a) 

nΔ→=(3;4);nΔ1→=(5;−12).​nΔ​​=(3;4);nΔ1​​​=(5;−12).​

cos⁡α=∣cos⁡(nΔ→;nΔ1→)∣=∣3.5+4.(−12)∣5.13=3365cosα=​cos(nΔ​​;nΔ1​​​)​=5.13∣3.5+4.(−12)∣​=6533​.

b) $(C)$ có tâm $I(3;-2)$, bán kính $R=6$

Đường thẳng $d$ có dạng $4x-3y+m=0$ ($m$ khác $7$)

$d$ tiếp xúc $(C)$ khi và chỉ khi d(I,d)=R⇔∣12+6+m∣5=6d(I,d)=R⇔5∣12+6+m∣​=6.

Tìm được $m=-48$(TM), $m=12$ (TM)

Vậy có hai đường thẳng $d$ thỏa mãn là $4x-3y-48=0$ và $4x-3y+12=0$.

a) Ta có f(x)=x2+2(m−1)x+m+5f(x)=x2+2(m−1)x+m+5 có Δ′=(m−1)2−(m+5)=m2−3m−4Δ′=(m−1)2−(m+5)=m2−3m−4

Lại có hệ số $a=1>0$.

Để $f(x)$ luôn dương (cùng dấu hệ số $a$) với mọi $x\in \mathbb{R}$ thì Δ′<0Δ′<0 ⇔m2−3m−4<0⇔m2−3m−4<0.

Xét tam thức h(m)=m2−3m−4h(m)=m2−3m−4 có Δm=9−4.(−4)=25>0Δm​=9−4.(−4)=25>0 nên $h(m)$ có hai nghiệm là m1=−1m1​=−1 và m2=4m2​=4.

Ta có bảng xét dấu của $h(m)$:

Do đó $h(m)<0$ với mọi $x\in (-1;4)$

Hay Δ′<0Δ′<0 với mọi $x\in (-1;4)$

Vậy $x\in (-1;4)$ thì tam thức bậc hai f(x)=x2+(m−1)x+m+5f(x)=x2+(m−1)x+m+5 dương với mọi $x\in \mathbb{R}$.

b) Bình phương hai vế ta được: 2x2−8x+4=x2−4x+42x2−8x+4=x2−4x+4

⇔x2−4x=0⇔x2−4x=0

Suy ra $x=0$ hoặc $x=4$

Thử lại nghiệm được $x=4$ thỏa mãn phương trình.

Vậy tập nghiệm $S=4$.

Ta có: $d$ // $\Delta :x+4y-2=0\Rightarrow$ Phương trình $d$ có dạng: $x+4y+c=0$.

Mặt khác: d(A,d)=3⇒∣−2+4.3+c∣1+16=3⇒∣10+c∣=317d(A,d)=3⇒1+16​∣−2+4.3+c∣​=3⇒∣10+c∣=317​

⇒[c=317−10 c=−317−10⇒[d1:x+4y+317−10=0d2:x+4y−317−10=0 ⇒[​c=317​−10 c=−317​−10​⇒[​d1​:x+4y+317​−10=0d2​:x+4y−317​−10=0 ​

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn: x+4y+317−10=0x+4y+317​−10=0; x+4y−317−10=0x+4y−317​−10=0.

a) Gọi C(xC;yC)C(xC​;yC​).

Ta có: OC→=(xC;yC)OC=(xC​;yC​), AB→=(−2;5)⇒−3AB→=(6;−15)AB=(−2;5)⇒−3AB=(6;−15);

OC→=−3AB→⇔{xC=6yC=−15⇒C(6;−15)OC=−3AB⇔{​xC​=6yC​=−15​⇒C(6;−15)

b) $D$ đối xứng với $A$ qua $C$ hay $C$ là trung điểm của AD⇔{xC=xA+xD2yC=yA+yD2AD⇔⎩⎨⎧​​xC​=2xA​+xD​​yC​=2yA​+yD​​​

⇔{xD=2xC−xA=2.6−3=9yD=2yC−yA=2(−15)−(−5)=−25 ⇔⎩⎨⎧​ ​xD​=2xC​−xA​=2.6−3=9yD​=2yC​−yA​=2(−15)−(−5)=−25​

$\Rightarrow D(9;-25)$.

Bình phương hai vế phương trình, ta được: 2x2+5=x2−x+11⇔x2+x−6=0⇔x=22x2+5=x2−x+11⇔x2+x−6=0⇔x=2 hoặc $x=-3$.

Thay giá trị $x=2$ vào phương trình: 13=1313​=13​ (thỏa mãn).

Thay giá trị $x=-3$ vào phương trình: 23=2323​=23​ (thỏa mãn).

Vậy tập nghiệm phương trình là $S=\{2;-3\}$. 

Khi bán hết $x$ sản phẩm thì số tiền thu được là: $170x$ (nghìn đồng).

Điều kiện để nhà sản xuất không bị lỗ là 170x≥x2+30x+3300⇔x2−140x+3300≤0170x≥x2+30x+3300⇔x2−140x+3300≤0.

Xét x2−140x+3300=0⇒x=30x2−140x+3300=0⇒x=30 hoặc $x=110$.

Bảng xét dấu f(x)=x2−140x+3300f(x)=x2−140x+3300:

∞!aaaaa + ∞ − + ∞ − xf(x)00 + 30110

Ta có: x2−140x+3300≤0⇔x∈[30;110]x2−140x+3300≤0⇔x∈[30;110].

Vậy nếu nhà sản xuất làm ra từ $30$ đến $110$ sản phẩm thì họ sẽ không bị lỗ.