Vì BE và CF là 2 đường trung tuyến của tam giác ABC, chúng cắt nhau tại trọng tam G

Theo tính chất của trọng tâm , ta có :

BG =2/3 BE và CG = 2/3 CF

Theo giả thiết ,BE =CF .Do đó ,BG = CG

Xét tam giác BGC vì BC = CG ,nên tam giác BGC là tam giác cân tại G

Gọi M là trung điểm của BC .vì G là trọng tâm của tam giác ABC ,nên AG là đường trung tuyến ứng với cạnh BC Trong tam giác cân BGC ,đường trung tuyến GN đồng thời là đường cao

Vậy AG vuông góc với BC

a, Xét tam giác BGC và tam giác MGC

DG = DM ( giả thiết )

CG là đường trung tuyến của tam giác ABC

G là trọng tâm của tam giác ABC

BG = 2 GD và BG = GM (do G là trọng tâm và DG = DM )

Vậy BG =GM

Tương tự , xét tam giác BGC và tam giác NGB

EG = EN ( giả thiết )

BG là đường trung tuyến của tam giác ABC

G là trọng tâm của tam giác ABC

CG = 2 GE và CG = GN (do G là trọng tâm và EG = EN )

Vậy CG = GN

b, Xét tam giác BGC và tam giác MNG

BG =GM ( chứng minh trên )

CG = GN ( chứng minh trên )

Góc BGC = góc MGN ( đối đỉnh )

Vậy tam giác BGC = tam giác MNG (c.g.c)

Suy ra BC = MN và góc GBC = góc GMN

Vì góc GBC và góc GMN ở vị trí so le trong nên MN song song BC

a, Ta có

BF = 2 BE và BE = 2 ED

Suy ra BF = 4 ED

Suy ra BF = 2 (BE) =2 (2 ED) =4 ED

Suy ra BF = 4 ED

Mà F thuộc tia đối của DE nên E nằm giữa F và D

Ta có BF = 2 BE và BE + ED = BD

Suy ra BF = 2 BE và BE = 2 ED

Suy ra BF = 4 ED

Suy ra BF= 2 BE

Suy ra BE = 1/2 BF

Suy ra BE =1/3 EF

K là trung điểm của CF nên EK là đường trung tuyến của tam giác EFC

Ta có BE = 2 ED và BF = 2 BE

Suy ra BF = 4 ED

Suy ra EF = EB + BF = EB + 2 EB = 3EB

Suy ra EB =1/3 EF

Suy ra EG =2/3 EK

Suy ra G là trọng tâm của tam giác EFC

b, Vì G là trung tuyến của tam giác EFC nên G thuộc đường trung tuyến EK và G thuộc AC

Ta có: D là trung điểm của AC và G thuộc AC

Suy ra GC =1/3 AC

Suy ra DC =1/2 AC

Suy ra GC/ DC =1/3 AC/1/2 AC=2/3

Vậy GE/GK = 2/3 và GC/DC =2/3

Ta có:

C là trung điểm của AD suy ra AC= CD

BG= 2 GC suy ra BG/GC=2

E là trung điểm của BD suy ra BE = ED

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác BCD và cát tuyến A,B,E ta có

BE/ED×DC/CA×AG/GB=1

Thay số:

1×1×AG/GB=1

Suy ra AG/GB=1

Suy ra A,G,E thẳng hàng

b, Gọi M là trung điểm của AB

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ABD và cát tuyến G,C,D ta có:

AM / MB × BG / GC × CD / DA = 1

Thay số

1× 2 × 1 = 2

Suy ra M,G,D thẳng hàng

Vậy DG đi qua trung điểm M của AB

a,Vì tam giác ABC cân tại A nên AB=AC

BD và CE là các đường trung tuyến , nên D và E lần lượt là trung điểm của AC và AB

Do đó AD=1/2 AC và AE=1/2AB

Vì AB=AC,nên AE=AD

Xét tam giác ABD và tam giác ACE

AB=AC (giả thiết)

Góc A là góc chung

AE=AD(chứng minh trên)

Vậy tam giác ABD=tam giác ACE (c.g.c)

Do đó,BD =CE( 2 cạnh tương ứng)

b, vì tam giác ABD= tam giác ACE (cmt) nên góc ABD=góc ACE

Trong tam giác ABD cân tại A, ta có góc ABC = góc ACB

Do đó , góc GBC=góc GCB (vì gócGBC=góc ABC- góc ABD và góc GCB= góc ACB- gócACE)

Vậy tam giác GBC cân tại G(vì có 2 góc đáy bằng nhau)

c, Vì G là giao điểm của 2 đường trung tuyến BD và CE ,nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Do đó ,GD=1/3 BD và GE=1/3 CE

Vì BD=CD(cmt) nên GD=GE

Trong tam giác GBC ta có :GB+GC( bất đẳng thức của tam giác)

Vì G là trong tâm nên BG =2/3 BD và CG=2/3CE

Do đó,BG =2GD vàCG=2GE

Thay vào bất đẳng thức của tam giác , ta có 2GD+2GE>BC

Chia cả hai vế cho 2 ,ta được GD+GE>1/2BC

Vì GE=GF( do tam giác GBC cân tại G và CE là đường trung tuyến )nên GD+GF>1/2 BC

a,Vì tam giác ABC cân tại A nên AB=AC

BD và CE là các đường trung tuyến , nên D và E lần lượt là trung điểm của AC và AB

Do đó AD=1/2 AC và AE=1/2AB

Vì AB=AC,nên AE=AD

Xét tam giác ABD và tam giác ACE

AB=AC (giả thiết)

Góc A là góc chung

AE=AD(chứng minh trên)

Vậy tam giác ABD=tam giác ACE (c.g.c)

Do đó,BD =CE( 2 cạnh tương ứng)

b, vì tam giác ABD= tam giác ACE (cmt) nên góc ABD=góc ACE

Trong tam giác ABD cân tại A, ta có góc ABC = góc ACB

Do đó , góc GBC=góc GCB (vì gócGBC=góc ABC- góc ABD và góc GCB= góc ACB- gócACE)

Vậy tam giác GBC cân tại G(vì có 2 góc đáy bằng nhau)

c, Vì G là giao điểm của 2 đường trung tuyến BD và CE ,nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Do đó ,GD=1/3 BD và GE=1/3 CE

Vì BD=CD(cmt) nên GD=GE

Trong tam giác GBC ta có :GB+GC( bất đẳng thức của tam giác)

Vì G là trong tâm nên BG =2/3 BD và CG=2/3CE

Do đó,BG =2GD vàCG=2GE

Thay vào bất đẳng thức của tam giác , ta có 2GD+2GE>BC

Chia cả hai vế cho 2 ,ta được GD+GE>1/2BC

Vì GE=GF( do tam giác GBC cân tại G và CE là đường trung tuyến )nên GD+GF>1/2 BC

Gọi G là giao điểm của 2 đường trung tuyến BM và CN

-Theo tính chất ta có:BG= 2/3 BM và CG=2/3 CN

Suy ra 2/3 BG + 2/3 CN > BC

Áp dụng bất đảng thức tam giác BGC ta có:BG +CG>BC

Nhân cả 2 vế của bất đẳng thức với 3/2:BM+ CN >3/2 BC

Vậy BM+CN>3/2BC