Cho:

\(S = \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{4^{2}} + \frac{1}{5^{2}} + \frac{1}{6^{2}} + \frac{1}{7^{2}} + \frac{1}{8^{2}} + \frac{1}{9^{2}}\)

Tính giá trị gần đúng của từng số hạng:

\(\frac{1}{2^{2}} & = \frac{1}{4} = 0,25 \\ \frac{1}{3^{2}} & = \frac{1}{9} \approx 0,1111 \\ \frac{1}{4^{2}} & = \frac{1}{16} = 0,0625 \\ \frac{1}{5^{2}} & = \frac{1}{25} = 0,04 \\ \frac{1}{6^{2}} & = \frac{1}{36} \approx 0,0278 \\ \frac{1}{7^{2}} & = \frac{1}{49} \approx 0,0204 \\ \frac{1}{8^{2}} & = \frac{1}{64} \approx 0,0156 \\ \frac{1}{9^{2}} & = \frac{1}{81} \approx 0,0123\)

Cộng tất cả lại:

\(S \approx 0,25 + 0,1111 + 0,0625 + 0,04 + 0,0278 + 0,0204 + 0,0156 + 0,0123 \approx 0,5397\)

So sánh:

\(\frac{2}{5} = 0,4 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{8}{9} \approx 0,8889\)

Ta thấy:

\(0,4 < 0,5397 < 0,8889 \Rightarrow \boxed{\frac{2}{5} < S < \frac{8}{9}}\)

Kết luận:

Đã chứng minh được:

\(\boxed{\frac{2}{5} < S < \frac{8}{9}}\)