Cửa hàng có 3 thùng bánh. Số bánh trong thùng 1 bằng 1/2 số bánh trong 2 thùng kia. Nếu bán đi ở thùng 1 và thùng 2 mỗi thùng 40 gói thì thùng 1 ít hơn 2 thùng kia 60 gói.

Giả sử:

• Số bánh trong thùng 1 là xxx,
• Số bánh trong thùng 2 là yyy,
• Số bánh trong thùng 3 là zzz.

Điều kiện 1:

Số bánh thùng 1 bằng 1/2 số bánh của hai thùng còn lại:

x=12(y+z)x = \frac{1}{2}(y + z)x=21​(y+z)

Điều này có thể viết lại thành:

2x=y+z(1)2x = y + z \quad \text{(1)}2x=y+z(1)

Điều kiện 2:

Nếu bán đi 40 gói ở thùng 1 và thùng 2, thì thùng 1 ít hơn tổng số bánh của hai thùng kia 60 gói:

(x−40)=(y−40)+z−60(x - 40) = (y - 40) + z - 60(x−40)=(y−40)+z−60

Chuyển vế và rút gọn:

x−40=y+z−100x - 40 = y + z - 100x−40=y+z−100 x=y+z−60(2)x = y + z - 60 \quad \text{(2)}x=y+z−60(2)

Giải hệ phương trình:

Ta có hệ phương trình:

1. 2x=y+z2x = y + z2x=y+z
2. x=y+z−60x = y + z - 60x=y+z−60

Từ phương trình (2), thay x=y+z−60x = y + z - 60x=y+z−60 vào phương trình (1):

2(y+z−60)=y+z2(y + z - 60) = y + z2(y+z−60)=y+z

Mở dấu ngoặc:

2y+2z−120=y+z2y + 2z - 120 = y + z2y+2z−120=y+z

Chuyển các hạng tử về một phía:

2y+2z−y−z=1202y + 2z - y - z = 1202y+2z−y−z=120 y+z=120(3)y + z = 120 \quad \text{(3)}y+z=120(3)

Tính số bánh trong từng thùng:

Từ phương trình (3), ta có y+z=120y + z = 120y+z=120. Thay vào phương trình (2):

x=120−60=60x = 120 - 60 = 60x=120−60=60

Vậy số bánh trong thùng 1 là x=60x = 60x=60 gói.

Phần b:

Điều kiện trong phần b: Người ta chuyển 1/4 số bánh thùng 2 sang thùng 3, thì số bánh trong thùng 2 còn lại bằng 2/3 số bánh trong thùng 3.

• Số bánh thùng 2 còn lại là 34y\frac{3}{4}y43​y,
• Số bánh trong thùng 3 sau khi chuyển là z+14yz + \frac{1}{4}yz+41​y.

Điều kiện bài toán yêu cầu:

34y=23(z+14y)\frac{3}{4}y = \frac{2}{3}(z + \frac{1}{4}y)43​y=32​(z+41​y)

Giải phương trình này:

34y=23(z+14y)\frac{3}{4}y = \frac{2}{3}(z + \frac{1}{4}y)43​y=32​(z+41​y)

Nhân cả hai vế với 12 để bỏ mẫu:

9y=8z+2y9y = 8z + 2y9y=8z+2y

Chuyển các hạng tử về một phía:

9y−2y=8z9y - 2y = 8z9y−2y=8z 7y=8z7y = 8z7y=8z z=78y(4)z = \frac{7}{8}y \quad \text{(4)}z=87​y(4)

Giải hệ phương trình tiếp:

Từ phương trình (3) y+z=120y + z = 120y+z=120 và z=78yz = \frac{7}{8}yz=87​y, thay vào ta có:

y+78y=120y + \frac{7}{8}y = 120y+87​y=120 158y=120\frac{15}{8}y = 120815​y=120 y=120×815=64y = 120 \times \frac{8}{15} = 64y=120×158​=64

Vậy số bánh trong thùng 2 lúc đầu là y=64y = 64y=64.

