BC = 10 cm

r = 10/2 = 5 cm

a) ta có tam giác abc cân tại a => ab=ac mà ab = 2be ac =2cd (vì e,d theo thứ thự là trung điểm của ab,ac do đó ta có 2be = 2cd hay be=cd xét tam giác bce và tam giác cbd có be=cd góc ecb = góc dcb bc chung do đó tam giác bce và tam giác cbd bằng nhau (c.g.c)=>ce = bd (hai cạnh tương ứng)

b)ta có g là trọng tâm tam giác abc nên bg=2/3bd và cg=2/3ce=2/3bd hay cg=bg vậy tâm giác gbc cân tại g 

c)ta có gb =2/3bd =>gd=1/3bd =gb=2bg=>gd=1/2GB chứng minh tương tự ta có ge =1/2gc do đó gd+GC>BC do đó gb+ge>1/2bc

vì G là trọng tâm của tam giác nên ta có:

BG=2/3BM =>BM=3/2BG

CG=2/3CN=>CN=3/2CG

=>BM+CN=3/2(BG+CG)

mà BG+CG>BC(theo bất đẳng thức tam giác)

=>BM+CN>3/2.BC(điều phải chứng minh)