Diện tích bề mặt chiếc bánh

25x25=625 cm²

Diện tích mỗi mảnh tam giác

625:8=78,125 cm²

a/

Xét tg vuông ABH

\(AH^2=AM.AB\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

Xét tg vuông ACH có

\(AH^2=AN.AC\) (lý do như trên)

\(\Rightarrow AM.AB=AN.AC\)

b/

\(AN\perp AB;MH\perp AB\) => AN//MH

\(AM\perp AC;NH\perp AC\) => AM//NH

=> AMHN là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau từng đôi một)

Mặt khác \(\widehat{A}=90^o\)

=> AMHN là HCN => AM=NH; AN=MH (cạnh đối HCN)

Xét tg vuông ABH và tg vuông ACH có

\(\widehat{BAH}=\widehat{ACB}\) (cùng phụ với \(\widehat{ABC}\) )

=> tg ABH đồng dạng với tg ACH

\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{S_{ABH}}{S_{ACH}}\) (hai tg đồng dạng, tỷ số 2 diện tích bằng bình phương tỷ số đồng dạng)

\(\Rightarrow\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2=\dfrac{\dfrac{1}{2}.AB.MH}{\dfrac{1}{2}.AC.NH}\Rightarrow\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{MH}{NH}\) lập phương 2 vế

\(\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{MH^2.MH}{NH^2.NH}\) (1)

Xét tg vuông ABH

\(MH^2=BM.AM\) (trong tg vuông bình phương đường cao hạ tử đỉnh góc vuông bằng tích giữa hai hình chiếu của 2 cạnh góc vuông trên cạnh huyền) (2)

Xét tg vuông ACH, c/m tương tự

\(NH^2=CN.AN\) (3)

Thay (2) và (3) vào (1)

(1) \(\Leftrightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM.AM.MH}{CN.AN.NH}\)

Mà AM = NH; AN = MH (cmt)

\(\Rightarrow\dfrac{AB^3}{AC^3}=\dfrac{BM}{CN}\)

Số cần tìm cộng thêm 1 đơn vị thì chia hết cho 2,3,4,5,6,7

Số chia hết 4,5,6,7 thì cũng chia hết cho 2 và 3

Số nhỏ nhất chia hết cho 4,5,6,7 là

4x5x6x7=840

Số nhỏ hơn 2000 lớn hơn 1000 thoả mãn đề bài là

840x2=1680

O là giao của AH và EF

\(AF\perp AB;HE\perp AB\) => AF//HE

\(AE\perp AC;HF\perp AC\) => AE//HF

=> AEHF là hình bình hành mà \(\widehat{A}=90^o\) => AEHF là HCN

\(\Rightarrow AH=EF\) (trong HCN hai đường chéo băng nhau)

\(OA=OH;OE=OF\) (trong hbh hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> OE=OH => tg OEH cân tại O

Vì AEHF là HCN nên

\(\widehat{EAF}=\widehat{EHF}=90^o\) => A và H cùng nhìn EF dưới 1 góc vuông => AEHF là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O bán kính EF

Xét tg vuông BEH có

IB=IH (gt) \(\Rightarrow IE=IB=IH=\dfrac{BH}{2}\) (trong tg vuông trung tuyến thuộc cạnh huyền thì bằng nửa cạnh huyền)

=> tg IEH cân tại I \(\Rightarrow\widehat{IEH}=\widehat{IHE}\) (1)

tg OEH cân tại O (cmt) \(\Rightarrow\widehat{OEH}=\widehat{OHE}\) (2)

Mà \(\widehat{IHE}+\widehat{OHE}=\widehat{AHB}=90^o\) (3)

Từ (1) (2) (3) \(\Rightarrow\widehat{IEH}+\widehat{OEH}=\widehat{FEI}=90^o\)

\(\Rightarrow IE\perp EF\) mà EF là đường kính (O) => IE là tiếp tuyến đường tròn (O).

C/m tương tự ta cũng có \(JF\perp EF\) => JF cũng là tiếp tuyến với (O)

=> IE//JF (cùng vuông góc với EF)

Gọi số cần tìm là \(\overline{A5}\) theo đề bài

\(\overline{A5}-A=104\)

\(10xA+5-A=104\)

\(9xA=99\Rightarrow A=99:9=11\)

Số cần tìm là 115

a/

Xét tg ADE có

\(\widehat{ADE}=\widehat{CDE}\) (gt) (1)

\(\widehat{AED}=\widehat{CDE}\) (góc so le trong) (1)

Từ (1) và (2) => \(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\) => tg ADE là tg cân tại A

=> AD=AE (3)

Xét tg CBF có

\(\widehat{CBF}=\widehat{ABF}\) (gt) (4)

\(\widehat{CFB}=\widehat{ABF}\) (góc so le trong) (5)

