Tia \(O t\) là phân giác của \(\hat{M O N}\) nên \(\hat{M O t} = \hat{N O t} = \frac{1}{2} \hat{M O N}\). (1)

Hai tia \(O M\) và \(O N\) cùng nằm trên nửa mặt phẳng bờ \(x x^{'}\) và tia \(O t\) là phân giác của \(\hat{M O N}\) nên \(O N\) nằm giữa \(O x^{'}\) và \(O t\).

Suy ra \(\hat{x^{'} O t} = \hat{x^{'} O \overset{ˉ}{N}} + \hat{N O t}\). (2)

Từ (1) và (2), ta có \(\hat{x^{'} O t} = \hat{x^{'} O N} + \hat{M O t}\). (*)

\(O M\) nằm giữa \(O x\) và \(O t\) nên \(\hat{x O t} = \hat{x O M} + \hat{M O t}\). (3)

Mặt khác \(\hat{x O M} = \hat{x^{'} O N} = 3 0^{\circ}\). (4)

Từ (3) và (4), ta có \(\hat{x O t} = \hat{x^{'} O N} + \hat{M O t}\) (* *)

Từ (*) và \(\left(\right. * * \left.\right)\) suy ra \(\hat{x O t} = \hat{x^{'} O t} = \frac{1}{2} \hat{x^{'} O x} = \frac{1}{2} . 18 0^{\circ} = 9 0^{\circ}\).

Vậy \(O t \bot x^{'} x\).

Có \(\hat{B O C}\) và \(\hat{B O D}\) là hai góc kề bù nên \(\hat{B O C} + \hat{B O D} = 18 0^{\circ}\).

Vì \(O M\) là tia phân giác của \(\hat{B O C}\) nên \(\hat{C O M} = \hat{M O B} = \frac{1}{2} \hat{B O C}\);

\(O N\) là tia phân giác của góc \(\hat{B O D}\) nên \(\hat{D O N} = \hat{N O B} = \frac{1}{2} \hat{B O D} .\)

Mà tia \(O B\) nằm giữa tia \(O M\) và \(O N\).

Suy ra \(\hat{M O N} = \hat{M O B} + \hat{N O B} = \frac{1}{2} \left(\right. \hat{B O C} + \hat{B O D} \left.\right) = \frac{1}{2} . 18 0^{\circ} = 9 0^{\circ}\).

Mặt khác \(\hat{M O P} = 9 0^{\circ}\) (tia \(O P\) vuông góc \(O M\) ).

Suy ra \(\hat{M O N} + \hat{M O P} = 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} = 18 0^{\circ}\).

Mà hai tia \(O P\) và \(O N\) nằm trền hai nửa mặt phẳng bờ \(O M\) nên hai tia \(O P\) và \(O N\) là hai tia đối nhau.

Kết hợp \(O C\) và \(O D\) là hai tia đối nên suy ra \(\hat{C O P}\) và \(\hat{D O N}\) là hai góc đối đỉnh.

Vơi \(n\) đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta có \(2 n\) tia chung gồc.

Chọn \(1\) tia trong \(2 n\) tia chung gốc đó, tạo với \(2 n - 1\) tia còn lại, ta được \(2 n - 1\) (góc).

Làm như vậy với \(2 n\) tia chung gốc, ta được \(2 n . \left(\right. 2 n - 1 \left.\right)\) (góc).

Nhưng vì mỗi góc đã được tính hai lần nên số góc thực tế là \(\frac{2 n . \left(\right. 2 n - 1 \left.\right)}{2} = n . \left(\right. 2 n - 1 \left.\right)\) (góc).

Vì có \(n\) đường thẳng nên sẽ có \(n\) góc bẹt.

Do đó số góc khác góc bẹt là \(n . \left(\right. 2 n - 1 \left.\right) - n = n . \left(\right. 2 n - 2 \left.\right)\) (góc).

Mỗi góc trong số \(n . \left(\right. 2 n - 2 \left.\right)\) góc đó đều có một góc đối đỉnh với nó.

Suy ra số cặp góc đối đỉnh là \(\frac{n \left(\right. 2 n - 2 \left.\right)}{2} = n . \left(\right. n - 1 \left.\right)\).

Vậy với \(n\) đường thẳng cắt nhau tại một điểm, ta được \(n . \left(\right. n - 1 \left.\right)\) cặp góc đối đỉnh.

Vi \(\hat{x O N}\) và \(\hat{x^{'} O N}\) kề bù nên \(\hat{x O N} + \hat{x^{'} O N} = 18 0^{\circ}\).

Mà \(\hat{x O N} = 9 0^{\circ}\) nên \(\hat{x^{'} O N} = 9 0^{\circ}\).

Vì tia \(O P\) là tia phân giác của góc \(\hat{x^{'} O N}\) nên \(\hat{x^{'} O P} = \hat{P O N} = \frac{1}{2} \hat{x^{'} O N} = 4 5^{\circ}\).

Mặt khác hai tia \(O P\) và \(O M\) thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ \(x x^{'}\) nên \(\hat{M O P} = \hat{P O N} + \hat{x O N} + \hat{x O M} = 4 5^{\circ} + 9 0^{\circ} + 4 5^{\circ} = 18 0^{\circ}\).

