Kích thước của cả khung ảnh là $(17+2x)$ cm x $(25+2x)$ cm (Điều kiện: $x>0$)

Diện tích cả khung ảnh là: S = (17+2x).(25+2x)=4x2+84x+425(17+2x).(25+2x)=4x2+84x+425

Để diện tích của cả khung ảnh lớn nhất là $513$ cm2 thì  S=4x2+84x+425≤513S=4x2+84x+425≤513

⇒4x2+84x−88≤0⇔−22≤x≤1⇒4x2+84x−88≤0⇔−22≤x≤1. Vì $x>0$ nên $x\in (0;1]$

Vậy cần phải làm độ rộng viền khung ảnh tối đa $1$ (cm).

a, Vecto pháp tuyến của Δ là (3;4)

Vecto pháp tuyên của Δ1 là (5;-12)

cos α= trị tuyệt đối 3.5+4.(-12)/(căn 3²+4² ).căn (5²+(-12)

⇒cos α =-33/65

Vậy cos α= -33/65

b, Gọi phương trình đường thẳng vuông góc với Δ là d

Vecto pháp tuyến của Δ là (3;4)

theo đề bài, Δ vuông góc với d nên:

 Vecto  pháp tuyến của đường thẳng vuông góc với d nên: (4;-3)

Phương trình đường thẳng vuông góc với đường thẳng Δ và tiếp xúc với đường tròn (C) là:

 4x-3y+c=0 (1)

Tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm (x;y) là:

(x-3)/36=(y+2)/36

(x-3)=(y+2)

x-y=5

Vecto pháp tuyến của đường thẳng (1) là: (4;-3)

Vecto pháp tuyến của tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm tiếp xúc là (1;-1)

Vì góc giữa đường thẳng và tiếp tuyến của đường tròn tại điểm tiếp xúc là 90 độ :

⇒ (4;-3).(1;-1)=0

Điểm tiếp xúc giữa đường thẳng và đường tròn là (7;2) 

Thay (7;2) vào phương trình đường thẳng, ta được:

4.7-3.2+c=0

⇒c=-22

Vậy  phương trình đường thẳng vuông góc với Δ và tiếp xúc với đường tròn (C): 4x-3y-22=0

a, ta có: 

Δ=(m-1)²-4.(m+5)=m²-6m-19

⇒ m=3+2căn7 và m=3-2 căn7

Vậy để tam thức bậc hai f(x)=x²+(m-1)x+m+5 dương với mọi x ϵR thì m nằm trong khoảng(-∞;3-2 căn 7)hợp (3+2 căn7; +∞)

b, căn 2x²-8x+4 =x-2

⇔2x²-8x+4=(x-2)²

⇔2x²-8x+4=x²-4x+4

⇔x²-4x=0

⇔x=0 và x=4

Vậy phương trình có 2 nghiệm x=0 và x=4