Xét \(\Delta AHC\)

\(AK=HK\left(gt\right);CM=HM\left(gt\right)\)

=> MK là đường trung bình của \(\Delta AHC\) => MK//AC

Mà \(\widehat{A}=90^o\Rightarrow AB\perp AC\)

\(\Rightarrow MK\perp AB\)

Xét \(\Delta ABM\)

\(MK\perp AB\left(cmt\right);AH\perp BC\left(gt\right)\Rightarrow AH\perp BM\)

=> K là trực tâm của \(\Delta ABM\)

\(\Rightarrow BK\perp AM\) (trong tg 3 đường cao đồng quy)

a/

Ta có B và C cùng nhìn AO dưới 2 góc = nhau và \(=90^o\)

=> B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

=> A; B; O; C cùng nằm trên một đường tròn

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO có

\(OB=OC=R\)

AO chung

=> tg ABO = tg ACO (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A và \(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow OA\perp BC\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

b/

Xét \(\Delta ACE\) và \(\Delta ADC\)

\(sđ\widehat{ACE}=\dfrac{1}{2}sđcungCE\) (góc giữa tt và dây cung)

\(sđ\widehat{ADC}=\dfrac{1}{2}sđcungCE\) (góc nt)

\(\Rightarrow\widehat{ACE}=\widehat{ADC}\)

\(\widehat{CAD}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ACE\sim\Delta ADC\left(g.g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{AC}{AD}\Rightarrow AC^2=AE.AD\)

Xét tg vuông AOC có

\(AC^2=AH.AO\) (Trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

\(\Rightarrow AE.AD=AH.AO\)

c/

Xét tg vuông 

Xét \(\Delta SAB\)

\(SM=AM\left(gt\right);SN=BN\left(gt\right)\) => MN là đường trung bình của \(\Delta SAB\)

=> MN//AB Mà

AB//CD (cạnh đối hbh)

=> MN//CD (cùng // với AB)

\(CD\in\left(SCD\right)\)

=> MN//(SCD)

a/

B và C cùng nhìn AO dưới 2 góc = nhau và \(=90^o\)

=> B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO

=> A; B; C; O cùng nằm trên 1 đường tròn

b/

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO có

\(OB=OC=R\) (R là bán kính (O))

\(AO\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABO=\Delta ACO\) (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A

\(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow AO\perp BC\) (Trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến)

\(\Rightarrow BH=CH\)

Xét tg vuông ABO

\(\widehat{OAB}=\widehat{DBC}\) (cùng phụ với \(\widehat{AOB}\))

Xét \(\Delta DBC\) và \(\Delta BAH\) có

\(\widehat{OAB}=\widehat{DBC}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta DBC\sim\Delta BAH\)

c/ 

\(=3x^4+3x^2+3-\left(x^4+x^2+1+2x^3+2x+2x^2\right)=\)

\(=2x^4-2x^3-2x+2=\)

\(=2x^3\left(x-1\right)-2\left(x-1\right)=\)

\(=2\left(x-1\right)\left(x^3-1\right)=\)

\(=2\left(x-1\right)\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)=\)

\(=2\left(x-1\right)^2\left(x^2+x+1\right)\)

a/

Ta có B và C cùng nhìn AO dưới 2 góc = nhau và \(=90^o\)

=> B và C cùng nằm trên đường tròn đường kính AO => A; B; C; O cùng nằn trên 1 đường tròn

b/

Xét tg vuông ABO và tg vuông ACO

\(OB=OC=R;AO\) chung \(\Rightarrow\Delta ABO=\Delta ACO\) (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

Xét \(\Delta ABC\)

\(\Delta ABO=\Delta ACO\left(cmt\right)\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A và \(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow AO\perp BC;BH=CH\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao và là đường trung tuyến)

Xét tg vuông ABO

\(AO\perp BC\left(cmt\right)\Rightarrow BH\perp AO\)

\(\Rightarrow OB^2=R^2=OH.OA\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền)

c/

Xét \(\Delta BCD\)

\(BD=BC\left(gt\right)\Rightarrow\Delta BCD\) cân tại B

Ta có

\(sđ\widehat{ABC}=\dfrac{1}{2}sđcungBC\) (góc giữa tt và dây cung)

\(sđ\widehat{BDC}=\dfrac{1}{2}sđcungBC\) (góc nt)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BDC}\)

\(\Delta BDC\) cân tại B (cmt) \(\Rightarrow\widehat{BDC}=\widehat{BCD}\) (góc ở đáy tg cân)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{BCD}\) mà 2 góc này ở vị trí so le trong => AB//CD

Mà \(OB\perp AB\)

\(\Rightarrow OB\perp CD\) => OB là đường cao của \(\Delta BCD\)

\(\Delta BCD\) cân tại B có OB là đường cao => OB cũng đồng thời là đường trung trực của \(\Delta BCD\) hay OB là đường trung trực của CD

Xét tg cân ABC có OA là đường trung tuyến (cmt)

=> BH = CH => H là trung điểm BC

Xét tứ giác BECD có

AB//CD (cmt) => BE//CD mà BE = CD (gt) => BECD là hình bình hành (tứ giác có 1 cặp cạnh đối // và = nhau là hbh)

Gọi H' là giao của BC và DE => BH' = CH' (trong hbh 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường)

=> H' là trung điểm của BC; mà H cũng là trung điểm của BC (cmt)

