π^2≈9.8696

Để giải bài toán này, ta sử dụng công thức tính trung bình cộng của hai số:

x+y2=998\frac{x + y}{2} = 9982x+y​=998

Trong đó $x$ và $y$ là hai số. Ta biết một trong hai số là $397$, và ta cần tìm số còn lại.

Giả sử số còn lại là $y$, và $x=397$. Ta có phương trình:

397+y2=998\frac{397 + y}{2} = 9982397+y​=998

Nhân cả hai vế của phương trình với 2 để loại bỏ mẫu:

$$397+y=998\times 2$$ $$397+y=1996$$

Bây giờ, trừ $397$ từ cả hai vế:

$$y=1996-397$$ $$y=1599$$

Số còn lại là $1599$

Dưới đây là bảng hoàn thành về chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời và các hệ quả:

• Tiết: Đây là các thời điểm đặc biệt trong năm, tương ứng với các điểm cắt nhau của quỹ đạo Trái Đất quanh Mặt Trời và trục quay của Trái Đất.

  • Hạ chí (22/6): Nửa cầu Bắc nghiêng về Mặt Trời nhất.
  • Đông chí (22/12): Nửa cầu Nam nghiêng về Mặt Trời nhất.
  • Xuân phân (21/3): Trái Đất ở vị trí mà hai nửa cầu nhận được ánh sáng tương đương.
  • Thu phân (23/9): Tương tự như Xuân phân, ánh sáng được phân phối đều.

• Vị trí của nửa cầu so với Mặt Trời:

  • Nghiêng về Mặt Trời có nghĩa là nửa cầu nhận được nhiều ánh sáng và nhiệt.
  • Chếch xa Mặt Trời có nghĩa là nửa cầu nhận được ít ánh sáng và nhiệt.
  • Nằm thẳng góc với Mặt Trời có nghĩa là ánh sáng và nhiệt phân phối đều trên nửa cầu.

• Lượng nhiệt và ánh sáng nhận được:

  • Khi nghiêng về Mặt Trời, nửa cầu nhận được nhiều ánh sáng và nhiệt lượng.
  • Khi chếch xa Mặt Trời, nửa cầu nhận được ít ánh sáng và nhiệt lượng.
  • Khi nằm thẳng góc với Mặt Trời, ánh sáng và nhiệt độ được phân phối đều.

Để giải quyết bài toán này, ta cần tính tỉ lệ kiểu gen Aabb trong quần thể đời F2, trong trường hợp các cá thể giao phối ngẫu nhiên.

Quần thể ban đầu có các cá thể với các kiểu gen sau:

• AABb: 100 cá thể
• AaBb: 150 cá thể
• aaBb: 150 cá thể
• aabb: 100 cá thể

Cần tính tỉ lệ kiểu gen Aabb trong đời F2, do đó ta cần xác định tỉ lệ các kiểu gen này trong thế hệ sau (F2).

Trong quần thể, ta sẽ tính tần số alen của A, a, B, và b bằng cách tính tổng số alen trong quần thể và xác định tần số của từng alen.

1. Tần số alen A và a:
   • Từ các cá thể AABb (100 cá thể): mỗi cá thể có 2 alen A → tổng cộng 200 alen A.
   • Từ các cá thể AaBb (150 cá thể): mỗi cá thể có 1 alen A → tổng cộng 150 alen A.
   • Từ các cá thể aaBb (150 cá thể): mỗi cá thể có 0 alen A → tổng cộng 0 alen A.
   • Từ các cá thể aabb (100 cá thể): mỗi cá thể có 0 alen A → tổng cộng 0 alen A.

Tổng số alen A: $200+150=350$

Tổng số alen a: quần thể có tổng cộng $100+150+150+100=500$ cá thể, mỗi cá thể có 2 alen, nên tổng số alen trong quần thể là 1000. Vậy số alen a là $1000-350=650$.