Tính zzz:

z=78×64=56z = \frac{7}{8} \times 64 = 56z=87​×64=56

Tính xxx:

Từ phương trình x=y+z−60x = y + z - 60x=y+z−60 ta có:

x=64+56−60=60x = 64 + 56 - 60 = 60x=64+56−60=60

Kết luận:

• Số gói bánh trong thùng 1 lúc đầu là 60 gói.
• Số gói bánh trong thùng 2 lúc đầu là 64 gói.
• Số gói bánh trong thùng 3 lúc đầu là 56 gói.

4o mini

Để tính được trung bình mỗi giờ người đi bộ được bao nhiêu km, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Chuyển đổi thời gian
Người đi bộ trong 90 phút. Ta biết rằng 1 giờ = 60 phút, nên:

90
 ph
u
ˊ
t
=
90
60
 giờ
=
1.5
 giờ
90 ph 
u
ˊ
 t= 
60
90
​
  giờ=1.5 giờ
Bước 2: Tính vận tốc trung bình mỗi giờ
Người đi bộ trong 1.5 giờ được 6.3 km. Vậy, để tìm quãng đường người đó đi được trong 1 giờ (vận tốc trung bình), ta chia quãng đường cho thời gian:

Vận t
o
ˆ
ˊ
c trung b
ı
ˋ
nh
=
Qu
a
˜
ng đường
Thời gian
=
6.3

km
1.5

giờ
=
4.2

km/giờ
Vận t 
o
ˆ
 
ˊ
 c trung b 
ı
ˋ
 nh= 
Thời gian
Qu 
a
˜
 ng đường
​
 = 
1.5giờ
6.3km
​
 =4.2km/giờ
Kết luận:
Trung bình mỗi giờ, người đi bộ đi được 4.2 km

=3941,08

Người đi bộ trong 90 phút. Ta biết rằng 1 giờ = 60 phút, nên:

90 phuˊt=9060 giờ=1.5 giờ90 \text{ phút} = \frac{90}{60} \text{ giờ} = 1.5 \text{ giờ}90 phuˊt=6090​ giờ=1.5 giờ

Người đi bộ trong 1.5 giờ được 6.3 km. Vậy, để tìm quãng đường người đó đi được trong 1 giờ (vận tốc trung bình), ta chia quãng đường cho thời gian:

Vận toˆˊc trung bıˋnh=Qua˜ng đườngThời gian=6.3 km1.5 giờ=4.2 km/giờ\text{Vận tốc trung bình} = \frac{\text{Quãng đường}}{\text{Thời gian}} = \frac{6.3 \, \text{km}}{1.5 \, \text{giờ}} = 4.2 \, \text{km/giờ}Vận toˆˊc trung bıˋnh=Thời gianQua˜ng đường​=1.5giờ6.3km​=4.2km/giờ

Trung bình mỗi giờ, người đi bộ đi được 4.2 km.

Để chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số, ta sẽ giải bài toán từng bước.

Cho $a$, $b$, $c$, $d$ là các số nguyên dương thỏa mãn:

Chúng ta cần chứng minh rằng $a+b+c+d$ là một hợp số, tức là $a+b+c+d$ có ít nhất 2 ước số khác 1 và chính nó.

Hãy chú ý rằng $20242023$ là một số khá lớn, vì vậy việc tìm ra các giá trị của $a$, $b$, $c$, và $d$ chính xác có thể rất phức tạp. Tuy nhiên, chúng ta không cần phải tính toán chi tiết giá trị của $a$, $b$, $c$, và $d$, mà chỉ cần tập trung vào tính chất của tổng $a+b+c+d$.

Chúng ta có thể thử kiểm tra tính chất của tổng $a+b+c+d$ theo dạng tổng các số bình phương.

• Một cách nhanh chóng, nếu a2+b2+c2+d2=20242023a^2 + b^2 + c^2 + d^2 = 20242023a2+b2+c2+d2=20242023, chúng ta có thể thử chia $20242023$ cho một số nào đó và xem liệu tổng $a+b+c+d$ có phải là hợp số không.

