Ta có: xOy là một góc nhọn, bẹt hoặc tù: Om là tia phân giác của góc xOy I là một điểm bất kỳ trên tia Om E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên Ox và Oy Cần chứng minh: --- a) Chứng minh: Xét hai tam giác vuông IOE và IOF: IE ⊥ Ox, IF ⊥ Oy nên cả hai tam giác đều vuông tại E và F OI chung Vì Om là phân giác của góc xOy, nên góc IOE = IOF (vì OI nằm trên tia phân giác, tạo thành hai góc bằng nhau với Ox và Oy) Do đó, tam giác IOE và IOF: Có: OI = OI (cạnh chung) ∠IOE = ∠IOF Hai tam giác đều vuông => Tam giác IOE = Tam giác IOF (theo góc – cạnh huyền – góc nhọn hoặc cạnh – góc – cạnh trong tam giác vuông) Kết luận: --- b) Chứng minh: Vì: Tam giác IOE = IOF (câu a) => IE = IF => Điểm I cách đều hai điểm E và F Do đó, đường thẳng Om (chứa điểm I) là trung trực của đoạn EF Mà **I

Ta có: xOy là một góc nhọn, bẹt hoặc tù: Om là tia phân giác của góc xOy I là một điểm bất kỳ trên tia Om E, F lần lượt là hình chiếu vuông góc của I lên Ox và Oy Cần chứng minh: --- a) Chứng minh: Xét hai tam giác vuông IOE và IOF: IE ⊥ Ox, IF ⊥ Oy nên cả hai tam giác đều vuông tại E và F OI chung Vì Om là phân giác của góc xOy, nên góc IOE = IOF (vì OI nằm trên tia phân giác, tạo thành hai góc bằng nhau với Ox và Oy) Do đó, tam giác IOE và IOF: Có: OI = OI (cạnh chung) ∠IOE = ∠IOF Hai tam giác đều vuông => Tam giác IOE = Tam giác IOF (theo góc – cạnh huyền – góc nhọn hoặc cạnh – góc – cạnh trong tam giác vuông) Kết luận: --- b) Chứng minh: Vì: Tam giác IOE = IOF (câu a) => IE = IF => Điểm I cách đều hai điểm E và F Do đó, đường thẳng Om (chứa điểm I) là trung trực của đoạn EF Mà **I

Ta xét tam giác ABC cân tại A, nghĩa là AB = AC. Gọi CP, BQ là các đường phân giác trong của tam giác ABC, với P ∈ AB, Q ∈ AC. O là giao điểm của CP và BQ. --- a) Chứng minh tam giác OBC cân Chứng minh: Vì CP và BQ là các đường phân giác trong, nên chúng chia các góc tại C và B thành hai phần bằng nhau. Giao điểm của hai đường phân giác trong trong tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác đó. Do đó: O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Vì tam giác ABC cân tại A, nên ∠ABC = ∠ACB => hai phân giác CP và BQ tạo với BC hai góc bằng nhau tại O. => Tam giác OBC có: OB = OC (vì từ tâm đường tròn nội tiếp đến hai cạnh tạo nên hai tiếp tuyến bằng nhau) Kết luận: Tam giác OBC cân tại O. --- b) Chứng minh điểm O cách đều ba cạnh AB, AC, BC O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC. Một tính chất quan trọng: tâm đường tròn nội tiếp cách đều ba cạnh của tam giác. Kết luận: O cách đều ba cạnh AB, AC, BC. --- c) Chứng minh đường thẳng AO đi qua trung điểm BC và vuông góc với nó Tam giác ABC cân tại A => đường phân giác từ A cũng là đường trung tuyến và đường cao, vì tam giác cân có trục đối xứng qua đường cao từ đỉnh. Điểm O nằm trên tia phân giác góc A => AO là phân giác của góc A. Mà tam giác ABC cân tại A, nên phân giác góc A trùng với trung tuyến từ A. => AO đi qua trung điểm của BC => AO ⊥ BC Kết luận: Đường thẳng AO đi qua trung điểm BC và vuông góc với BC. --- d) Chứng minh CP = BQ Vì tam giác ABC cân tại A (AB = AC), và ∠ABC = ∠ACB, nên: Góc B bằng góc C, Do đó hai phân giác BQ và CP có cùng độ dài (do đối xứng). Ngoài ra, vì BQ và CP cắt nhau tại O – là tâm đường tròn nội tiếp – nên: Các đoạn CP và BQ là các bán kính của đường tròn nội tiếp nối đến các điểm tiếp xúc trên AB và AC, => nên CP = BQ Kết luận: CP = BQ --- e) Tam giác APQ là tam giác gì? Vì sao Xét tam giác APQ với: P ∈ AB, Q ∈ AC, Mà AB = AC (tam giác cân tại A) Hai điểm P và Q nằm trên các cạnh đối xứng và do phân giác chia góc đều, nên AP = AQ. => Tam giác APQ cân tại A. Kết luận: Tam giác APQ là tam giác cân tại A. --- Nếu bạn cần hình vẽ minh họa hoặc tổng hợp lại các ý vào một bản trình bày gọn gàng, mình có thể giúp thêm nhé!

a) Chứng minh AD = BC Xét hai tam giác OAD và OCB: OA = OC (giả thiết) OB = OD (giả thiết) Góc ∠AOD = ∠COB vì là đối đỉnh => Tam giác OAD = Tam giác OCB (theo cạnh – góc – cạnh) Suy ra: AD = BC --- b) Chứng minh △ABE = △CDE Ta có: AB = OA - OB = OC - OD = CD AD = BC (theo câu a) ∠AEB = ∠CED (đối đỉnh) => Tam giác ABE = Tam giác CDE theo cạnh – góc – cạnh (c.g.c) --- c) Chứng minh OE là tia phân giác của góc xOy Từ △ABE = △CDE, suy ra: AE = CE, BE = DE => E cách đều các cạnh của góc xOy Nghĩa là E nằm trên đường phân giác của góc xOy Do đó: OE là tia phân giác của góc xOy --- Kết luận: a) AD = BC b) △ABE = △CDE c) OE là tia phân giác của góc xOy Nếu bạn muốn mình dựng hình hoặc chuyển sang giải bằng tọa độ cho trực quan, mình có thể hỗ trợ thêm nhé!

Vì I nằm trên phân giác của ∠ADC, Mà D lại nằm trên phân giác của ∠A với ∠A = 120°, Nên trong tam giác ABC, ∠ADC có tính đối xứng đặc biệt. Cụ thể, khi ∠A = 120°, tia phân giác AD chia tam giác thành hai góc 60°, và ∠ADC cũng đối xứng. Từ đó, tia phân giác của ∠ADC chia đều góc giữa AB và BC (do D là giao điểm giữa phân giác góc A và cạnh BC). => I cách đều hai đường AB và BC, hay chính là: IH = IK ---

--- Xét tam giác BDH và tam giác CDK: DB = DC (do D nằm trên đường vuông góc tại trung điểm M của BC). góc ABD = góc ACD (vì D nằm trên phân giác góc A). góc HDB = góc KDC = 90° (do DH ⊥ AB, DK ⊥ AC). => Hai tam giác BDH và CDK bằng nhau theo g.c.g (góc – cạnh – góc). Suy ra: BH = CK.