Xét tam giác $ABC$ có $BC\perp A{B}^{\prime }$ và $B^{\prime }{C}^{\prime }\perp A{B}^{\prime }$ nên => $BC$ // $B^{\prime }{C}^{\prime }$

Theo hệ quả định lí Thales ,ta có AB/AB'= BC/BC'

=> x/x+h =a/a'

$a^{\prime }.x=a(x+h)$

$a^{\prime }.x-ax=ah$

$x(a^{\prime }-a)=ah$

x=ah/a'-a

trong tam giác ADB , có : MN//AB (gt) 

=>DN/DB =MN/AB ( hệ quả định lí thales ) (1)

Trong tam giác ACB ta có: PQ//AB (gt) 

=> CQ /CB =PQ/AB ( hệ quả định lí thales ) (2)

Lại có : NQ//AB (gt):AB//CD (gt)

=>NQ//CD

Trong tam giác BDC ,ta có: NQ//CD (cmt)

=> DN/DB=CQ/CB ( Định lí thales ) (3)

Từ (1),(2) và (3) => MN/AB =PQ/AB hay MN= PQ ( đpcm)

Vì G là trọng tâm △ABC 

=> CG/CM=2/3=> GM/CM=1/3

xét △CMB có GM//MB ( MD//AB )

=> Theo định lí thales ta có : GM/CM = BM/CB=1/3

=> BM=1/3CB

$Vì\; tứ\; giác\; ABCD$ là hình thang

Áp dụng hệ quả định lí Thalès, ta có: OA/OC= OB/OD OAOC =OBOD
 AB//CD ​ 
​

Suy ra $OA.OD=OB.OC$ (đpcm).

Xét △ABC có FD//AB 

=> AF/AC= BD/BC ( theo định lí thales )     (1)

Xét △ABC có DE//AB 

=> AE/AB = CD/BC ( theo định lí thales )      (2)

=> từ (1),(2)=> AF/AC + AE/AB = BD/BC + CD/BC =BC/BC =1

a, Vì ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC,BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường 

Xét △OBM và △ODP có:

OBM^=ODP^(slt)

OB=OD (gt)

BOM^=DOP^ (đối đỉnh)

Vậy △OBM=△ODP(g.c.g)

=> OM=OP(2 cạnh t/ứ)

Xét △OAQ và △OCN có:

QOA^=NOC^( đối đỉnh )

AO=OC(gt)

QAO^=NCO^(slt)

=> △OAQ = △OCN (g.c.g)

=>OQ=ON( 2 cạnh t/ứ )

Vì tứ giác MNPQ có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành

b, Vì hình bình hành MNPQ có 2 đường chéo MP⊥NQ => hình bình hành MNPQ là hình thoi

a, Vì ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC,BD cắt nhau tại O là trung điểm của mỗi đường 

Xét △OBM và △ODP có:

OBM^=ODP^(slt)

OB=OD (gt)

BOM^=DOP^ (đối đỉnh)

Vậy △OBM=△ODP(g.c.g)

=> OM=OP(2 cạnh t/ứ)

Xét △OAQ và △OCN có:

QOA^=NOC^( đối đỉnh )

AO=OC(gt)

QAO^=NCO^(slt)

=> △OAQ = △OCN (g.c.g)

=>OQ=ON( 2 cạnh t/ứ )

Vì tứ giác MNPQ có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên là hình bình hành

b, Vì hình bình hành MNPQ có 2 đường chéo MP⊥NQ => hình bình hành MNPQ là hình thoi

a, Vì ABCD là hình bình hành nên AB=DC => 1/2AB=1/2DC

Do đó AM=BM=DN=CN

Vì tứ giác AMCN có: AM//NC,AM=NC => Tứ giác AMCN là hình bình hành

Ta có: △ADC vuông tại A 

           AN là đường trung tuyến nên AN=1/2DC =DN=CN

Vì hình bình hành AMCN có 2 cạnh kề bằng nhau => hbh AMCN là hình thoi

Có 2 đường chéo AC,MN vuông góc với nhau 

=> Tứ giác AMCN là hình thoi

Ta có ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BD tại trung điểm của mỗi đường nên BD là trung trực của AC 

=> GA = GC,HA = HC (1)

Và AC là trung trực của BD => AG=AH,CG=CH (2)

Từ (1) và (2)=> AG=GC=CH=HA nên AGCH là hình thoi

Bài làm

A, Ta có : Ax\(\perp\)AC và By//AC

=>Ax\(\perp\)By =>AMB^ =90°

Xét ∆MAQ và ∆QBM có : 

MQA^=BMQ^(slt)

MQ( chung) 

AMQ^= BQM^ ( Ax//QB) 

=>∆MAQ=∆QBM (g - c - g) 

=>MBQ^ = MAQ^ =90° ( 2 góc t/ứ ) 

Xét tứ giác AMBQ có : QAM^=AMB^=MBQ^=90°

=> tứ giác AMBQ là hình chữ nhật 

B, Vì tứ giác AMBQ là hình chữ nhật 

Mà p là trung điểm của AB nên PQ = PA = PB (1) 

Xét ∆AIB vuông tại I và IP là đường trung tuyến 

=>IP=1/2AB (2) 

Từ (1) và (2) => QP = IP => ∆PQI cân tại P