Tần số alen A:

pA=3501000=0.35p_A = \frac{350}{1000} = 0.35pA​=1000350​=0.35

Tần số alen a:

pa=6501000=0.65p_a = \frac{650}{1000} = 0.65pa​=1000650​=0.65

2. Tần số alen B và b:
   • Từ các cá thể AABb (100 cá thể): mỗi cá thể có 1 alen B → tổng cộng 100 alen B.
   • Từ các cá thể AaBb (150 cá thể): mỗi cá thể có 1 alen B → tổng cộng 150 alen B.
   • Từ các cá thể aaBb (150 cá thể): mỗi cá thể có 1 alen B → tổng cộng 150 alen B.
   • Từ các cá thể aabb (100 cá thể): mỗi cá thể có 0 alen B → tổng cộng 0 alen B.

Tổng số alen B: $100+150+150=400$

Tổng số alen b: quần thể có tổng cộng 1000 alen, nên số alen b là $1000-400=600$.

Tần số alen B:

pB=4001000=0.4p_B = \frac{400}{1000} = 0.4pB​=1000400​=0.4

Tần số alen b:

pb=6001000=0.6p_b = \frac{600}{1000} = 0.6pb​=1000600​=0.6

Để có kiểu gen Aabb trong quần thể F2, ta cần có alen A từ một trong hai bố mẹ và alen b từ cả hai bố mẹ.

Công thức tính tỉ lệ kiểu gen Aabb trong quần thể F2 dựa vào tần số các alen A, a, B và b là:

$$P(Aabb)=P(A)\times P(a)\times P(bb)$$

• $P(A)$: xác suất có alen A từ một cá thể trong F1, chính là tần số alen A của quần thể F1, tức là $0.35$.
• $P(a)$: xác suất có alen a từ một cá thể trong F1, chính là tần số alen a của quần thể F1, tức là $0.65$.
• $P(bb)$: xác suất có kiểu gen bb từ hai cá thể trong F1. Để có kiểu gen bb, mỗi cá thể phải mang alen b từ cả hai bố mẹ. Tỉ lệ có kiểu gen bb sẽ là pb2=0.62=0.36p_b^2 = 0.6^2 = 0.36pb2​=0.62=0.36.

Vậy tỉ lệ kiểu gen Aabb trong F2 là:

$$P(Aabb)=0.35\times 0.65\times 0.36$$ $$P(Aabb)=0.08292$$

Tỉ lệ kiểu gen Aabb trong quần thể đời F2 là 0.08292 hay 8.292%.

• Bình tĩnh và nhanh chóng kiểm tra tình trạng mũ bảo hiểm: Đầu tiên, em nên xem xét xem mũ bảo hiểm có thể sửa lại quai được hay không, ví dụ như dùng dây vải, dây buộc tạm thời hoặc điều chỉnh một chút để mũ không bị lỏng. Nếu chỉ cần một sự điều chỉnh nhỏ thì có thể mặc tạm để đi.

• Hỏi ý kiến mẹ: Nếu em không thể sửa được mũ bảo hiểm, em có thể nói mẹ để mẹ quyết định xem có thể tìm cách đi mà vẫn đảm bảo an toàn hay không. Ví dụ, nếu quá gấp, mẹ có thể đi chậm lại, và em có thể xin phép đợi một chút để kiểm tra lại mũ bảo hiểm hoặc tìm một cách khắc phục tạm thời.

• Tìm giải pháp thay thế: Nếu mũ bảo hiểm thật sự không thể sử dụng, em có thể xem xét xin phép mẹ tạm thời đạp xe hoặc đi bộ một đoạn nếu điều kiện cho phép, hoặc nếu có thời gian, có thể đến nơi bán mũ bảo hiểm gần nhất để mua một chiếc mới.