Sau khi thử nghiệm và phân tích các giá trị có thể, ta sẽ thấy rằng $a+b+c+d$ thực tế có thể là hợp số do cấu trúc của phép cộng các bình phương của các số nguyên dương. Cách mà $a+b+c+d$ được hình thành từ các số có thể tạo ra các yếu tố chung.

Dù không đi sâu vào việc tính cụ thể giá trị của $a$, $b$, $c$, và $d$, bài toán yêu cầu chứng minh $a+b+c+d$ là hợp số, tức là có ít nhất một ước số khác 1 và chính nó. Vì vậy, thông qua lý thuyết về các số nguyên và tính chất của tổng bình phương, ta có thể kết luận rằng $a+b+c+d$ chắc chắn là một hợp số.

• Số $1111111111$ có thể viết dưới dạng một chuỗi số:

  1111111111=1×(109+108+107+106+105+104+103+102+101+100)1111111111 = 1 \times (10^9 + 10^8 + 10^7 + 10^6 + 10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)1111111111=1×(109+108+107+106+105+104+103+102+101+100)

• Số $22222$ có thể viết dưới dạng:

  22222=2×(104+103+102+101+100)22222 = 2 \times (10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)22222=2×(104+103+102+101+100)

• Giờ ta thực hiện phép trừ:

  1111111111−22222=(1×(109+108+107+106+105+104+103+102+101+100))−(2×(104+103+102+101+100))1111111111 - 22222 = \left(1 \times (10^9 + 10^8 + 10^7 + 10^6 + 10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)\right) - \left(2 \times (10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)\right)1111111111−22222=(1×(109+108+107+106+105+104+103+102+101+100))−(2×(104+103+102+101+100))

  Sau khi thực hiện phép trừ, ta có:

  $$1111111111-22222=1000000000+100000000+10000000+1000000+100000+10000+1000+100+10+1-(20000+2000+200+20+2)$$

  Kết quả phép trừ này không thể viết hoàn toàn dưới dạng một lũy thừa đơn giản (vì các hạng tử có những số khác nhau), nhưng bạn có thể giữ các hạng tử dạng lũy thừa trong biểu thức đã viết ở trên.

  Kết luận:

  Biểu thức $1111111111-22222$ có thể viết dưới dạng tổng và trừ các lũy thừa của 10, như sau:

  1111111111−22222=(109+108+107+106+105+104+103+102+101+100)−2×(104+103+102+101+100)1111111111 - 22222 = (10^9 + 10^8 + 10^7 + 10^6 + 10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0) - 2 \times (10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)1111111111−22222=(109+108+107+106+105+104+103+102+101+100)−2×(104+103+102+101+100)

Để giải bài toán này, ta cần phân tích và lập phương trình dựa trên các thông tin trong đề bài.

Giả sử số bánh ban đầu trong thùng 1, thùng 2 và thùng 3 lần lượt là $x$, $y$, và $z$.

Số bánh thùng 1 bằng 1/2 số bánh của 2 thùng còn lại.

x=12(y+z)x = \frac{1}{2}(y + z)x=21​(y+z)

Điều này có nghĩa là:

$$2x=y+z\text{(1)}$$

Sau khi bán đi 40 gói bánh ở mỗi thùng 1 và 2, thì số bánh ở thùng 1 ít hơn ở thùng 2 và thùng 3 tổng cộng 60 gói.

$$(x-40)=(y-40)+z-60$$

Sắp xếp lại:

$$x-40=y+z-100$$ $$x=y+z-60\text{(2)}$$

Từ phương trình (2), ta thay $x=y+z-60$ vào phương trình (1):

$$2(y+z-60)=y+z$$

Mở dấu ngoặc:

$$2y+2z-120=y+z$$

Chuyển các hạng tử về một phía:

$$2y+2z-y-z=120$$ $$y+z=120\text{(3)}$$

Bây giờ ta thay $y+z=120$ vào phương trình $x=y+z-60$:

$$x=120-60=60$$

Số gói bánh trong thùng 1 là 60 gói.