Từ (4) và (5) => \(\widehat{CBF}=\widehat{CFB}\)  => tg CBF cân tại C

=> CB=CF (6)

Ta có

AD=CB (cạnh đối hình bình hành) (7)

Từ (3) (6) (7) => AD=AE=CB=CF

Mà \(\widehat{DAE}=\widehat{BCF}\) (góc đối hình bình hành)

=> tg ADE = tg CBF (c.g.c)

=> tg ADE và tg CBF là những tg cân bằng nhau

b/

tg ADE = tg CBF (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{ADE}\)

Mà \(\widehat{EDC}=\widehat{ADE}\) (gt)

\(\Rightarrow\widehat{BFC}=\widehat{EDC}\)  Hai góc này ở vị trí đồng vị => DE//BF (8)

Ta có

AB//CD (cạnh đối hình bình hành) => BE//DF (9)

Từ (8) (9) => DEBF là hình bình hành (tứ giác có các cặp cạnh đối // với nhau là hình bình hành)

Trước đây 2 năm:

chia tuổi bố thành 4 phần bằng nhau thì tuổi An là 1 phần

Hiệu số phần bằng nhau chỉ hiệu giữa tuổi bố và tuổi An là

4-1=3 phần

Phân số chỉ tuổi An là

1:3=1/3 hiệu

Sau 10 năm:

chia tuổi bố thành 11 phần bằng nhau thì tuổi An là 5 phần

Hiệu số phần bằng nhau chỉ hiệu giữa tuổi bố và tuổi An là

11-5=6 phần

Phân số chỉ tuổi An là

5:6=5/6 hiệu

Do mỗi năm mỗi người tăng thêm 1 tuổi nên hiệu giữa tuổi bố và tuổi A không thay đổi

Trước đây 2 năm và sau 10 năm tuổi An tăng thêm là

2+10=12 tuổi

Phân số chỉ 12 tuổi là

5/6-1/3=1/2 hiệu

Hiệu tuổi bố và tuổi An là

12:1/2=24 tuổi

Tuổi An cách đây 2 năm là

24x1/3=8 tuổi

Tuổi An hiện nay là

8+2=10 tuổi

Tuổi bố hiện nay là

10+24=34 tuổi

a/

\(\widehat{BAE}+\widehat{DAE}=\widehat{BAD}=90^o\)

\(\widehat{DAF}+\widehat{DAE}=\widehat{FAE}=90^o\)

\(\Rightarrow\widehat{BAE}=\widehat{DAF}\) (cùng phụ với \(\widehat{DAE}\) ) (1)

\(AB=AD\) (cạnh hình vuông) (2)

Xét tg vuông ABE và tg vuông ADF

Từ (1) và (2) => tg ABE = tg ADF (Hai tg vuông có cạnh góc vuông và góc nhọn tương ứng bằng nhau)

\(\Rightarrow AE=AF\) (đpcm)

b/

AE=AF (cmt) => tg AEF là tg cân tại A

I là trung điểm EF (gt)

=> AI là trung tuyến thuộc EF => \(AI\perp EF\) (tring tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

\(\Rightarrow GK\perp EF\) (3)

Xét tg EIG và tg FIK có

\(\widehat{EIG}=\widehat{FIK}\) (góc đối đỉnh) (4)

EG//AB; AB//CD => EG//CD => EG//FK (5)

\(\Rightarrow\widehat{GEI}=\widehat{KFI}\) (góc so le trong) (6)

\(IE=IF\) (gt) (7)

Từ (4) (6) (7) => tg EIG = tg FIK (g.c.g) => EG = FK (8)

Từ (5) và (8) => EGFK là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối // và = nhau là hình bình hành) (9)

Từ (3) và (9) => EGFK là hình thoi (hình bình hành có hai đường chéo vuông góc với nhau là hình thoi) (đpcm)

c/ 

Ta có tg AEF cân tại A (cmt); AI là trung tuyến thuộc EF (cmt)

=> AI là phân giác \(\widehat{EAF}\) (trong tg cân đường trung tuyến xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác của góc ở đỉnh)

Mà \(\widehat{EAF}=90^o\) 

\(\Rightarrow\widehat{FAK}=45^o\)

\(\widehat{ACF}=45^o\)

\(\Rightarrow\widehat{FAK}=\widehat{ACF}=45^o\) 

Xét tg AKF và tg ACF có

\(\widehat{FAK}=\widehat{ACF}=45^o\)

\(\widehat{AFC}\) chung

=> tg AKF đồng dạng với tg CAF (g.g.g)

d/

\(\Leftrightarrow3^{2x+1}=3.3^{18}=3^{19}\)

\(\Rightarrow2x+1=19\)

\(\Leftrightarrow2x=18\Leftrightarrow x=9\)

chữ số 0 nằm bất kỳ vị trí nào thì giá trị của nó cũng không thay đổi