ĐKXĐ : \(0\le x\le1\)

Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{1-x}=b\left(a;b\ge0\right)\)

Khi đó ta được a² + b² = 1 (1)

Lại có phương trình ban đầu trở thành 

\(\dfrac{2a^3}{a+b}+ab=1\) (2) 

Từ (1) ; (2) ta được \(\dfrac{2a^3}{a+b}+ab=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow2a^3=\left(a+b\right).\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3=b^3\Leftrightarrow a=b\)

Khi đó \(\sqrt{x}=\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x=1-x\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\)

Vậy tập nghiệm \(S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\)

a) Ta có :  \(\Delta"=\left(-m\right)^2-\left(m-2\right)=m^2-m+2=\left(m-\dfrac{1}{2}\right)^2+\dfrac{7}{4}>0\forall m\)

=> Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt

b) Hệ thức Viete : 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1x_2=m-2\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(M=\dfrac{-24}{x_1^2+x_2^2-6x_1x_2}=\dfrac{-24}{\left(x_1+x_2\right)^2-8x_1x_2}\)

\(=\dfrac{-24}{\left(2m\right)^2-8.\left(m-2\right)}=\dfrac{-6}{m^2-2m+4+=}=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\)

Do (m - 1)² + 3 \(\ge3\forall m\)

nên \(\dfrac{6}{\left(m-1\right)^2+3}\le2\Leftrightarrow M=\dfrac{-6}{\left(m-1\right)^2+3}\ge-2\)

Vậy M_min = -2 <=> m = 1

a)Có: \(\Delta=\left(-m\right)^2-4\left(m-5\right)=m^2-4m+20=\left(m-2\right)^2+16>0\)

=> Phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt \(\forall m\)

b) Áp  dụng hệ thức Viete : 

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=m-5\end{matrix}\right.\)

Kết hợp giả thiết : \(x_1+2x_2=1\) 

ta được \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1+2x_2=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_2=1-m\\x_1=2m-1\end{matrix}\right.\)

Khi đó \(x_1x_2=m-5\)

\(\Leftrightarrow\left(1-m\right).\left(2m-1\right)=m-5\)

\(\Leftrightarrow2m^2-2m-4=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-1\\m=2\end{matrix}\right.\)

Vậy m \(\in\left\{-1;2\right\}\)

Từ 2x - y - 2 = 0

ta được y = 2x - 2

Thế vào phương trình dưới ta được

3x² - x(2x - 2)  - 8 = 0

<=> x² + 2x - 8 = 0

<=> (x - 2)(x + 4) = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-4\end{matrix}\right.\)

Với x = 2 được y = 2

Với x = -4 được y = - 10

Vậy (x;y) = (2;2) ; (-4 ; -10) 

ĐKXĐ : \(x\ge-3;x^2+9x+19\ge0\)

Phương trình tương đương 

\(2\sqrt{x+3}=\sqrt{x^2+9x+19}-\left(x+4\right)\)

\(\Leftrightarrow2\sqrt{x+3}=\dfrac{x+3}{\sqrt{x^2+9x+19}+x+4}\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x+3=0\\\dfrac{\sqrt{x+3}}{\sqrt{x^2+9x+19}+x+4}=2\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Giải (1) ta có : \(2\sqrt{x^2+9x+9}=-2x-8+\sqrt{x+3}\)

Đặt t = \(\sqrt{x+3}\) có VP = f(t) = -2t² + t - 2 \(\le-\dfrac{15}{8}\)< 0 (2)

Dấu "=" khi \(x=\dfrac{1}{4}\)

Lại có VP \(\ge0\) (3)

Từ (2) (3) được (1) vô nghiệm

=> Nghiệm phương trình ban đầu là nghiệm của x + 3 = 0

<=> x = -3 (TM)

Tập nghiệm S = {-3}   

Chọn mốc thế năng ở mặt đất :

