a: Xét tứ giác MAOB có \(\hat{M A O} + \hat{M B O} = 9 0^{0} + 9 0^{0} = 18 0^{0}\)

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO\(\bot\)AB tại D

Xét ΔODC vuông tại D và ΔOHM vuông tại H có

\(\hat{D O C}\) chung

Do đó: ΔODC~ΔOHM

=>\(\frac{O D}{O H} = \frac{O C}{O M}\)

=>\(O D \cdot O M = O C \cdot O H\)

a; Thay m=-2 vào (1), ta được:

\(x^{2} - \left(\right. - 2 \left.\right) x + \left(\right. - 2 \left.\right) - 1 = 0\)

=>\(x^{2} + 2 x - 3 = 0\)

=>(x+3)(x-1)=0

=>\(\left[\right. x + 3 = 0 \\ x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = - 3 \\ x = 1\)

b: \(\Delta = \left(\left(\right. - m \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m - 1 \left.\right) = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\left(\right. m - 2 \left.\right)\right)^{2} > = 0 \forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm

Theo Vi-et, ta có:

\({.x_1+x_2=-\frac{b}{a}=m,x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1}\)

\(A = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \left(\right. x_{1} x_{2} + 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{2 \left(\right. m - 1 \left.\right) + 3}{\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2} = \frac{2 m - 2 + 3}{m^{2} + 2}\)

\(= \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2}\)

=>\(A - 1 = \frac{2 m + 1 - m^{2} - 2}{m^{2} + 2} = \frac{- m^{2} + 2 m - 1}{m^{2} + 2} = - \frac{\left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2}}{m^{2} + 2} < = 0 \forall m\)

=>\(A < = 1 \forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m-1=0

=>m=1

Ta có : \(\left(\right. x - 7 \left.\right) \left(\right. x - 6 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right) = m\)

=> \(\left(\right. x^{2} - 7 x + 3 x - 21 \left.\right) \left(\right. x^{2} - 6 x + 2 x - 12 \left.\right) = m\)

=> \(\left(\right. x^{2} - 4 x - 21 \left.\right) \left(\right. x^{2} - 4 x - 12 \left.\right) = m\)

- Đặt \(x^{2} - 4 x = a\) ta được phương trình :

\(\left(\right. a - 21 \left.\right) \left(\right. a - 12 \left.\right) = m\)

=> \(a^{2} - 21 a - 12 a + 252 - m = 0\)

=> \(a^{2} - 33 a + 252 - m = 0\)

=> \(\Delta = b^{2} - 4 a c = \left(\left(\right. - 33 \left.\right)\right)^{2} - 4 \left(\right. 252 - m \left.\right) = 81 + 4 m\)

Lại có : \(x^{2} - 4 x = a\)

=> \(x^{2} - 4 x - a = 0\) ( I )

- Để phương trình ( I ) có 4 nghiệm phân biệt

<=> Phương trình ( II ) có hai nghiệm phân biệt

<=> \(\Delta > 0\)

<=> \(m > - \frac{81}{4}\)

Nên phương trình có hai nghiệm phân biệt :

\({.x_1=\frac{- b - \sqrt{\Delta}}{2 a}=\frac{33 - \sqrt{81 + 4 m}}{2},x_2=\frac{33 + \sqrt{81 + 4 m}}{2}}\)

=> Ta được phương trình ( I ) là :

\({.x^2-4x+\frac{\sqrt{81 + 4 m} - 33}{2}=0,x^2-4x-\frac{\sqrt{81 + 4 m} + 33}{2}=0}\)

- Theo vi ét : \({.{.\begin{matrix}x_1+x_2=4\\ x_1x_2=\frac{33 - \sqrt{81 + 4 m}}{2}\end{matrix}{.\begin{matrix}x_3+x_4=4\\ ,x_3x_4=\frac{33 + \sqrt{81 + 4 m}}{2}\end{matrix}}}}\)

- Để \(\frac{1}{x_{1}} + \frac{1}{x_{2}} + \frac{1}{x_{3}} + \frac{1}{x_{4}} = 4\)

<=> \(\frac{x_{1} + x_{2}}{x_{1} x_{2}} + \frac{x_{3} + x_{4}}{x_{3} x_{4}} = 4\)

