Trong tam giác ADH ta có : MN//AB(gt)

Suy ra : DN/DB=MN/AB(Định lí Thales)

Trong tam giác ACB ta có PQ//AB(gt)

Suy ra CQ/CP=PQ/AB(Đli Thales)

Lại có LQ//AB(gt)

AB//CD(gt)

Suy ra NQ//CD

Trong tam giác ADC ta có NQ//CD(cmt)

Suy ra DN/DB=CQ/CB(Đli Thales)

Suy ra MN/AB=PQ/AB hay MN = PQ

Xét tam giác ABC có BC vuông góc AB' và B'C' vuông góc AB' suy ra BC // B'C'

Ad đlí Thales ta có :

AB/AB' = BC/BC' => x/x+h = a/a'

=>a'x=a(x+h)

=>a'x-ax=ah

=>x(a'-a)=ah

÷>x=ah/a'-a(đpcm)

AG cắt BC tại E

Ta có GM // AB suy ra BM / BE =  AG/AE ( Đlí Thales)

Ta lại có AG/AE = 2/3 (G đà trọng tâm tam giác ABC)

Suy ra BM=2/3BE=2/3,1/2BC=1/3BC

Ta có: AB // CD (gt), áp dụng định lý Ta – lét ta có:

Suy ra OA/OC = OB/OD( định lí ta-lét)

Vậy OA.OD = OB.OC

Áp dụng định lí Thalès, ta có:

Vì DE // AC nên AE/AB = CD/BC

Vì DC // AC nên AF/AC= BD/BC

Khi đó , AE/AB+AF/AC=CD/BC+BD/BC=1(đpcm)

Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD, DC = AB, suy ra AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

⇒ AEFD là hình bình hành

Vì vậy, tứ giác ABFC có các cạnh đối song song và bằng nhau nên ABFC là hình bình hành

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường

Vậy 3 trung điểm AF , DE , BC trùng nhau

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

• AB // CD nên AM // CN suy ra 

Góc OAM = GócvOCN (hai góc so le trong).

Xét ∆OAM và ∆OCN có:

Góc AOM = OCN (gt)

OA = OC (gt)

Góc AOM = Góc CON (2 góc đối đỉnh )

Do đó ∆OAM = ∆OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Ta có , AB = CD (tmdk); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

BM // DN (vì AB // CD)

BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE, CF = DF.

Do đó AE = BE = CF = DF.

• Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF (vì AB // CD);

AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

• Xét tứ giác AECF có:

AE // CF (vì AB // CD);

AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b, Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE, CF = DF.

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác BEDF có:

BE = DF (chứng minh trên);

BE // DF (vì AB // CD)

Do đó tứ giác BEDF là hình bình hành.

Suy ra BF = DE (đpcm)

a, Ta có EF // BC

              Mn // BC

=> EF // MN

b, Theo đề bài , ta có :

CAx = ACB (gt)

Ax // Bc ( dấu hiệu nhận biết)

mà MN // BC

=> Ax // MN

Do MN // BC nên Ax // MN

Ta có:  xy//x'y' nên xAB = ABy (hai góc so le trong).

AA' là tia phân giác của xAB nên A1 = A2 = 1/2 xAB 

BB' là tia phân giác của ABy nên B1 = B2 = 1/2 ABy

Từ trên ta có A2 = B1

Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên

=> AA // BB/ (có 2 góc so le trong bằng nhau)

b, xy//x'y' nên A1 = AA'B (2 góc so le trong)

AA'//BB' nên A1 = AB'B(2 góc đồng vị)

Vậy AA'B = AB'B