + (A - Z) m_n - m_{\text{Ra}} \right) c^2

\]

Trong đó:

- \( Z = 88 \) là số proton (vì Ra có số proton là 88).

- \( A = 226 \) là số khối.

- \( m_p = 1,007276 \, \text{amu} \) là khối lượng proton.

- \( m_n = 1,008665 \, \text{amu} \) là khối lượng neutron.

- \( m_{\text{Ra}} = 226,0254 \, \text{amu} \) là khối lượng của hạt nhân Ra.

- \( c = 3,0 \times 10^8 \, \text{m/s} \) là tốc độ ánh sáng.

Bước 1: Tính khối lượng của các proton và neutron trong hạt nhân Ra:

\[

Z m_p + (A - Z) m_n = 88 \times 1,007276 + (226 - 88) \times 1,008665

\]

Tính ra:

\[

Z m_p = 88 \times 1,007276 = 88,640288 \, \text{amu}

\]

\[

(A - Z) m_n = 138 \times 1,008665 = 139,19487 \, \text{amu}

\]

Tổng khối lượng proton và neutron:

\[

88,640288 + 139,19487 = 227,835158 \, \text{amu}

\]

Bước 2: Tính năng lượng liên kết:

\[

E_b = (227,835158 - 226,0254) \times 931,5 \, \text{MeV}

\]

\[

E_b = 1,809858 \times 931,5 \, \text{MeV}

\]

\[

E_b \approx 1,687 \, \text{MeV}

\]

Vậy năng lượng liên kết của hạt nhân Ra là khoảng **1,687 MeV**.

#### 2. Tính năng lượng liên kết riêng

Năng lượng liên kết riêng được tính bằng công thức:

\[

E_{\text{liên kết riêng}} = \frac{E_b}{A}

\]

Với \( A = 226 \), ta có:

\[

E_{\text{liên kết riêng}} = \frac{1,687}{226} \approx 0,00746 \, \text{MeV/nuclon}

\]

Vậy năng lượng liên kết riêng của hạt nhân Ra là khoảng **0,00746 MeV/nuclon**.

---

### Tóm tắt:

- **Bán kính hạt nhân Ra:** \( 8,46 \times 10^{-15} \, \text{m} \)

- **Năng lượng liên kết:** 1,687 MeV

- **Năng lượng liên kết riêng:** 0,00746 MeV/nuclon