a) Tính \(\hat{C}\)

Dữ kiện:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), tức là \(\hat{A} = 90^{\circ}\).​
• \(\hat{B} = 50^{\circ}\).​

Giải:

Vì tổng ba góc trong một tam giác bằng \(180^{\circ}\), ta có:​

\(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 180^{\circ}\)

Thay \(\hat{A} = 90^{\circ}\) và \(\hat{B} = 50^{\circ}\):​

\(90^{\circ} + 50^{\circ} + \hat{C} = 180^{\circ}\) \(\hat{C} = 180^{\circ} - 140^{\circ} = 40^{\circ}\)

Kết luận: \(\hat{C} = 40^{\circ}\).​

b) Chứng minh \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\)

Dữ kiện:

• \(H\) là điểm trên \(B C\) sao cho \(H B = B A\).​
• \(H E \bot B C\) tại \(H\), và \(E \in A C\).​

Chứng minh:

Xét hai tam giác vuông:

• Tam giác \(A B E\) vuông tại \(A\).​
• Tam giác \(H B E\) vuông tại \(H\).​

Hai tam giác này có:​

• Cạnh huyền chung \(B E\).​
• Cạnh vuông \(A B = H B\) (do \(H\) là điểm trên \(B C\) sao cho \(H B = B A\)).​
• Góc vuông tại \(A\) và \(H\).​

Áp dụng định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta suy ra:​

\(\triangle A B E = \triangle H B E\)

Do đó, \(\hat{B A E} = \hat{H B E}\)

Vì \(H E \bot B C\), ta có \(\hat{H B E} = \hat{B A E}\).​

Kết luận: \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\).​

c) Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(K C\)

Dữ kiện:

• \(K\) là giao điểm của \(B A\) và \(H E\).​
• \(B E\) cắt \(K C\) tại \(I\).​

Chứng minh:

• Từ câu b), ta biết rằng \(B E\) là tia phân giác của góc \(\hat{B}\).​
• Trong tam giác vuông \(A B C\), \(B E\) là đường phân giác của góc vuông \(\hat{B}\), nên \(B E\) chia cạnh \(B C\) thành hai đoạn có tỷ lệ bằng nhau:​

\(\frac{B I}{I C} = \frac{A B}{A C}\)

• Vì \(A B = A C\) (do tam giác vuông cân tại \(A\)), ta có:​

\(\frac{B I}{I C} = 1\)

• Do đó, \(B I = I C\), suy ra \(I\) là trung điểm của \(K C\).​

Kết luận: \(I\) là trung điểm của \(K C\).

Bước 1: Viết biểu thức của \(f \left(\right. a \left.\right)\) và \(f \left(\right. b \left.\right)\)

• \(f \left(\right. a \left.\right) = \frac{100}{a} + 10\)
• \(f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100}{b} + 10\)

Bước 2: Cộng \(f \left(\right. a \left.\right)\) và \(f \left(\right. b \left.\right)\)

Bước 3: Biểu thức tổng của \(\frac{100}{a} + \frac{100}{b}\)

Ta có:

Vì \(a + b = 1\), ta có thể tính được:

Vậy:

Bước 4: Sử dụng điều kiện \(a + b = 1\)

Dễ dàng thấy từ điều kiện \(a + b = 1\), ta có thể viết lại biểu thức \(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right)\) như sau:

Bước 5: Kết luận

Để \(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1\), ta phải có:

Giải phương trình này:

Kết luận:

Để \(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1\), các giá trị \(a\) và \(b\) phải thỏa mãn điều kiện \(a + b = 1\) và \(a b = - \frac{100}{19}\).

1/6

a) Tính \(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\)

Cho các đa thức:

• \(A \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{3} - x^{2} + 3 x - 5\)
• \(B \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{3} + x^{2} + x + 5\)

Để tính \(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\), ta chỉ cần cộng các hệ số của các bậc tương ứng:

\(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x^{3} + 2 x^{3} \left.\right) + \left(\right. - x^{2} + x^{2} \left.\right) + \left(\right. 3 x + x \left.\right) + \left(\right. - 5 + 5 \left.\right)\)

• Hệ số của \(x^{3}\): \(2 + 2 = 4\)
• Hệ số của \(x^{2}\): \(- 1 + 1 = 0\)
• Hệ số của \(x\): \(3 + 1 = 4\)
• Hệ số hằng số: \(- 5 + 5 = 0\)

Vậy, ta có:

\(A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4 x\)

b) Tìm nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right)\)

Đã biết:

\(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{3} + 4 x\)

Để tìm nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right) = 0\), ta giải phương trình:

