a) Vẽ đồ thị $(P)$.

Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

Vẽ các điểm $A(-2;8)$, $B(-1;2)$, $O(0;0)$, $C(1;2)$, $D(2;8)$ thuộc đồ thị hàm số y=2x2y=2x2 trong mặt phẳng $Oxy$.

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số y=2x2y=2x2.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là

2x2=2mx+12x2=2mx+1

2x2−2mx−1=02x2−2mx−1=0 (1)

Δ′=(−m)2−2.(−1)=m2+2>0Δ′=(−m)2−2.(−1)=m2+2>0 với mọi giá trị của $m$

Nên phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

Suy ra $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của $m$.

Theo định lí Viète ta có: {x1+x2=m(2)x1x2=−12(3)⎩⎨⎧​​x1​+x2​=m(2)x1​x2​=−21​(3)​

Ta có x1<x2x1​<x2​ mà x1x2=−12<0x1​x2​=2−1​<0 suy ra x1<0<x2x1​<0<x2​.

Khi đó ∣x2∣−∣x1∣=2025∣x2​∣−∣x1​∣=2025

x2−(−x1)=2025x2​−(−x1​)=2025

x2+x1=2025x2​+x1​=2025

$m=2025$.

Vậy m=2025 thì thoản mãn đề bài 

) Vẽ đồ thị $(P)$.

- Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

- Vẽ các điểm $A(-4;8),B(-2;2),O(0;0),C(2;2),D(4;8)$ thuộc đồ thị hàm số y=12x2y=21​x2 trong mặt phẳng $Oxy$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số y=12x2y=21​x2.

b) Phương trình hoành độ giao điểm: 12x2=x+12m2+m+121​x2=x+21​m2+m+1

x2−2x−m2−2m−2=0x2−2x−m2−2m−2=0 (*) 

Để đường thẳng $d$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Δ′>0Δ′>0

m2+2m+3>0m2+2m+3>0

(m+1)2+2>0(m+1)2+2>0

Do (m+1)2≥0(m+1)2≥0 với mọi $m$ nên (m+1)2+2>0(m+1)2+2>0 với mọi $m$.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

Suy ra đường thẳng $d$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x2x1​;x2​.

Khi đó áp dụng định lí Viète ta có: x1+x2=2x1​+x2​=2; x1x2=−m2−2m−2x1​x2​=−m2−2m−2

Theo bài ra ta có: x13+x23=68x13​+x23​=68

(x1+x2)3−3x1x2(x1+x2)=68(x1​+x2​)3−3x1​x2​(x1​+x2​)=68

23−3(−m2−2m−2).2=6823−3(−m2−2m−2).2=68

6m2+12m−48=06m2+12m−48=0

m2+6m−8=0m2+6m−8=0 (**)

Vậy phương trình (**) có hai nghiệm phân biệt m1=2m1​=2; m2=−4.m2​=−4.

a) Vẽ đồ thị $(P)$

- Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

- Vẽ các điểm $A(-2;4),B(-1;1),O(0;0),C(1;1),D(2;4)$ thuộc đồ thị hàm số y=x2y=x2 trong mặt phẳng $Oxy$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số y=x2y=x2.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

x2=2x−3mx2=2x−3m

x2−2x+3m=0x2−2x+3m=0 (*)

Để đường thẳng $(d)$: $y=2x-3m$ cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x2x1​;x2​ thì phương trình (*) phải có hai nghiệm x1;x2x1​;x2​

Δ′=1−3m>0Δ′=1−3m>0

m<13m<31​

Theo định lí Viète, ta có: {x1+x2=2x1x2=3m{​x1​+x2​=2x1​x2​=3m​

Vì x2x2​ là nghiệm của phương trình (*) nên

x22−2x2+3m=0x22​−2x2​+3m=0

3m=2x2−x223m=2x2​−x22​

Suy ra x1x22−x2(2x2−x22+2x1)=12x1​x22​−x2​(2x2​−x22​+2x1​)=12

x1x22+x23−2x2(x1+x2)=12x1​x22​+x23​−2x2​(x1​+x2​)=12

x22(x1+x2)−2x2(x1+x2)=12x22​(x1​+x2​)−2x2​(x1​+x2​)=12

(x1+x2)(x22−2x2)=12(x1​+x2​)(x22​−2x2​)=12

2x22−4x2=122x22​−4x2​=12

x22−2x2=6x22​−2x2​=6

$-3m-6=0$

$m=-2$ (tm)

Vậy $m=-2$ là giá trị cần tìm.

a) Vẽ parabol $(P)$ là đồ thị của hàm số y=x2y=x2

- Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

- Vẽ các điểm $A(-2;4),B(-1;1),O(0;0),C(1;1),D(2;4)$ thuộc đồ thị hàm số y=x2y=x2 trong mặt phẳng $Oxy$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số y=x2y=x2.

