a/

Xét (O)

\(\widehat{AEB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow\widehat{KEF}=90^o\)

\(\widehat{AMB}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn)\(\Rightarrow\widehat{KMF}=90^o\)

=> E và M cùng nhìn KF dưới 2 góc bằng nhau và \(=90^o\)

=> E và M thuộc đường tròn đường kính KF => EFMK là tứ giác nt

b/

Xét tg HAK có

\(\widehat{AEB}=90^o\left(cmt\right)\Rightarrow AE\perp HK\)

\(\widehat{IAF}=\widehat{MAF}\left(gt\right)\)

=> tg HAK cân tại A (Trong tg đường cao xp từ đỉnh tg cân đồng thời là đường phân giác thì tg đó là tg cân)

Xét tg HAK có

a/

\(\overline{xxy}⋮12\Rightarrow\overline{xxy}⋮3;\overline{xxy}⋮4\)

\(\overline{xxy}⋮3\Rightarrow x+x+y=2x+y⋮3\) (1)

\(\overline{xxy}=110x+y=108x+2x+y⋮4\)

Mà \(108x=4.27x⋮4\Rightarrow2x+y⋮4\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow2x+y⋮3.4\Rightarrow2x+y⋮12\)

b/

\(a+1⋮3\Rightarrow a+1+51=a+52⋮3\)

\(a+2⋮5\Rightarrow a+2+50=a+52⋮5\)

\(a+3⋮7\Rightarrow a+3+49=a+52⋮7\)

\(\Rightarrow\left(a+52\right)=BCNN\left(3;5;7\right)=105\Rightarrow a=105-52=53\)

\(a=53=45+8\Rightarrow a:9\) dư 8

Đặt \(x^2-x=t\)

\(\Rightarrow t^2+2t-8=0\)

Giải PT bậc 2 ẩn t tìm ra t, rồi giải PT bậc 2 ẩn x

\(x^2-x=t\)

\(4x-4-x^2=-\left(x^2-2.2.x+2^2\right)=-\left(x-2\right)^2\)

\(x^2-x+\dfrac{1}{4}=x^2-2.x.\dfrac{1}{2}+\left(\dfrac{1}{2}\right)^2=\left(x-\dfrac{1}{2}\right)^2\)

\(x^2-9=x^2-3^2=\left(x-3\right)\left(x+3\right)\)

\(\left(x+1\right)^2-9=\left(x+1\right)^2-3^2=\left(x+1-3\right)\left(x+1+3\right)=\)

\(=\left(x-2\right)\left(x+4\right)\)

\(2^{224}< 2^{225}=\left(2^3\right)^{75}=8^{75}\)

\(3^{151}>3^{150}=\left(3^2\right)^{75}=9^{75}\)

\(\Rightarrow2^{224}< 8^{75}< 9^{75}< 3^{151}\)

\(\dfrac{x^2-yz}{a}=\dfrac{y^2-zx}{b}=\dfrac{z^2-xy}{c}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a}{x^2-yz}=\dfrac{b}{y^2-zx}=\dfrac{c}{z^2-xy}\)

\(\Rightarrow\left[\dfrac{a}{x^2-yz}\right]^2=\left[\dfrac{b}{y^2-zx}\right]^2=\left[\dfrac{c}{z^2-xy}\right]^2\)

Ta có

\(\left[\dfrac{a}{x^2-yz}\right]^2=\dfrac{b}{y^2-zx}.\dfrac{c}{z^2-xy}=\)

\(=\dfrac{a^2-bc}{x^4-2x^2yz+y^2z^2-y^2z^2+xy^3+xz^3-x^2yz}=\)

\(=\dfrac{a^2-bc}{x\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}=\dfrac{a^2-bc}{x}.\dfrac{1}{\left(x^3+y^3+z^3-3xyz\right)}\)

Tương tự

\(\left[\dfrac{b}{y^2-zx}\right]^2=\dfrac{b^2-ca}{y}.\dfrac{1}{x^3+y^3+z^3-3xyx}\)

\(\left[\dfrac{c}{z^2-xy}\right]^2=\dfrac{c^2-ab}{z}.\dfrac{1}{x^3+y^3+z^3-3xyz}\)

\(\Rightarrow\dfrac{a^2-bc}{x}=\dfrac{b^2-ca}{y}=\dfrac{c^2-ab}{z}\)

\(a^2-b^2=\left(a-b\right)\left(a+b\right)\)

Nếu \(\left(a-b\right)\left(a+b\right)\) là số chính phương thì a-b và a+b cũng phải là số chính phương

\(\Rightarrow a-b=p^2;a+b=q^2\)

\(\Rightarrow a=\dfrac{p^2+q^2}{2};b=\dfrac{q^2-p^2}{2}\)

a; b là số nguyên \(\Rightarrow p^2;q^2\) phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ

=> p; q cùng chẵn hoặc cùng lẻ

\(a^2-b^2\) có thể là số chính phương nếu chọn a; b thỏa mãn đk trên

VD:

\(a=5;b=4\Rightarrow a^2-b^2=5^2-4^2=25-16=9=3^2\)

\(A=8x^3+4x^2+2x-4x^2-2x-1-7x^3-7=\)

\(=x^3-8=-\dfrac{1}{2^3}-8=-\dfrac{1}{8}-8=-\dfrac{65}{8}\)

Nếu \(x=0\Rightarrow60^x+48=60^0+48=49=y^2\Rightarrow y=7\)

Nếu \(x>0\Rightarrow60^x+48=y^2\) có tận cùng là 8

Mà \(y^2\) là 1 số chính phương nên tận cùng không thể là 8

=> x>0 không thỏa mãn đề bài

\(P=4\left(x^2+2xy+y^2\right)-12\left(x+y\right)+9+\left(x^2-4x+4\right)+2011=\)

\(=\left[2\left(x+y\right)\right]^2-2.2\left(x+y\right).3+3^2+\left(x-2\right)^2+2011=\)

\(=\left[2\left(x+y\right)-3\right]^2+\left(x-2\right)^2+2011\ge2011\)

\(\Rightarrow P_{min}=2011\)