\(4 x^{3} + 4 x = 0\)

Ta có thể đưa ra yếu tố chung là \(4 x\):

\(4 x \left(\right. x^{2} + 1 \left.\right) = 0\)

• Phương trình có một nghiệm là \(x = 0\) (từ \(4 x = 0\))
• Phương trình \(x^{2} + 1 = 0\) có nghiệm phức \(x = i\) và \(x = - i\) (vì \(x^{2} = - 1\))

Kết luận:

• Nghiệm của \(H \left(\right. x \left.\right) = 0\) là:
  \(x = 0\), \(x = i\), \(x = - i\)

1. Gọi số sách của lớp 7A là \(5 x\) và số sách của lớp 7B là \(6 x\), với \(x\) là hệ số tỷ lệ.
2. Tổng số sách là:
   \(5 x + 6 x = 121\)
3. Giải phương trình:
   \(11 x = 121 \Rightarrow x = \frac{121}{11} = 11\)
4. Vậy:
5. • Số sách của lớp 7A là: \(5 \times 11 = 55\) quyển.
   • Số sách của lớp 7B là: \(6 \times 11 = 66\) quyển.​

Kết luận:

• Lớp 7A quyên góp được 55 quyển sách.
• Lớp 7B quyên góp được 66 quyển sách.

a) Chứng minh rằng tam giác \(\triangle C B D\) là tam giác cân

Dữ kiện:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), với \(A B < A C\).
• Trên tia đối của tia \(A B\), lấy điểm \(D\) sao cho \(A D = A B\).

Chứng minh:

• Vì \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\), ta có:
  \(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} (\text{theo}\&\text{nbsp};đị\text{nh}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˊ}{\text{y}} \&\text{nbsp};\text{Pythagoras})\)
• Vì \(A D = A B\), ta có:
  \(B D = A B + A D = 2 A B\)
• Xét tam giác vuông \(\triangle A B C\) và tam giác vuông \(\triangle A D C\), ta có:
• • Cạnh huyền chung \(A C\).
  • Cạnh vuông \(A B = A D\).
  • Góc vuông tại \(A\).
• Áp dụng định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta suy ra:
  \(\triangle A B C = \triangle A D C\)
  Do đó, ta có:
  \(B C = C D\)
• Vì \(B C = C D\), suy ra tam giác \(\triangle C B D\) là tam giác cân tại \(B\).​Hỏi Đáp Việt JackVietJack

b) Chứng minh rằng \(B C = D E\)

Dữ kiện:

• \(M\) là trung điểm của \(C D\).
• Đường thẳng qua \(D\) và song song với \(B C\) cắt đ
• Vì \(D E \parallel B C\), ta có:
  \(\angle B D E = \angle D B C (\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{v}ị)\)
• Xét tam giác vuông \(\triangle B C D\) và tam giác vuông \(\triangle B M E\), ta có:
• • Cạnh vuông \(B D\) chung.
  • Góc vuông tại \(D\) và \(E\).
• Áp dụng định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta suy ra:
  \(\triangle B C D = \triangle B M E\)
  Do đó, ta có:
  BC = DE \]&#8203;:contentReference[oaicite:22]{index=22}

a) Chứng minh rằng tam giác \(\triangle C B D\) là tam giác cân

Dữ kiện:

• Tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), với \(A B < A C\).
• Trên tia đối của tia \(A B\), lấy điểm \(D\) sao cho \(A D = A B\).

Chứng minh:

• Vì \(\triangle A B C\) vuông tại \(A\), ta có:
  \(B C^{2} = A B^{2} + A C^{2} (\text{theo}\&\text{nbsp};đị\text{nh}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˊ}{\text{y}} \&\text{nbsp};\text{Pythagoras})\)
• Vì \(A D = A B\), ta có:
  \(B D = A B + A D = 2 A B\)
• Xét tam giác vuông \(\triangle A B C\) và tam giác vuông \(\triangle A D C\), ta có:
• • Cạnh huyền chung \(A C\).
  • Cạnh vuông \(A B = A D\).
  • Góc vuông tại \(A\).
• Áp dụng định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta suy ra:
  \(\triangle A B C = \triangle A D C\)
  Do đó, ta có:
  \(B C = C D\)
• Vì \(B C = C D\), suy ra tam giác \(\triangle C B D\) là tam giác cân tại \(B\).​Hỏi Đáp Việt JackVietJack

b) Chứng minh rằng \(B C = D E\)

Dữ kiện:

