a) Tứ giác AMCK có hai đường chéo là AC và MK cắt nhau tại trung điểm mỗi đường nên tứ giác AMCK là hình bình hành

Theo tính chất đường trung tuyến và vuông góc của tam giác vuông ABC có AM = BM = CM

=> AMCK là hình thoi

b) Ta có AK = CM = BM và AK // CM nên AK // BM

Nên AKMB là hình bình hành

c) Để tứ giác AMCK là hình vuông thì phải có một góc vuông hay AM vuông góc với MC

Khi đó AM vừa là đường cao vừa là trung tuyến nên cân tại A

Khi đó tứ giác AMCK là hình vuông

a)Ta có tam giác ABC vuông cân tại A => góc ABC = 45 độ

Tam giác BHE là tam giác vuông tại H

=> Góc HBE = góc HEB = 45 độ

Nên tam giác BHE là tam giác vuông cân tại H

b) Chứng minh tương tự với tam giác CGF ta có GF = GC ; HE = HB

BH = HG = GC suy ra EH = GF = HG và EH // GF (cùng vuông góc với BC)

Nên EFGH là hình bình hành

Trong hình EFGH có góc H là góc vuông

=> EFGH là hình chữ nhật

Ta lại có EH = HG

=> EFGH là hình vuông

Trong hình OBAC có 3 góc vuông

Nên là hình chữ nhật

Mà A nằm trên tia phân giác Om nên AB = AC

Suy ra OBAC là hình vuông

a) Xét 2 tam giác OAM và OCP ta có:

OA = OC (gt)

Góc AOM = góc COP (đối đỉnh)

Góc OCP = góc OAM (so le trong)

=> 2 tam giác trên bằng nhau

=> OM = OP (tương ứng)

Chứng minh tương tự ta có ON = OQ

=> MNPQ là hình bình hành (hai đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường)

b) Hình bình hành MNPQ có hai đường chéo giao nhau tại trung điểm của mỗi đường và vuông góc với nhau (gt)

=> MNPQ là hình thoi

a)Xét tứ giác AMND có AM = ND và AM // ND

=> AMND là hình bình hành

Nên AD // MN

Mà AD vuông góc với AC nên MN ⊥ AC

b) Xét tứ giác AMCN có AM = CN và AM // CN

=> AMCN là hình bình hành

Có hai đường chéo là AC ⊥ MN nên hình bình hành AMCN là hình thoi

Xét 2 tam giác ADF và ABE ta có:

AD = AB (gt)

Góc ADF = Góc ABE (gt)

DF = BE (gt)

=> 2 tam giác trên bằng nhau (c.g.c)

Suy ra Góc DAF = góc BAE (tương ứng)

Ta lại xét 2 tam giác ADH và ABG ta có:

Góc DAH = góc BAG

AD = AB (gt)

Góc ADH = góc ABG (gt)

=> 2 tam giác trên bằng nhau (g.c.g)

Suy ra DH = BG

Ta có OD = OB ; DH = BG nên OH = OG

Và AC vuông góc với HG và HO = GO nên AGCH là hình thoi

Vì AC vuông góc Ax và By song song với AC nên By vuông góc với Ax

=> BM // AQ

Xét 2 tam giác BPM và APQ ta có:

Góc PBM = góc PAQ (so le trong)

BP = AP

Góc BPM = góc APQ (đối đỉnh)

Vậy 2 tam giác bằng nhau (g.c.g)

=> BM = AQ (cạnh tương ứng)

Nên AMBQ là hình bình hành ,có một góc vuông là góc A nên AMBQ là hình chữ nhật

b) Xét tam giác vuông AIB có trung tuyến IP = 1/2 AB . PA = PM = PQ = PB

Vậy PI = PQ

=> Tam giác PIQ cân tại P

Xét 2 tam giác ABM và CDM ta có:

Góc MCD = MAB (so le trong)

Góc MDC = MBA ( so le trong)

AM = MC (gt)

=> 2 tam giác bằng nhau (g.c.g)

=> BM = MD

=> MA = MB = MC = MD

ABCD là hình bình hành (có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường)

Có 1 góc vuông là góc A

Nên ABCD là hình chữ nhật

Xét tứ giác AHCD có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường => tứ giác AHCD là hình bình hành.

Hình bình hành AHCD có góc H vuông nên AHCD là hình chữ nhật

a) Xét 2 tam giác vuông AHD và BCK ta có:

AD = BC (gt)

Góc ADH = Góc CBK (so le trong)

=> 2 tam giác trên bằng nhau

=> AH = CK ( cạnh tương ứng)

Vì 2 đường thẳng vuông góc tại một đường thẳng nên 2 đường thẳng đó song song với nhau

=> AH // CK

=> AHCK là hình bình hành

b) Từ câu a ở trên ta có DH = BK (cạnh tương ứng)

Vì I là trung điểm của HK nên DH + HI = BK + KI = ID = IB

=> IB = ID