a)do ABCD là hình vuông nên AB=DC=CD=DA.

Mà AN=BN=CP=DQ

Suy ra AB–AM=BC–BN=CD–CP=DA–DQ

Hay MB=NC=PD=QA

Xét tam giác AMQ và tam giác BMN có:

MAQ=NBM=90°

AM=BN (giả thiết)

QA=NB (cm,t)

Đó đó ∆ AMQ=∆BNM( hai góc vuông 

Suy ra QN=MN(hai cạnh tuong ứng)

Chứng minh tương tự ta có :MN=NP và NP=PQ

Khi đó MN=NP=PQ=QM

Tứ giác MNPQ có 4 cạnh bằng nhau nên là hình thoi

Do ∆AMQ=∆ANM(cmt) nên ANQ =BNM

a) Vì 2AB=2BC suy ra 2BC=2AB =2AD

ABCD là hình chữ nhật nên AB=DC suy ra 1/2AB=1/2DC do đó AI=DK=AD

Tứ giác AIKD có AI//DK, AI=DK nên tứ giác AIKD là hình bình hành 

Lại có AD=AI nên AIKD là hình thoi

Mà góc IAD= 90 độ do đó AIKD là hình vuông

Vậy tứ giác AIKD là hình vuông

Chứng minh tương tự cho tứ giác BIKC

Vậy tứ gáic BIKC là hình vuông

b) VÌ AIKD là hình vuông nên DI là tia phân giác góc ADK nên góc IDK = 45 °

Tương tự góc ICK = 45 °

Tam giác IDC cân có góc DIC = 90 ° nên là tam giác vuông cân 

Vậy tam giác IDC là tam gáic vuông cân

c) Vì AIKD, BCKI là các hình vuông nên hai đường chéo bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên SI=SK=DI và IR=RK=IC

 =>ISKR là hình thoi

Lại có góc DIC= 90 độ nên ISKR là hình vuông

Vậy ISKR là hình vuông

a) Tứ giácDKMN có D=k=N=90∘

  nên là hình chữ nhật.

b) Vì DKMN là hình chữ nhật nên DF//MH.

Xét ΔKFM và ΔNME có:

     K=N=90°

     FM=ME (giả thiết)

   KMF=E(đồng vị)

Suy ra ΔKFM=ΔNME (cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra KF=MN (hai cạnh tương ứng).

mà MN=DK nên DF=2DK và 2MH=2MN.

Do đó DF=MH.

Tứ giác DFMH có DF // MH,DF=MH$ nên là hình bình hành.

Nên hai đường chéo DM,FH cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường hay F,O,H thẳng hàng.

c) Để hình chữ nhật DKMN là hình vuông thì DK=DN 

Mà =12DK= 21DF và

  DN=KM=NE nên =12DN= 21DE(2)

Từ (1)và (2) suy ra DF=DE nên ΔDFE cân tại D.

a: ΔABC vuông tại A

Mà AM là đường trung tuyến

Nên AM=MB=MC=BC2

2AM=MB=MC=2BC

Xét tứ giác AMCK có

I là trung điểm chung của AC và MK

nên AMCK là hình bình hành

Hình bình hành AMCK có

MA=MC

nên AMCK là hình thoi

b)AMCk là hình thoi =>AK//MC

M€BC do đó AK //MB

AK=MC,MC=MB do đó AK=MB

Xét tứ giác AKMB có AK//MB

AK=MB do đó AK MB là hình bình hành 

Để hình thoi AMCK trở thành hình vuông thì

KCM=90°

AMCK là hình thoi

=>CA là phân giác của KMC

=>ACM=1/2.KMC=45°=>ACB=45°

Vì ΔABC vuông cân tại A nên B=C=45°

Vì ΔBHE vuông tại H có B=45°

 nên ΔBHE vuông cân tại H.

Suy ra HB = HE

Vì ΔCGF vuông tại G, có C=45°

 nên ΔCGF vuông cân tại G

Suy ra GC = GF

Ta có: BH = HG = GC (gt)

Suy ra: HE = HG = GF

Vì EH // GF (hai đường thẳng cũng vuông góc với đường thắng thứ ba) nên tứ giác HEFG là hình bình hành (vì có một cặp cạnh đối song song bằng nhau)

Ta lại có 

(EHG) = 90°

 nên HEFG là hình chữ nhật.

Mà EH = HG (chứng minh trên).

Vậy HEFG là hình vuông.

Cho (xOy)=90°

AC⊥Oy (gt)

Ox⊥Oy (gt)

=> AC//Oy => AC//OB

C/m tương tự có AB//OC

=> OBAC là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà (xOy)=90°

=> OBAC là HCN

Ta có

AC=AB (Tính chất đường phân giác)

=> OBAC là hình vuông

Cho(xOy)=90°

AC⊥Oy (gt)

Ox⊥Oy(gt)

=> AC//Oy => AC//OB

C/m tương tự có AB//OC

=> OBAC là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một là hbh)

Mà {xOy}=90°

=> OBAC là HCN

Ta có

AC=AB (Tính chất đường phân giác)

=> OBAC là hình vuông