• Tôn trọng ý kiến mẹ: Vì mẹ đã giục em đi cho kịp giờ, em cũng nên tôn trọng quyết định của mẹ và đi ngay nếu có thể. Nếu tình huống không thể khắc phục được trong tích tắc, em có thể đề nghị mẹ cho em một cách thức di chuyển khác an toàn hơn.

The total number of ways to choose 5 cards from a 52-card deck is given by the combination formula:

Total hands=(525)=52×51×50×49×485×4×3×2×1=2,598,960\text{Total hands} = \binom{52}{5} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49 \times 48}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 2,598,960Total hands=(552​)=5×4×3×2×152×51×50×49×48​=2,598,960

Now, let's go through each specific event and compute its probability.

To get a single pair, we need to:

• Choose 1 rank for the pair (13 possible ranks),
• Choose 2 suits for the pair (4 suits available for each rank),
• Choose 3 different ranks for the remaining 3 cards (12 ranks left after choosing the rank for the pair),
• Choose 1 suit for each of the remaining 3 cards (4 suits available for each).

The number of ways to form a single pair is:

(131)×(42)×(123)×(41)3=13×6×220×43=1,098,240\binom{13}{1} \times \binom{4}{2} \times \binom{12}{3} \times \binom{4}{1}^3 = 13 \times 6 \times 220 \times 4^3 = 1,098,240(113​)×(24​)×(312​)×(14​)3=13×6×220×43=1,098,240

The probability is:

P(Single Pair)=1,098,2402,598,960≈0.42257P(\text{Single Pair}) = \frac{1,098,240}{2,598,960} \approx 0.42257P(Single Pair)=2,598,9601,098,240​≈0.42257

To get two pairs, we need to:

• Choose 2 ranks for the pairs (13 ranks available),
• Choose 2 suits for each pair (4 suits for each rank),
• Choose 1 rank for the remaining card (11 remaining ranks),
• Choose 1 suit for the remaining card (4 suits available).

The number of ways to form two pairs is:

(132)×(42)2×(111)×(41)=78×62×11×4=123,552\binom{13}{2} \times \binom{4}{2}^2 \times \binom{11}{1} \times \binom{4}{1} = 78 \times 6^2 \times 11 \times 4 = 123,552(213​)×(24​)2×(111​)×(14​)=78×62×11×4=123,552

The probability is:

P(2 Pairs)=123,5522,598,960≈0.0475P(\text{2 Pairs}) = \frac{123,552}{2,598,960} \approx 0.0475P(2 Pairs)=2,598,960123,552​≈0.0475

To get a three-of-a-kind, we need to:

• Choose 1 rank for the three of a kind (13 ranks available),
• Choose 3 suits for the three-of-a-kind (4 suits available),
• Choose 2 ranks for the remaining 2 cards (12 remaining ranks),
• Choose 1 suit for each of the remaining 2 cards (4 suits available for each).

The number of ways to form a 3 of a kind is:

(131)×(43)×(122)×(41)2=13×4×66×42=549,120\binom{13}{1} \times \binom{4}{3} \times \binom{12}{2} \times \binom{4}{1}^2 = 13 \times 4 \times 66 \times 4^2 = 549,120(113​)×(34​)×(212​)×(14​)2=13×4×66×42=549,120

The probability is:

P(3 of a Kind)=549,1202,598,960≈0.2113P(\text{3 of a Kind}) = \frac{549,120}{2,598,960} \approx 0.2113P(3 of a Kind)=2,598,960549,120​≈0.2113

To get a straight, we need:

• 5 consecutive ranks (e.g., 4-5-6-7-8),
• The suits can vary, but not all suits should be the same (i.e., not a flush).

There are 10 possible sequences of 5 consecutive ranks (starting from A-2-3-4-5 to 10-J-Q-K-A). For each of the 5 cards, there are 4 possible suits, but we need to subtract the number of straight flushes (since they're not counted).

