Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là

x2=2mx+2m−3x2=2mx+2m−3

x2−2mx−2m+3=0x2−2mx−2m+3=0 (1)

Δ′=(−m)2−(−2m+3)=m2+2m−3Δ′=(−m)2−(−2m+3)=m2+2m−3

Để $(d)$ tiếp xúc với parabol $(P)$ thì phương trình (1) có nghiệm kép hay Δ′=0Δ′=0

m2+2m−3=0m2+2m−3=0

$(m-1)(m+3)=0$

$m=1$ hoặc $m=-3$

Vậy $m=1$ hoặc $m=-3$ là các giá trị cần tìm

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P):y=x2(P):y=x2 và $(d):y=-x+m+2$:

x2=−x+m+2x2=−x+m+2

x2+x−m−2=0x2+x−m−2=0 (1).

Để $(d)$ và $(P)$ có một điểm chung duy nhất thì phương trình (1) có nghiệm kép

$\Delta =0$

12−4.1.(−m−2)=012−4.1.(−m−2)=0

$1+4m+8=0$

$4m=-9$

m=−94m=4−9​.

Vậy m=−94m=−49​ là giá trị cần tìm.

Hoành độ giao điểm của $(P)$ và $d$ là nghiệm của phương trình:

x2=(m−1)x+m+4x2=(m−1)x+m+4

x2−(m−1)x−m−4=0x2−(m−1)x−m−4=0 (1)

$(P)$ cắt $d$ tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hay $ac<0$

$-m-4<0$

$m>4$.

Vậy $m>4$ thì $(P)$ cắt $d$ tại hai điểm nằm về hai phía của trục tung.

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị $(P)$ và $(d)$ là

12x2=2x+m21​x2=2x+m

x2=4x+2mx2=4x+2m

x2−4x−2m=0x2−4x−2m=0

Δ′=(−2)2−1.(−2m)=4+2mΔ′=(−2)2−1.(−2m)=4+2m

$(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt khi Δ′>0Δ′>0

$4+2m>0$

$m>-2$.

Vậy $m>-2$ là giá trị cần tìm.

Vì đồ thị hàm số cắt đường thẳng $y=-x+3$ tại điểm có tung độ bằng $2$ nên giao điểm đó có hoành độ $x$ thỏa mãn: $2=-x+3$ hay $x=1$.

Thay $x=1,y=2$ vào (1) ta có:

2=(1−m).122=(1−m).12

$1-m=2$

$m=-1$.

Vậy giá trị $m$ thỏa mãn điều kiện bài toán là $m=-1$.