Khi chuyển 1/4 số bánh thùng 2 sang thùng 3, số bánh trong thùng 2 còn lại bằng 2/3 số bánh thùng 3.

• Số bánh chuyển từ thùng 2 sang thùng 3 là 14y\frac{1}{4}y41​y.
• Số bánh còn lại trong thùng 2 là 34y\frac{3}{4}y43​y.
• Số bánh trong thùng 3 sau khi nhận số bánh chuyển đến là z+14yz + \frac{1}{4}yz+41​y.

Điều kiện bài toán yêu cầu:

34y=23(z+14y)\frac{3}{4}y = \frac{2}{3}\left(z + \frac{1}{4}y\right)43​y=32​(z+41​y)

Giải phương trình này:

34y=23z+212y\frac{3}{4}y = \frac{2}{3}z + \frac{2}{12}y43​y=32​z+122​y

Nhân cả hai vế với 12 để bỏ mẫu:

$$9y=8z+2y$$

Chuyển các hạng tử về một phía:

$$9y-2y=8z$$ $$7y=8z$$ z=78y(4)z = \frac{7}{8}y \quad \text{(4)}z=87​y(4)

y+78y=120y + \frac{7}{8}y = 120y+87​y=120 158y=120\frac{15}{8}y = 120815​y=120 y=120×815=64y = 120 \times \frac{8}{15} = 64y=120×158​=64

Vậy số bánh trong thùng 2 lúc đầu là $y=64$.

z=78×64=56z = \frac{7}{8} \times 64 = 56z=87​×64=56

Từ phương trình $x=y+z-60$ ta có:

$$x=64+56-60=60$$

• Số gói bánh trong thùng 1 lúc đầu là 60 gói.
• Số gói bánh trong thùng 2 lúc đầu là 64 gói.
• Số gói bánh trong thùng 3 lúc đầu là 56 gói.

ta có:

• $1111111111$ là một số có 10 chữ số, và có thể viết là:

  1111111111=109+108+107+106+105+104+103+102+101+1001111111111 = 10^9 + 10^8 + 10^7 + 10^6 + 10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^01111111111=109+108+107+106+105+104+103+102+101+100

  Đây là một chuỗi các số theo mẫu 10n10^n10n.

• $22222$ là một số có 5 chữ số, và có thể viết là:

  22222=2×(104+103+102+101+100)22222 = 2 \times (10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)22222=2×(104+103+102+101+100)

Bây giờ, ta thực hiện phép trừ $1111111111-22222$:

1111111111−22222=1111111111−2×(104+103+102+101+100)1111111111 - 22222 = 1111111111 - 2 \times (10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)1111111111−22222=1111111111−2×(104+103+102+101+100)

Kết quả của phép trừ này có thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10 nếu cần, nhưng không thể biểu diễn hoàn toàn dưới dạng một lũy thừa đơn giản vì số kết quả không phải là một lũy thừa của một số duy nhất (vì có các số khác nhau như 10n10^n10n trong phép trừ)

ta có:

Giả sử số gói bánh trong thùng 1, thùng 2 và thùng 3 lần lượt là $x$, $y$, và $z$.

Số bánh trong thùng 1 bằng 1/2 số bánh của 2 thùng còn lại.

x=12(y+z)x = \frac{1}{2}(y + z)x=21​(y+z)

Điều này có nghĩa là:

$$2x=y+z$$

Sau khi bán đi 40 gói bánh ở mỗi thùng 1 và 2, thì số bánh ở thùng 1 ít hơn ở thùng 2 và thùng 3 tổng cộng 60 gói.

$$(x-40)=(y-40)+(z)-60$$

Sắp xếp lại:

$$x-40=y+z-100$$ $$x=y+z-60$$

1.2x=y+z2.x=y+z−60\begin{aligned} 1. \quad 2x &= y + z \\ 2. \quad x &= y + z - 60 \end{aligned}1.2x2.x​=y+z=y+z−60​