Cơ năng sau khi ném vật : \(W=\dfrac{1}{2}mv^2+mgh=\dfrac{1}{2}m.\left(20\right)^2+m.10.10=300m\) (J)

lại có \(W_đ=3W_t\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}W=4W_t\left(1\right)\\W=\dfrac{4}{3}W_đ\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Theo (1) ta có 300m = 4mgh₁

<=> h₁ = \(\dfrac{300m}{4mg}=75\left(m\right)\)

Theo (2) ta có : \(300m=\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}mv_1^2\)

\(\Leftrightarrow v_1=\sqrt{\dfrac{300m}{\dfrac{4}{3}.\dfrac{1}{2}m}}=15\sqrt{2}\left(m/s\right)\)

Vật chạm đất thì \(W=W_đ\)

\(\Rightarrow300m=\dfrac{1}{2}m.v_{max}^2\)

\(\Rightarrow v_{max}=10\sqrt{6}\) (m/s) 

Phương trình hoành độ giao điểm 

x² = -2x + m - 1

<=> x² + 2x + 1 - m = 0 (1)

(p) cắt (d) 2 điểm phân biệt <=> \(\Delta=4-4\left(1-m\right)=4m>0\Leftrightarrow m>0\)

Hệ thức viete cho (1) : \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-2\\x_1x_2=1-m\end{matrix}\right.\)

Do A(x₁ ; y₁) và B(x₂ ; y₂) \(\in d\)

nên y₁ = -2x₁ + m - 1 

y₂ = -2x₂ + m - 1

khi đó y₁ + y₂ = 2m - 2 - 2(x₁ + x₂) = 2m + 2 

Ta có (y₁ + y₂)² = 110 - x₁² - x₂²

<=> (2m + 2)² = 110 - (x₁² + x₂²)

<=> (2m + 2)² = 110 - (x₁ + x₂)² + 2x₁x₂ 

<=> (2m + 2)² = 108 - 2m

<=> 4m² + 10m - 104 = 0

<=> \(\left[{}\begin{matrix}m=4\\m=-\dfrac{13}{2}\left(\text{loại}\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy m = 4

a) Phương trình hoành độ giao điểm : 

x² = 2x + m² 

<=> x² - 2x - m² = 0 (1)

Có \(\Delta=\left(-2\right)^2-4.1.\left(-m^2\right)=4m^2+4>0\forall m\inℝ\)

=> Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt

=> ĐPCM

b) Áp dụng hệ thức Viete cho phương trình (1)

\(x_1+x_2=2;x_1x_2=-m^2\)

Khi đó (x₁ + 1)(x₂ + 1) = -3

<=> x₁x₂ + x₁ + x₂ + 4 = 0 

<=> -m² + 6 = 0

<=> \(m=\pm\sqrt{6}\)

P = 10m = 10.400 = 4000(N)

Công sinh ra để nâng vật : 

A = F.s = P.s = 4000.20 = 80000(J)

b) Công suất của máy 

\(P=\dfrac{A}{t}=\dfrac{80000}{10}=8000\left(W\right)\)

c) Hiệu suất : \(H=\dfrac{P}{P_1}.100\%0=\dfrac{8000}{20000}.100\%=40\%\)

ĐKXĐ : \(\left\{{}\begin{matrix}4x^2-1\ne0\\8x^3+1\ne0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x\ne\pm\dfrac{1}{2}\)

\(P=\dfrac{2x^5-x^4-2x+1}{4x^2-1}+\dfrac{8x^2-4x+2}{8x^3+1}\)

\(=\dfrac{\left(x^4-1\right)\left(2x-1\right)}{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}+\dfrac{2\left(4x^2-2x+1\right)}{\left(2x+1\right)\left(4x^2-2x+1\right)}\)

\(=\dfrac{x^4-1}{2x+1}+\dfrac{2}{2x+1}=\dfrac{x^4+1}{2x+1}\)