ĐK : \(x;y\ne0\)

Ta có : \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{x+y}{xy}=\dfrac{1}{8}\)

\(\Leftrightarrow8.\left(x+y\right)=xy\)

\(\Leftrightarrow xy-8x-8y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(xy-8x\right)-\left(8y-64\right)=64\)

\(\Leftrightarrow x.\left(y-8\right)-8.\left(y-8\right)=64\Leftrightarrow\left(x-8\right).\left(y-8\right)=64\)

Do x;y \(\inℤ\) ta có bảng sau

Vậy (x;y) = (9;72) ; (10  ; 40) ; (12 ; 24) ; (16;16) ; (24;12) ; (7;-56) ; (6;-24) ; (4;-8) và các hoán vị của chúng 

Ta có : \(\dfrac{x-2012}{8}+\dfrac{x-2008}{6}+\dfrac{x-2005}{5}=10-\dfrac{x-2004}{4}\)

\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{x-2012}{8}-1\right)+\left(\dfrac{x-2008}{6}-2\right)+\left(\dfrac{x-2005}{5}-3\right)+\left(\dfrac{x-2004}{4}-4\right)=0\)\(\Leftrightarrow\dfrac{x-2020}{8}+\dfrac{x-2020}{6}+\dfrac{x-2020}{5}+\dfrac{x-2020}{4}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2020\right).\left(\dfrac{1}{8}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{4}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x-2020=0\Leftrightarrow x=2020\)

Vậy x = 2020

Nếu không sửa thì 

P = a²⁰²¹ - (a + 2b)²⁰²¹ khi b = c

hoặc P = c²⁰²¹ - (2b + c)²⁰²¹  khi b = a

và giá trị của P còn phụ thuộc vào a,b,c  , không phải là hằng số . 

Đề bài mình sửa lại : A = a²⁰²¹ - b²⁰²¹ + c²⁰²¹ - (a - b + c)²⁰²¹ 

Ta có \(\sqrt{a}-\sqrt{b}+\sqrt{c}=\sqrt{a-b+c}\)

\(\Leftrightarrow a+b+c-2\sqrt{ab}-2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}=a-b+c\)

\(\Leftrightarrow b-\sqrt{ab}-\sqrt{bc}+\sqrt{ca}=0\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{b}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)-\sqrt{c}\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{b}-\sqrt{c}\right).\left(\sqrt{b}-\sqrt{a}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}b=c\\b=a\end{matrix}\right.\)

Với b = c 

A = a²⁰²¹ - b²⁰²¹ + c²⁰²¹ - (a - b + c)²⁰²¹ 

= a²⁰²¹ - a²⁰²¹

= 0 

Tương tự với b = a ta được A = 0

Vậy A = 0 

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}x\ge-1\\y\ge0\end{matrix}\right.\)

Ta có : \(x+\sqrt{\left(x+1\right).y}=2y-1\)

\(\Leftrightarrow x+1+\sqrt{\left(x+1\right)y}-2y=0\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{y}\right)\left(\sqrt{x+1}+2\sqrt{y}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}\sqrt{x+1}=\sqrt{y}\left(1\right)\\\sqrt{x+1}+2\sqrt{y}=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Từ (2) ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x+1=0\\y=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-1\\y=0\end{matrix}\right.\) (tm)

Thử lại ta có (x;y) = (-1;0) là 1 nghiệm của hệ phương trình

Từ (1) ta có : x + 1 = y

Khi đó \(\sqrt{2x+3}+\sqrt{y}=x^2-y\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2x+3}+\sqrt{x+1}=x^2-x-1\)

\(\Leftrightarrow\left(\sqrt{2x+3}-3\right)+\left(\sqrt{x+1}-2\right)=x^2-x-6\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{2x-6}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{x-3}{\sqrt{x+1}+2}=\left(x-3\right)\left(x+2\right)\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=3\\\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}=x+2\end{matrix}\right.\)

Với x = 3 => y = 4 (tm)

Với \(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}=x+2\)