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm x2=−x−m+1x2=−x−m+1

x2+x+m−1=0x2+x+m−1=0 (1) 

Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì $\Delta >0$

12−4(m−1)>012−4(m−1)>0

m<54m<45​

Khi đó áp dụng hệ thức Viète: x1+x2=−1; x1x2=m−1x1​+x2​=−1; x1​x2​=m−1.

Khi đó ta có: ∣x1−x2∣=2∣x1​−x2​∣=2

(x1−x2)2=4(x1​−x2​)2=4

(x1+x2)2−4x1x2=4(x1​+x2​)2−4x1​x2​=4

$1-4(m-1)=4$

m=14m=41​ (tm)

Vậy m=14m=41​ là giá trị cần tìm.

Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

Vẽ các điểm $A(-2;8)$, $B(-1;2)$, $O(0;0)$, $C(1;2)$, $D(2;8)$ thuộc đồ thị hàm số y=2x2y=2x2 trong mặt phẳng $Oxy$.

Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số y=2x2y=2x2.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ là:

2x2=−2x+m2x2=−2x+m

2x2+2x−m=02x2+2x−m=0 (1)

Ta có Δ′=12−2(−m)=1+2mΔ′=12−2(−m)=1+2m.

Để $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt khi

Δ′>0Δ′>0

$1+2m>0$

m>−12m>2−1​

Với m>−12m>2−1​ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x2x1​;x2​.

Theo hệ thức Viète ta có: x1+x2=−1;x1x2=−m2x1​+x2​=−1;x1​x2​=2−m​

Theo đề bài ta có: x1+x2−2x1x2=1x1​+x2​−2x1​x2​=1

−1−2−m2=1−1−22−m​=1

$-1+m=1$

$m=2$.

Vậy $m=2$ thì $(d)$ cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x2x1​;x2​ thỏa mãn đề bài 

a) Vẽ đồ thị hàm số y=x2y=x2 $(P)$

- Bảng giá trị của $y$ tương ứng với giá trị của $x$ như sau:

- Vẽ các điểm $A(-2;4),B(-1;1),O(0;0),C(1;1),D(2;4)$ thuộc đồ thị hàm số y=x2y=x2 trong mặt phẳng $Oxy$.

- Vẽ đường parabol đi qua các điểm trên, ta nhận được đồ thị của hàm số y=x2y=x2.

b) Khi $m=2$ phương trình đường thẳng có dạng $(d):y=2x+3$.

Hoành độ giao điểm của (P):y=x2(P):y=x2 và $(d):y=2x+3$ là nghiệm của phương trình:

x2=2x+3x2=2x+3

x2−2x−3=0x2−2x−3=0

Vì $a-b+c=1-(-2)+(-3)=0$ nên phương trình có hai nghiệm x1=−1x1​=−1; x2=−ca=3x2​=−ac​=3.

Với x1=−1x1​=−1 thì y1=(−1)2=1y1​=(−1)2=1.

Với x2=3x2​=3 thì y2=32=9y2​=32=9.

Vậy ta có hai giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là $(-1;1)$ và $(3;9)$.

c) Xét phương trình hoành độ giao điểm của (P):y=x2(P):y=x2 và $(d):y=mx+3$:

x2=mx+3x2=mx+3

x2−mx−3=0x2−mx−3=0 (1).

Để $(d)$ và $(P)$ luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt có hoành độ x1;x2x1​;x2​ thì phương trình (1) phải luôn có hai nghiệm phân biệt x1;x2x1​;x2​ thì $\Delta >0$

(−m)2−4.1.(−3)>0(−m)2−4.1.(−3)>0

m2+12>0m2+12>0 (luôn đúng với mọi $m$)

Vậy với mọi $m$ thì phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt.

Theo hệ thức Viète, ta có: {x1+x2=mx1.x2=−3{​x1​+x2​=mx1​.x2​=−3​.

Thay $x=0$ vào (1), ta có 02−m.0−3=−3≠002−m.0−3=−3=0 với mọi $m$ nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt khác $0$ với mọi $m$.

Theo bài ra ta có: 1x1+1x2=32x1​1​+x2​1​=23​

2x2+2x1=3x1x22x2​+2x1​=3x1​x2​

2(x1+x2 )=3x1x22(x1​+x2​ )=3x1​x2​.

Thay hệ thức Viète, ta được: $2m=3.(-3)$

$2m=-9$

m=−92m=2−9​.