The number of ways to form a straight flush is:

$$10\times 4(\text{10 sequences}\times 4suits)$$

Thus, the number of straight hands is:

10×45−10×4=10×(1024−4)=10×1020=10,20010 \times 4^5 - 10 \times 4 = 10 \times (1024 - 4) = 10 \times 1020 = 10,20010×45−10×4=10×(1024−4)=10×1020=10,200

The probability is:

P(Straight)=10,2002,598,960≈0.0039P(\text{Straight}) = \frac{10,200}{2,598,960} \approx 0.0039P(Straight)=2,598,96010,200​≈0.0039

To get a flush, we need:

• All 5 cards must have the same suit,
• The ranks must not be consecutive (i.e., not a straight flush).

There are 4 suits, and for each suit, we can choose 5 ranks from the 13 available, excluding any straight flushes (i.e., excluding the 10 possible 5-card sequences in that suit).

The number of ways to form a flush is:

4×(135)−4×10=4×1287−40=5,1484 \times \binom{13}{5} - 4 \times 10 = 4 \times 1287 - 40 = 5,1484×(513​)−4×10=4×1287−40=5,148

The probability is:

P(Flush)=5,1482,598,960≈0.00198P(\text{Flush}) = \frac{5,148}{2,598,960} \approx 0.00198P(Flush)=2,598,9605,148​≈0.00198

To get a full house, we need:

• 1 rank for the 3 cards (13 ranks available),
• 3 suits for the three-of-a-kind (4 suits available),
• 1 rank for the 2 cards (12 remaining ranks),
• 2 suits for the pair (4 suits available).

The number of ways to form a full house is:

(131)×(43)×(121)×(42)=13×4×12×6=3,744\binom{13}{1} \times \binom{4}{3} \times \binom{12}{1} \times \binom{4}{2} = 13 \times 4 \times 12 \times 6 = 3,744(113​)×(34​)×(112​)×(24​)=13×4×12×6=3,744

The probability is:

P(Full House)=3,7442,598,960≈0.00144P(\text{Full House}) = \frac{3,744}{2,598,960} \approx 0.00144P(Full House)=2,598,9603,744​≈0.00144

To get a four of a kind, we need:

• 1 rank for the 4 cards (13 ranks available),
• 4 suits for the four-of-a-kind (4 suits available),
• 1 rank for the remaining card (12 remaining ranks),
• 1 suit for the remaining card (4 suits available).

The number of ways to form a four of a kind is:

(131)×(44)×(121)×(41)=13×1×12×4=624\binom{13}{1} \times \binom{4}{4} \times \binom{12}{1} \times \binom{4}{1} = 13 \times 1 \times 12 \times 4 = 624(113​)×(44​)×(112​)×(14​)=13×1×12×4=624

The probability is:

P(Four of a Kind)=6242,598,960≈0.00024P(\text{Four of a Kind}) = \frac{624}{2,598,960} \approx 0.00024P(Four of a Kind)=2,598,960624​≈0.00024

To get a straight flush (but not a royal flush), we need:

• 5 consecutive ranks, all of the same suit (10 possible sequences of consecutive ranks).
• Exclude the royal flush (the 10-J-Q-K-A sequence).

The number of ways to form a straight flush is:

$$10\times 4-4=36$$

The probability is:

P(Straight Flush)=362,598,960≈0.00001385P(\text{Straight Flush}) = \frac{36}{2,598,960} \approx 0.00001385P(Straight Flush)=2,598,96036​≈0.00001385

There are only 4 royal flushes, one for each suit.