Vì \(x\ge-1\) nên \(\dfrac{2}{\sqrt{2x+3}+3}\le\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{\sqrt{x+1}+2}\le\dfrac{1}{2}\)

nên \(VT\le\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}=1\) 

lại có  \(VP\ge1\) khi x \(\ge-1\)

Dấu "=" xảy ra khi x = -1 => y = 0 (tm)

Vậy (x;y) = (-1;0) ; (3;4) 

a) A(3;-5) ; B(1;0)

=> \(\overrightarrow{AB}\left(-2;5\right)\)

Gọi C(x;y) tọa độ cần tìm

khi đó \(\overrightarrow{OC}\left(x;y\right)\)

 \(\overrightarrow{OC}=-3\overrightarrow{AB}\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-3.\left(-2\right)=6\\y=-3.5=-15\end{matrix}\right.\)

Vậy C(6;-15)

b) D đối xứng với A qua C

=> C trung điểm AD

Gọi D(x₁;y₁)

Ta có : \(6=\dfrac{3+x_1}{2}\Leftrightarrow x_1=9\) 

\(-15=\dfrac{-5+y_1}{2}\) <=> y₁ = -25 

Vậy D(9;-25) 

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}2x^2+5\ge0\\x^2-x+11\ge0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\forall x\inℝ\)

\(\sqrt{2x^2+5}=\sqrt{x^2-x+11}\)

<=> 2x² + 5 = x² - x + 11 

<=> x² + x - 6 = 0

<=> (x - 2)(x + 3) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-3\end{matrix}\right.\)

Tập nghiệm phương trình S = {2;-3}

b) Ta có : \(\dfrac{2a}{3}=\dfrac{3b}{4}=\dfrac{4c}{5}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\dfrac{3}{2}}=\dfrac{b}{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{c}{\dfrac{5}{4}}=\dfrac{a+b+c}{\dfrac{3}{2}+\dfrac{4}{3}+\dfrac{5}{4}}=\dfrac{49}{\dfrac{49}{12}}=12\)

Khi đó \(a=12.\dfrac{3}{2}=18;b=12.\dfrac{4}{3}=16;c=12.\dfrac{5}{4}=15\)

Vậy (a,b,c) = (18,16,15) 

A = \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2+\left(y+\dfrac{1}{y}\right)^2=\left(x^2+y^2\right)+\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+4\)

<=> 2A = \(2\left(x^2+y^2\right)+2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)+8\)

Ta có \(2\left(x^2+y^2\right)=\left(1^2+1^2\right)\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2=1\)(Bất đẳng thức Bunyakovsky) (1) 

Áp dụng tương tự ta có

 \(2\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)=\left(1^2+1^2\right).\left(\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}\right)\)

\(\ge\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)^2\) (BĐT Bunyakovsky)

\(\ge\left(\dfrac{4}{x+y}\right)^2=\dfrac{16}{\left(x+y\right)^2}=16\) (BĐT Schwarz) (2) 

Từ (1) và (2) ta có \(2A\ge1+16+8=25\Leftrightarrow A\ge\dfrac{25}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{y}\\x=y\\x+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Vậy \(A_{min}=\dfrac{25}{2}\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{2}\)

Gọi thời gian vòi 1,2 chảy đầy bể lần lượt là x , y (x > 12, y > 12)

1 giờ vòi 1 chảy được \(\dfrac{1}{x}\) bể

1 giờ vòi  2 chảy được \(\dfrac{1}{y}\) bể

=> 1 giờ 2 vòi chảy được \(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\) (bể) (1)

Lại có : Khi 2 vòi chảy chung trong 4 giờ và vòi 1 chảy trong 14 giờ

tiếp theo thì đầy bể 

nên ta có : \(4.\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)+14.\dfrac{1}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\) (2) 

Từ (1) và (2) ta có hệ \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{6}\\\dfrac{9}{x}+\dfrac{2}{y}=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{12}\\\dfrac{7}{x}=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=28\\x=21\end{matrix}\right.\)(t/m) 

Vậy vòi 1 chảy đầy bể 1 mình sau 21 giờ

vòi 2 xong trong 28 giờ