Suy ra hai tia \(O P\) và \(O M\) là hai tia đối nhau. Mà \(O x\) và \(O x^{'}\) là hai tia đối nhau.

Suy ra \(\hat{x O M}\) và \(\hat{x^{'} O P}\) là hai góc đối đỉnh.

Vi \(O\) nằm trên đường thẳng \(x x^{'}\) nên hai tia \(O x\) và \(O x^{'}\) là hai tia đối nhau. (1)

Do \(O N\) và \(O M\) thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ \(O x\) nên tia \(O x\) nằm giữa \(O N\) và \(O M\).

Suy ra \(\hat{x O M} + \hat{x O N} = 14 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 18 0^{\circ}\).

Vậy \(\hat{x O M}\) và \(\hat{x O N}\) là hai góc kề bù.

Suy ra hai tia \(O M\) và \(O N\) đối nhau. (2)

Từ (1) và (2), suy ra \(\hat{x O N}\) và \(\hat{x^{'} O M}\) là hai góc đối đỉnh.

Vì \(\hat{A O D}\) và \(\hat{B O C}\) đối đỉnh nên \(\hat{A O D} = \hat{B O C}\).

Mà \(\hat{A O D} + \hat{B O C} = 10 0^{\circ}\) nên \(\hat{A O D} = \hat{B O C} = 10 0^{\circ} : 2 = 5 0^{\circ}\).

Lại có \(\hat{B O D}\) và \(\hat{B O C}\) kề bù nên \(\hat{B O D} + \hat{B O C} = 18 0^{\circ}\).

Suy ra \(\hat{B O D} = 18 0^{\circ} - \hat{B O C} = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}\).

Suy ra \(\hat{A O C} = \hat{B O D} = 13 0^{\circ}\) (hai góc đối đinh).

Vì \(\hat{A O D}\) và \(\hat{B O C}\) đối đỉnh nên \(\hat{A O D} = \hat{B O C}\).

Mà \(\hat{A O D} + \hat{B O C} = 10 0^{\circ}\) nên \(\hat{A O D} = \hat{B O C} = 10 0^{\circ} : 2 = 5 0^{\circ}\).

Lại có \(\hat{B O D}\) và \(\hat{B O C}\) kề bù nên \(\hat{B O D} + \hat{B O C} = 18 0^{\circ}\).

Suy ra \(\hat{B O D} = 18 0^{\circ} - \hat{B O C} = 18 0^{\circ} - 5 0^{\circ} = 13 0^{\circ}\).

Suy ra \(\hat{A O C} = \hat{B O D} = 13 0^{\circ}\) (hai góc đối đinh).

a) \(A C\) và \(A D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(A C \bot A D\).

\(B C\) và \(B D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(B C \bot B D\).

b) Vì \(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{y A B} = \hat{A B m}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{3}} = \hat{B_{2}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{y A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B m}\)).

Suy ra: \(A D / / B C\).

\(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{x A B} = \hat{A B n}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{3}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{x A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B n}\)).

Suy ra: \(A C / / B D\).

c) \(A D\) // \(B D\) (theo chứng minh b), \(B D \bot B C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A D \bot B D\) (\(B D\) vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).

Suy ra: \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\).

Tương tự: \(A D\) // \(B C\) (theo chứng minh b); \(A D \bot A C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A C \bot B C\) (như trên).

Suy ra: \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\).

a) \(A C\) và \(A D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(A C \bot A D\).

\(B C\) và \(B D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(B C \bot B D\).

b) Vì \(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{y A B} = \hat{A B m}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{3}} = \hat{B_{2}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{y A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B m}\)).

Suy ra: \(A D / / B C\).

\(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{x A B} = \hat{A B n}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{3}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{x A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B n}\)).

Suy ra: \(A C / / B D\).

c) \(A D\) // \(B D\) (theo chứng minh b), \(B D \bot B C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A D \bot B D\) (\(B D\) vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).

Suy ra: \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\).

Tương tự: \(A D\) // \(B C\) (theo chứng minh b); \(A D \bot A C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A C \bot B C\) (như trên).

Suy ra: \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\).

Theo đề bài:

\(\hat{O_{1}} = \hat{O_{2}}\) (\(O E\) là tia phân giác của \(\hat{A O C} \left.\right) .\) (1)

\(\hat{O_{3}} = \hat{O_{4}}\) (\(O F\) là tia phân giác của \(\hat{D O B} \left.\right)\). (2)

Mà \(\hat{A O D} = \hat{C O B}\) (hai góc đối đỉnh).

Từ (1), (2), (3), ta có: \(\hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} + \hat{A O D} = \hat{O_{2}} + \hat{O_{4}} + \hat{C O B}\) (4)

Mà \(\left(\right. \hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} + \hat{A O D} \left.\right) + \left(\right. \hat{O_{2}} + \hat{O_{4}} + \hat{C O B} \left.\right) = 36 0^{\circ}\). (5)

Do đó \(\hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} + \hat{A O D} = 18 0^{\circ}\).

Từ \(\left(\right. 4 \left.\right)\) và \(\left(\right. 5 \left.\right) \Rightarrow \hat{E O F} = 18 0^{\circ}\).

Vậy \(E , O , F\) nằm trên một đường thẳng, hay tia \(O E\) và tia \(O F\) là hai tia đối nhau.