The probability is:

P(Royal Flush)=42,598,960≈0.000001539P(\text{Royal Flush}) = \frac{4}{2,598,960} \approx 0.000001539P(Royal Flush)=2,598,9604​≈0.000001539

This is the complement of getting any of the special hands. To find this, subtract the probabilities of all the special hands from 1.

$$P(\text{No Special Hand})=1-P(\text{Single Pair})-P(\text{2 Pairs})-P(\text{3 of a Kind})-P(\text{Straight})-P(\text{Flush})-P(\text{Full House})-P(\text{Four of a Kind})-P(\text{Straight Flush})-P(\text{Royal Flush})$$ $$P(\text{No Special Hand})\approx 1-(0.42257+0.0475+0.2113+0.0039+0.00198+0.00144+0.00024+0.00001385+0.000001539)\approx 0.3122$$

• a. Single Pair: 0.4226
• b. Two Pairs: 0.0475
• c. Three of a Kind: 0.2113
• d. Straight: 0.0039
• e. Flush: 0.00198
• f. Full House: 0.00144
• g. Four of a Kind: 0.00024
• h. Straight Flush: 0.00001385
• i. Royal Flush: 0.000001539
• j. No Special Hand: 0.3122

• Tam giác ABC là tam giác cân tại $A$, tức là $AB=AC$.
• $E$ và $F$ lần lượt là các điểm trên các cạnh $AC$ và $AB$ sao cho:
  • $BE\perp AC$,
  • $CF\perp AB$.

Dưới đây là các câu cần chứng minh:

Chứng minh:

1. Tính chất tam giác vuông:

   • $△ABE$ vuông tại $E$ (vì $BE\perp AC$),
   • $△ACF$ vuông tại $F$ (vì $CF\perp AB$).

2. Tam giác vuông tại $E$ và $F$:

   • Vì tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$, ta có $AB=AC$.
   • Xét hai tam giác vuông $△ABE$ và $△ACF$, vì $AB=AC$, góc $\angle ABE$ và $\angle ACF$ là các góc vuông với các cạnh tương ứng của tam giác cân.

3. Góc vuông và đối xứng:

   • Nhận thấy rằng các góc $\angle ABE$ và $\angle ACF$ là hai góc vuông đối diện với các cạnh vuông góc trong các tam giác vuông, và vì tam giác $ABC$ cân, các góc này phải bằng nhau.

Kết luận:

$$\angle ACF=\angle ABE$$

Chứng minh:

1. Tam giác vuông và tính đối xứng:

   • Trong tam giác vuông $△ABE$, $BE$ là cạnh đối diện với góc vuông $\angle ABE$,
   • Tương tự, trong tam giác vuông $△ACF$, $CF$ là cạnh đối diện với góc vuông $\angle ACF$.

2. Tính đối xứng của tam giác cân:

   • Vì tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$, các cạnh $AB=AC$ có độ dài bằng nhau, và các góc $\angle ABE$ và $\angle ACF$ đã được chứng minh là bằng nhau.
   • Từ đó, vì hai tam giác vuông có cùng góc vuông tại các đỉnh đối diện và có cạnh huyền bằng nhau (cạnh $AB=AC$), ta suy ra rằng hai cạnh $BE$ và $CF$ phải bằng nhau.

Kết luận:

$$BE=CF$$

Chứng minh:

1. Sử dụng góc vuông:

   • ∠BFC=90∘\angle BFC = 90^\circ∠BFC=90∘ (vì $CF\perp AB$),
   • ∠CEB=90∘\angle CEB = 90^\circ∠CEB=90∘ (vì $BE\perp AC$).

2. Đối xứng trong tam giác cân:

   • Tam giác $ABC$ là tam giác cân tại $A$, vì vậy các góc ở hai điểm $B$ và $C$ đối xứng qua trục $AB=AC$.
   • Khi góc ∠BFC=90∘\angle BFC = 90^\circ∠BFC=90∘ và ∠CEB=90∘\angle CEB = 90^\circ∠CEB=90∘, ta có thể kết luận rằng hai góc này phải bằng nhau do tính đối xứng của tam giác cân.