<=> \(\frac{4}{\frac{33 - \sqrt{81 + 4 m}}{2}} + \frac{4}{\frac{33 + \sqrt{81 + 4 m}}{2}} = 4\)

<=> \(\frac{1}{\frac{33 - \sqrt{81 + 4 m}}{2}} + \frac{1}{\frac{33 + \sqrt{81 + 4 m}}{2}} = 1\)

<=> \(\frac{2}{33 - \sqrt{81 + 4 m}} + \frac{2}{33 + \sqrt{81 + 4 m}} = 1\)

<=> \(\frac{2 \left(\right. 33 - \sqrt{81 + 4 m} \left.\right) + 2 \left(\right. 33 + \sqrt{81 + 4 m} \left.\right)}{\left(\right. 33 - \sqrt{81 + 4 m} \left.\right) \left(\right. 33 + \sqrt{81 + 4 m} \left.\right)} = 1\)

<=> \(66 - 2 \sqrt{81 + 4 m} + 66 + 2 \sqrt{81 + 4 m} = 1089 - 81 - 4 m\)

<=> \(66 + 66 = 1089 - 81 - 4 m\)

<=> \(m = 219\)

thời gian từ nhà đến A là: t1 = \(\frac{24}{v} \left(\right. g i ờ \left.\right) \left(\right. 1 \left.\right)\)

thời gian về là: t2 = \(\frac{12}{v} + \frac{12}{v + 4} \left(\right. g i ờ \left.\right) \left(\right. 2 \left.\right)\)

mà theo đề, thời gian về ít hơn thời gian đi là 15p nên:

t1 - t2 = 1/4 (3)

thay (1) (2) vào (3) ta được:

\(\frac{24}{v} - \left(\right. \frac{12}{v} + \frac{12}{v + 4} \left.\right) = \frac{1}{4} \frac{24}{v} - \frac{12}{v} - \frac{12}{v + 4} = \frac{1}{4} \frac{12}{v} - \frac{12}{v + 4} = \frac{1}{4} \frac{12 \cdot \left(\right. x + 4 \left.\right) - 12 x}{x \cdot \left(\right. x + 4 \left.\right)} = \frac{1}{4} \frac{48}{x \cdot \left(\right. x + 4 \left.\right)} = \frac{1}{4} = > 192 = x \cdot \left(\right. x + 4 \left.\right) = > x^{2} + 4 x - 192 = 0 = > x_{1} = 12 \left(\right. T M \left.\right) ; x_{2} = - 16 \left(\right. K T M \left.\right)\)

vậy vận tốc bạn đi là 12km/h

a; Thay m=-2 vào (1), ta được:

\(x^{2} - \left(\right. - 2 \left.\right) x + \left(\right. - 2 \left.\right) - 1 = 0\)

=>\(x^{2} + 2 x - 3 = 0\)

=>(x+3)(x-1)=0

=>\(\left[\right. x + 3 = 0 \\ x - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[\right. x = - 3 \\ x = 1\)

b: \(\Delta = \left(\left(\right. - m \left.\right)\right)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot \left(\right. m - 1 \left.\right) = m^{2} - 4 m + 4 = \left(\left(\right. m - 2 \left.\right)\right)^{2} > = 0 \forall m\)

=>Phương trình (1) luôn có hai nghiệm

Theo Vi-et, ta có\({.x_1+x_2=-\frac{b}{a}=x_1x_2=\frac{c}{a}=m-1}\)

\(A = \frac{2 x_{1} x_{2} + 3}{x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + 2 \left(\right. x_{1} x_{2} + 1 \left.\right)}\)

\(= \frac{2 \left(\right. m - 1 \left.\right) + 3}{\left(\left(\right. x_{1} + x_{2} \left.\right)\right)^{2} - 2 x_{1} x_{2} + 2 x_{1} x_{2} + 2} = \frac{2 m - 2 + 3}{m^{2} + 2}\)

\(= \frac{2 m + 1}{m^{2} + 2}\)

=>\(A - 1 = \frac{2 m + 1 - m^{2} - 2}{m^{2} + 2} = \frac{- m^{2} + 2 m - 1}{m^{2} + 2} = - \frac{\left(\left(\right. m - 1 \left.\right)\right)^{2}}{m^{2} + 2} < = 0 \forall m\)

=>\(A < = 1 \forall m\)

Dấu '=' xảy ra khi m-1=0

=>m=1