Có D là phân giác của góc A

��⊥��$=>DH\perp AB$; ��⊥��$DK\perp AC$ ⇒��=��$\Rightarrow DH=DK$ (tính chất tia phân giác của một góc).

Gọi �$G$ là trung điểm của ��$BC$.

Xét △���$tam\; giácBGD$ và △���$tam\; giácCGD$

��$có\; :\; góc\; BGD\; =\; góc\; CGD\; (=90\; độ)(DG\; là\; trung\; trực\; của\; BC)$

��=��$BG=CG$ (gt),

��$DG$ là cạnh chung.

Do đó △���=△���$△BGD=△CGD$ (hai cạnh góc vuông)

⇒��=��$\Rightarrow BD=CD$ (hai cạnh tương ứng).

Xét $BHD$

△���$tam\; giácCKD\; và\; BHD$

���^=���^=90∘90
có :  góc BHD = góc CKD(gt);

��=��$DH=DK$ (cmt);

��=��$BD=CD$ (cmt).

Do đó △���=△���$△BHD=△CKD$ (ch-cgv)

⇒��=��$\Rightarrow BH=CK$ (2 cạnh t/ứng).

a) Ta có $DM=DG\Rightarrow GM=2GD$
$G$ là giao điểm của $BD$ và $CE\Rightarrow G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$

$\Rightarrow BG=2GD$.

Suy ra $BG=GM$.

Chứng minh tương tự ta được $CG=GN$.

b) Xét tam giác $GMN$ và tam giác $GBC$ có $GM=GB$ (chứng minh trên);

\widehat{MGN}=\widehat{BGC}M$\hat{}$góc MGN = góc BGC(hai góc đối đỉnh);

$GN=GC$ (chứng minh trên).

Do đó $△GMN=△GBC$ (c.g.c)

$\Rightarrow MN=BC$ (hai cạnh tương ứng).

Theo chứng minh trên $△GMN=△GBC\Rightarrow Góc\; NMG=$
$\hat{}$ góc CBG(hai góc tương ứng).

Mà góc \widehat{NMG}$\hat{}$ NMGvà \widehat{CBG}
$\hat{}$góc CBG  ở vị trí so le trong nên $MN$ // $BC$.

Ta có BF = 2BE (gt)=>BE = EF.

Mà BE = 2ED nên EF = 2ED.

=> ED = DF.

=>D là trung điểm của EF.

 CD là đường trung tuyến của tam giác CEF.

Vì K là trung điểm CF (gt).

=> EK cũng là đường trung tuyến của tam giác CEF.

tam giác CEF có hai đường trung tuyến CD và EK cắt nhau tại G.

=> G là trọng tâm của tam giác CEF.

Vì G là trọng tâm của tam giác CEF nên GD = 2/3 DC ; GK = 1/2 GE (tính chất trọng tâm).

=> GE = 2GK

a) Xét tam giác $ABD$ có $C$ là trung điểm của cạnh $AD\Rightarrow BC$ là trung tuyến của tam giác $ABD$.

 $G\in BC$ và GB=2 GC \Rightarrow GB=\dfrac{2}{3} BC \Rightarrow GGB=2GC⇒GB=

​23BC⇒G là trọng tâm tam giác $ABD$.

$AE$ là đường trung tuyến của tam giác $ABD$ nên $A,G,E$ thẳng hàng.

b) $G$ là trọng tâm tam giác $ABD\Rightarrow DG$ là đường trung tuyến của tam giác này.

=> $DG$ đi qua trung điểm của cạnh $AB$ 

bài 2 :
Vì tam giác ABC cân tại A => AB = AC ( tam giác ABC cân tại A)
 Tam giác ABC cân tại A có hai đường trung tuyến là BD và CE mà AB = AC => AE = AD
Xét tam giác ABD và tam giác ACE có :
- Góc A chung
- AB = AC (cmt)
-AD = AE (cmt)
=> tam giác ABD và tam giác ACE bằng nhau (c.g.c) 
=> BD = CE ( 2 cạnh tương ứng)
b) Vì BD = CE (cmt)
=> 2/3 BD = 2/3 CE = BG = CG
=> tam giác GBC cân (tại G)
c) GE = GD = 1/3 BD = 1/3 CE
=> GE + GD = 2/3 BD = BG
Gọi I là trung điểm của BC => BI = 1/2 BC
Vẽ thêm đoạn GI có tam giác BGI có : BG là cạnh huyền của tam giác BGI còn BI là cạnh góc vuông của tam giác BGI
Vì cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông => BG hay GD + GE > 1/2 BC

Bài 1
Xét tam giác ABC có 2 đường trung tuyến là BM và CN cắt nhau tại G => G là trọng tâm của tam giác ABC 

=>BG= 2/3 BM; CG=2/3 CN
=> BM = 3/2 BG : CN = 3/2 CG

Trong tam giác BGC tổng 2 cạnh BG và CG luôn lớn hơn cạnh BC

=> 3/2 BG + 3/2 CG > 3/2 BC
Hay BM + CN > 3/2 BC (đpcm)