\(\Rightarrow H'\equiv H\) => OA; BC; DE đồng quy

a/

Xét tg vuông ABO Và tg vuông ACO

\(OB=OC=R;OA\) chung => tg ABO = tg ACO (2 tg vuông có cạnh huyền và cạnh góc vuông tương ứng = nhau)

\(\Rightarrow AB=AC\Rightarrow\Delta ABC\) cân tại A và \(\widehat{OAB}=\widehat{OAC}\)

\(\Rightarrow AO\perp BC\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh tg cân đồng thời là đường cao)

Ta cosB và C cùng nhìn AO dưới 2 góc = nhau và \(=90^o\)

=> A; B; O; C cùng năng trên 1 đường tròn

b/ 

Xét \(\Delta ABD\) và \(\Delta AKB\)

\(sđ\widehat{ABD}=\dfrac{1}{2}sđcungBD\) (góc giữa tt và dây cung)

\(sđ\widehat{AKB}=\dfrac{1}{2}sđcungBD\) (góc nt)

\(\Rightarrow\widehat{ABD}=\widehat{AKB}\)

\(\widehat{BAK}\) chung

\(\Rightarrow\Delta ABD\sim\Delta AKB\left(g.g.g\right)\)

\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{AD}{AB}\Rightarrow AB^2=AD.AK\)

a/

\(sđ\widehat{BAP}=\dfrac{1}{2}sđcungBP\) (góc nt)

\(sđ\widehat{CAP}=\dfrac{1}{2}sđcungCP\) (góc nt)

Mà \(\widehat{BAP}=\widehat{CAP}\left(gt\right)\)

\(\Rightarrow sđcungBP=sđcungCP\)

\(sđ\widehat{BOP}=sđcungBP\) (góc ở tâm)

\(sđ\widehat{COP}=sđcungCP\) (góc ở tâm)

\(\Rightarrow\widehat{BOP}=\widehat{COP}\)

Xét \(\Delta BOC\)

\(OB=OC\) (bán kính (O)) => \(\Delta BOC\) cân tại O

\(\widehat{BOP}=\widehat{COP}\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow OP\perp BC\) (trong tg cân đường phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường cao)

\(AH\perp BC\left(gt\right)\)

=> OP//AH (cung vg với BC)

b/

Xét \(\Delta OAC\)

\(OA=OC\) (bán kính (O)) \(\Rightarrow\Delta OAC\) cân tại O

\(\Rightarrow\widehat{OAP}=\widehat{OPA}\) (góc ở đáy tg cân)

OP//AH (cmt) \(\Rightarrow\widehat{HAP}=\widehat{OPA}\) (góc so le trong)

\(\Rightarrow\widehat{OAP}=\widehat{HAP}\) (cùng \(=\widehat{OPA}\) )

=> AP là phân giác của \(\widehat{OAH}\)

a/

\(\widehat{AOC}=\widehat{COB}=\widehat{BOD}=\widehat{DOA}=90^o\)

\(sđ\widehat{AOC}=sđcungAC\) (góc ở tâm)

\(sđ\widehat{COB}=sđcungCB\) (nt)

\(sđ\widehat{BOD}=sđcungBD\) (nt)

\(sđ\widehat{DOA}=sđcungDA\) (nt)

\(\Rightarrow sđcungDA=sđcungBD\)

Xét \(\Delta DFE\) và \(\Delta DCP\)

\(sđ\widehat{AFD}=\dfrac{1}{2}sđcungDA\) (góc nt)

\(sđ\widehat{BCD}=\dfrac{1}{2}sđcungBD\) (góc nt)

Mà \(sđcungDA=sđcungBD\left(cmt\right)\)

\(\Rightarrow\widehat{AFD}=\widehat{BCD}\)

\(\widehat{CDF}\) chung

\(\Rightarrow\Delta DFE\sim\Delta DCP\left(g.g.g\right)\)

b/

Xét \(\Delta HBD\)

\(AB\perp CD\left(gt\right)\Rightarrow BO\perp DH\)

\(\widehat{CBD}=90^o\) (góc nt chắn nửa đường tròn) \(\Rightarrow BC\perp BD\)

HG//BC (gt)

\(\Rightarrow HG\perp BD\)

=> G là trực tâm của \(\Delta HBD\)

c/

Số cần tìm phải là số có 2 hoặc 3 chữ số

+ TH số cần tìm là số có 2 chữ số ta đặt là \(\overline{ab}\) . theo đề bài

\(\overline{ab}+a+b=106\)

\(10xa+b+a+b=106\)

\(11xa+2xb=106\)

Do \(b\le9\Rightarrow2xb\le18\Rightarrow101xa\ge106-18=88\)

\(\Rightarrow a=8\) hoặc \(a=9\)

Với \(a=8\)

\(\Rightarrow11xa+2xb=106\Rightarrow11x8+2xb=106\Rightarrow b=9\)

Thử: \(89+8+9=106\) 

Với \(a=9\)

\(\Rightarrow11xa+2xb=106\Rightarrow11x9+2xb=106\Rightarrow2xb=7\) (loại)

+ TH số cần tìm là số có 3 chữ số ta đặt là \(\overline{abc}\), Theo đề bài

\(\overline{abc}+a+b+c=106\)

\(100xa+10xb+c+a+b+c=106\)

\(101xa+11xb+2xc=106\)

\(\Rightarrow101xa\le106\Rightarrow a=1\)

\(\Rightarrow101xa+11xb+2xc=106\)

\(11xb+2xc=106-101=5\)

\(\Rightarrow b=0\)

\(\Rightarrow11xb+2xc=5\)

\(\Rightarrow2xc=5\) (loại)

Kết luận số cần tìm là 89