Vậy m=−92m=−29​ là giá trị cần tìm.

) Xét phương trình hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ là :

x2=2x+m2x2=2x+m2

x2−2x−m2=0x2−2x−m2=0 (*)

Ta có Δ′=(−1)2−(−m)2=m2+1>0Δ′=(−1)2−(−m)2=m2+1>0 với mọi $m$

Nên phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt, do đó $(d)$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt.

b) Vì x1;x2x1​;x2​ là hoành độ giao điểm của $(d)$ và $(P)$ hay x1;x2x1​;x2​ là nghiệm của phương trình (*).

Theo hệ thức Viète ta có: x1+x2=2;x1x2=−m2x1​+x2​=2;x1​x2​=−m2.

Theo giả thiết: (x1+1)(x2+1)=−3(x1​+1)(x2​+1)=−3

x1x2+x1+x2+1+3=0x1​x2​+x1​+x2​+1+3=0

 −m2+2+1+3=0 −m2+2+1+3=0

m2=6m2=6

m=±6m=±6​.

Vậy m=±6m=±6​ là các giá trị cần tìm.

a) Vì đường thẳng $(d)$ cắt trục tung tại điểm có tọa độ $(0;-5)$ nên ta có:

$2m+3=-5$

$2m=-8$

$m=-4$.

Vậy với $m=-4$ thì đường thẳng $(d)$ cắt trục tung tại tọa độ $(0;-5)$.

b) Phương trình hoành độ giao điểm của $d$ và $(P)$ là:

x2=2(m−1)x+2m+3x2=2(m−1)x+2m+3

x2−2(m−1)x−2m−3=0x2−2(m−1)x−2m−3=0 (*).

Ta có: Δ′=(m−1)2+2m+3=m2−2m+1+2m+3=m2+4Δ′=(m−1)2+2m+3=m2−2m+1+2m+3=m2+4.

Vì m2≥0m2≥0 với mọi $m$ nên Δ′=m2+4≥4>0Δ′=m2+4≥4>0 với mọi $m$.

Vậy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$

Suy ra đường thẳng $d$ luôn cắt $(P)$ tại hai điểm phân biệt với mọi $m$.

Theo định lí Viète ta có: {x1+x2=2(m−1)x1x2=−2m−3{​x1​+x2​=2(m−1)x1​x2​=−2m−3​

hay {xA+xB=2(m−1)xAxB=−2m−3{​xA​+xB​=2(m−1)xA​xB​=−2m−3​

Mà xA2+xB2=10xA2​+xB2​=10 nên

(xA+xB)2−2xAxB=10(xA​+xB​)2−2xA​xB​=10

4(m−1)2−2(−2m−3)=104(m−1)2−2(−2m−3)=10

4m2−8m+4+4m+6=104m2−8m+4+4m+6=10

4m2−4m=04m2−4m=0

$4m(m-1)=0$

$m=0$; $m=1$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $m\in \left\{0;1\right\}$.

Ta có: 2x2+4x+m=02x2+4x+m=0 (*)

Δ′=22−2.m=4−2mΔ′=22−2.m=4−2m

Phương trình (*) có hai nghiệm x1;x2x1​;x2​ khi Δ′≥0Δ′≥0

$4-2m\ge 0$

$m\le 2$

Với $m\le 2$ thì phương trình (*) có hai nghiệm x1;x2x1​;x2​, theo hệ thức Viète:

x1+x2=−42=−2;x1​+x2​=2−4​=−2; x1.x2=m2x1​.x2​=2m​

Khi đó x12+x22=10x12​+x22​=10 trở thành

(x1+x2)2−2x1x2=10(x1​+x2​)2−2x1​x2​=10

(−2)2−2.m2=10(−2)2−2.2m​=10

$4-m=10$

$m=-6$ (thỏa mãn).

Vậy m=-6 thì thoả mãn đề bài 

Ta có: Δ′=22−(m−1)=5−mΔ′=22−(m−1)=5−m

Để phương trình có hai nghiệm x1;x2x
​;x
​ thì $\Delta \ge 0$ hay $m\le 5$

Áp dụng định lí Viète ta có: x1+x2=4;x1x2=m−1x
​+x
​=4;x
​x
​=m−1

Theo bài ta ta có:

x12+x22=14x12​+x22​=14

(x1+x2)2−2x1x2=14(x
​+x
​)
−2x
​x
​=14

42−2(m−1)=1442−2(m−1)=14

$m=2$ (thỏa mãn điều kiện

Vậy với $m=2$ thì phương trình $x-4x+m-1=0$ có hai nghiệm x1;x2x
​;x
​ thỏa mãn x12+x22=14x

​+x

​=14.