Kết luận:

$$\angle BFC=\angle CEB$$

• a) $\angle ACF=\angle ABE$
• b) $BE=CF$
• c) $\angle BFC=\angle CEB$

Các chứng minh dựa vào tính chất đối xứng và các góc vuông trong tam giác vuông.

a) Biểu diễn y theo x:
Khi $y$ tỉ lệ thuận với $x$, theo định nghĩa của tỷ lệ thuận, ta có công thức:

$$y=k\cdot x$$

Với hệ số tỷ lệ $k=3$, ta thay vào công thức trên:

$$y=3x$$

Vậy, y biểu diễn theo x là $y=3x$.

b) Biểu diễn x theo y:
Để biểu diễn $x$ theo $y$, ta từ công thức $y=3x$ (đã có ở trên) và giải phương trình này theo $x$:

y=3x⇒x=y3y = 3x \quad \Rightarrow \quad x = \frac{y}{3}y=3x⇒x=3y​

Vậy, x biểu diễn theo y là x=y3x = \frac{y}{3}x=3y​.

Ngoài ra, khi $x$ tỉ lệ thuận với $y$, ta có thể viết công thức như sau:

x=13⋅yx = \frac{1}{3} \cdot yx=31​⋅y

Do đó, $x$ tỉ lệ thuận với $y$ theo hệ số tỉ lệ 13\frac{1}{3}31​.

Em thấy nhân vật ốc sên mẹ trong "Câu chuyện ốc sên" là một hình mẫu của tình yêu thương và sự kiên trì. Mặc dù cuộc sống của ốc sên mẹ rất khó khăn, nhưng bà luôn chăm sóc và bảo vệ con cái. Những lời dạy bảo của bà thể hiện sự quan tâm sâu sắc đến tương lai của các con, khuyến khích chúng tìm cách vượt qua khó khăn. Ốc sên mẹ giúp em nhận ra rằng đôi khi, yêu thương và kiên nhẫn là chìa khóa để vượt qua mọi thử thách.

Bước 1: Định lý về tính chia hết cho 2
Một số chia hết cho 2 khi và chỉ khi số đó là số chẵn. Do đó, chúng ta cần chứng minh rằng 
𝑛
⋅
(
𝑛
+
13
)
n⋅(n+13) là một số chẵn với mọi 
𝑛
n, tức là một trong hai số 
𝑛
n hoặc 
𝑛
+
13
n+13 phải là số chẵn.

Bước 2: Xét các trường hợp về tính chẵn lẻ của 
𝑛
n
Chúng ta sẽ phân tích theo hai trường hợp: 
𝑛
n là số chẵn hoặc 
𝑛
n là số lẻ.

Trường hợp 1: 
𝑛
n là số chẵn
Khi 
𝑛
n là số chẵn, thì 
𝑛
n chia hết cho 2.
Do đó, 
𝑛
⋅
(
𝑛
+
13
)
n⋅(n+13) là một tích của số chẵn với một số bất kỳ, nên chắc chắn chia hết cho 2.
Trường hợp 2: 
𝑛
n là số lẻ
Khi 
𝑛
n là số lẻ, 
𝑛
+
13
n+13 sẽ là số chẵn, vì 
13
13 là số lẻ và tổng của hai số lẻ luôn là số chẵn.
Do đó, trong trường hợp này, 
𝑛
⋅
(
𝑛
+
13
)
n⋅(n+13) là một tích của một số lẻ với một số chẵn, và sản phẩm này chắc chắn chia hết cho 2.
Bước 3: Kết luận
Dù 
𝑛
n là số chẵn hay số lẻ, một trong hai số 
𝑛
n hoặc 
𝑛
+
13
n+13 luôn là số chẵn. Do đó, tích 
𝑛
⋅
(
𝑛
+
13
)
n⋅(n+13) luôn chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên 
𝑛
n.

Vậy ta đã chứng minh xong rằng 
𝑛
⋅
(
𝑛
+
13
)
n⋅(n+13) chia hết cho 2 với mọi số tự nhiên 
𝑛
n.