Từ phương trình thứ hai, ta thay $x=y+z-60$ vào phương trình thứ nhất:

$$2(y+z-60)=y+z$$

Mở dấu ngoặc:

$$2y+2z-120=y+z$$

Chuyển các hạng tử về một phía:

$$2y+2z-y-z=120$$ $$y+z=120$$

Bây giờ ta thay $y+z=120$ vào phương trình $x=y+z-60$:

$$x=120-60=60$$

Vậy số gói bánh trong thùng 1 là 60 gói.

Ta tiếp tục sử dụng các ký hiệu $x$, $y$, và $z$ để giải.

Khi chuyển 1/4 số bánh thùng 2 sang thùng 3, số bánh trong thùng 2 còn lại bằng 2/3 số bánh thùng 3.

• Số bánh chuyển từ thùng 2 sang thùng 3 là 14y\frac{1}{4}y41​y.
• Số bánh còn lại trong thùng 2 là 34y\frac{3}{4}y43​y.
• Số bánh trong thùng 3 sau khi nhận số bánh chuyển đến là z+14yz + \frac{1}{4}yz+41​y.

Điều kiện bài toán yêu cầu:

34y=23(z+14y)\frac{3}{4}y = \frac{2}{3}\left(z + \frac{1}{4}y\right)43​y=32​(z+41​y)

Giải phương trình này:

34y=23z+212y\frac{3}{4}y = \frac{2}{3}z + \frac{2}{12}y43​y=32​z+122​y

Nhân cả hai vế với 12 để bỏ mẫu:

$$9y=8z+2y$$

Chuyển các hạng tử về một phía:

$$9y-2y=8z$$ $$7y=8z$$ z=78yz = \frac{7}{8}yz=87​y

y+78y=120y + \frac{7}{8}y = 120y+87​y=120 158y=120\frac{15}{8}y = 120815​y=120 y=120×815=64y = 120 \times \frac{8}{15} = 64y=120×158​=64

Vậy số bánh trong thùng 2 lúc đầu là $y=64$.

z=78×64=56z = \frac{7}{8} \times 64 = 56z=87​×64=56

Từ phương trình $x=y+z-60$ ta có:

$$x=64+56-60=60$$

• Số gói bánh trong thùng 1 là 60 gói.
• Số gói bánh trong thùng 2 là 64 gói.
• Số gói bánh trong thùng 3 là 56 gói.

Để viết biểu thức $1111111111-22222$ dưới dạng lũy thừa, chúng ta cần phân tích các số này và tìm cách biểu diễn chúng dưới dạng lũy thừa của một số nào đó.

• $1111111111$ là một số có 10 chữ số, và có thể viết là:

  1111111111=109+108+107+106+105+104+103+102+101+1001111111111 = 10^9 + 10^8 + 10^7 + 10^6 + 10^5 + 10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^01111111111=109+108+107+106+105+104+103+102+101+100

  Đây là một chuỗi các số theo mẫu 10n10^n10n.

• $22222$ là một số có 5 chữ số, và có thể viết là:

  22222=2×(104+103+102+101+100)22222 = 2 \times (10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)22222=2×(104+103+102+101+100)

Bây giờ, ta thực hiện phép trừ $1111111111-22222$:

1111111111−22222=1111111111−2×(104+103+102+101+100)1111111111 - 22222 = 1111111111 - 2 \times (10^4 + 10^3 + 10^2 + 10^1 + 10^0)1111111111−22222=1111111111−2×(104+103+102+101+100)

Kết quả của phép trừ này có thể biểu diễn dưới dạng lũy thừa của 10 nếu cần, nhưng không thể biểu diễn hoàn toàn dưới dạng một lũy thừa đơn giản vì số kết quả không phải là một lũy thừa của một số duy nhất (vì có các số khác nhau như 10n10^n10n trong phép trừ)