• \(M\) là trung điểm của \(C D\).
• Đường thẳng qua \(D\) và song song với \(B C\) cắt đ
• Vì \(D E \parallel B C\), ta có:
  \(\angle B D E = \angle D B C (\text{g} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{c}\&\text{nbsp};đ \overset{ˋ}{\hat{\text{o}}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{v}ị)\)
• Xét tam giác vuông \(\triangle B C D\) và tam giác vuông \(\triangle B M E\), ta có:
• • Cạnh vuông \(B D\) chung.
  • Góc vuông tại \(D\) và \(E\).
• Áp dụng định lý cạnh-góc-cạnh (c.g.c), ta suy ra:
  \(\triangle B C D = \triangle B M E\)
  Do đó, ta có:
  BC = DE \]&#8203;:contentReference[oaicite:22]{index=22}

Đề bài cho:

• Lớp 7A có 18 học sinh
• Lớp 7B có 20 học sinh
• Lớp 7C có 21 học sinh
• Tổng số cây cả 3 lớp trồng được là 118 cây
• Mỗi học sinh có năng suất như nhau, nghĩa là mỗi học sinh trồng được số cây bằng nhau.

Gọi số cây mỗi học sinh trồng được là \(x\) cây.

Khi đó:

• Lớp 7A trồng được: \(18 x\) cây
• Lớp 7B trồng được: \(20 x\) cây
• Lớp 7C trồng được: \(21 x\) cây

Tổng cây là:

\(18 x + 20 x + 21 x = 118\) \(\left(\right. 18 + 20 + 21 \left.\right) x = 118 \Rightarrow 59 x = 118 \Rightarrow x = 2\)

Vậy mỗi học sinh trồng được 2 cây, ta có:

• Lớp 7A: \(18 \times 2 = 36\) cây
• Lớp 7B: \(20 \times 2 = 40\) cây
• Lớp 7C: \(21 \times 2 = 42\) cây

✅ Kết luận:

• Lớp 7A trồng 36 cây
• Lớp 7B trồng 40 cây
• Lớp 7C trồng 42 cây

a) Tính \(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\)

Cho các đa thức:​

\(A \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 7 x - 2024\) \(B \left(\right. x \left.\right) = - 2 x^{3} + 9 x^{2} + 7 x + 2025\)

Cộng hai đa thức \(A \left(\right. x \left.\right)\) và \(B \left(\right. x \left.\right)\):​

\(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\) \(H \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x^{3} - 5 x^{2} - 7 x - 2024 \left.\right) + \left(\right. - 2 x^{3} + 9 x^{2} + 7 x + 2025 \left.\right)\) \(H \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x^{3} - 2 x^{3} \left.\right) + \left(\right. - 5 x^{2} + 9 x^{2} \left.\right) + \left(\right. - 7 x + 7 x \left.\right) + \left(\right. - 2024 + 2025 \left.\right)\) \(H \left(\right. x \left.\right) = 0 x^{3} + 4 x^{2} + 0 x + 1\) \(H \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{2} + 1\)

b) Chứng minh rằng \(H \left(\right. x \left.\right)\) vô nghiệm

Để chứng minh rằng đa thức \(H \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{2} + 1\) vô nghiệm, ta giải phương trình:

\(4 x^{2} + 1 = 0\) \(4 x^{2} = - 1\) \(x^{2} = - \frac{1}{4}\)

Vì \(x^{2} \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nên phương trình \(x^{2} = - \frac{1}{4}\) vô nghiệm trong tập hợp số thực.​

Do đó, đa thức \(H \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{2} + 1\) không có nghiệm thực.​

Kết luận: Đa thức \(H \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{2} + 1\) vô nghiệm trong tập hợp số thực.

Ta biết:

• AB = 6 cm
• AC = 1 cm
• BC là một số nguyên dương (gọi là \(x\))

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại:

Áp dụng:

1. \(A B + A C > B C \Rightarrow 6 + 1 > x \Rightarrow x < 7\)
2. \(A B + B C > A C \Rightarrow 6 + x > 1 \Rightarrow x > - 5\) (luôn đúng vì \(x > 0\))
3. \(A C + B C > A B \Rightarrow 1 + x > 6 \Rightarrow x > 5\)

=> Kết hợp lại:

\(5 < x < 7 \Rightarrow x = 6 (\text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; x \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n})\)

Vậy:

• BC = 6 cm
• Tam giác có: AB = 6 cm, BC = 6 cm, AC = 1 cm
• Hai cạnh bằng nhau: AB = BC ⇒ Tam giác cân tại đỉnh B

Kết luận:

Tam giác ABC là tam giác cân (cân tại đỉnh B).