Vì BM và CN là hai đường trung tuyến và \(G\) là giao điểm của chúng, nên \(G\) là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra GM = ½ ​GB, GN = ½ GC

P là trung điểm của GB \(\) nên GP = PB = ½ GB

Q là trung điểm của GC nên GQ = QC = ½ GC

Suy ra GM = GP GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có : GM = GP, GN = GQ ( cmt)

Do đó tứ giác PQMN có hai đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

\(\)

ABCD là hình bình hành nên ta có:

Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD

a) Xét tam giác OAM và giác OCN có:

∠OAM = ∠OAN ( vì AB//DC nên AM//CN ) 

OA = OC ( cmt )

∠MOA = NOC ( đối đỉnh )

Do đó tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g)

Nên AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Vậy tam giác OAM = tam giác OCN

b) AB = CD ( cmt câu a ); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND, ta có:

BM // DN ( vì AB // CD )

BM = DN ( cmt )

Vậy tứ giác MBND là hình bình hành.

a) Hình bình hành ABCD có :

AB//DC, AB = CD

Vì B là trung điểm của AE nên AB = BE = ½ AE

Vì C là trung điểm của DF nên DC = CF = ½ DF

Do đó AB = BE = DC = CF

Xét tứ giác AEFD, ta có :

AE//DF ( vì AB//DC )

AE = DF ( cmt )

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác ABFC, ta có :

AB//CF ( Vì AB//DC )

AB = CF ( cmt )

Do đó tứ giác ABFC là hình bình hành

Vậy hai tứ giác AEFD, ABFC là những hình bình hành

b) Vì ABFC là hình bình hành ( cmt câu a ) nên hai đường chéo AF, BC cắt nhau tại trung mỗi đường , ta gọi gọi giao điểm là O

Mà O là trung điểm BC nên O là trung điểm AF

Do đó AEFD là hình bình hành ( cmt câu a ) nên hai đường chéo AF, EF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà O là trung điểm của AF nên O là trung điểm ED

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau

Hình bình hành ABCD, ta có :

AD//BC, AD = BC

Vì E là trung điểm của AD nên AE = ED = ½ AD

Vì F là trung điểm của BC nên BF = FC = ½ BC

Do đó AE = ED = BF = FC

Xét tứ giác EBFD, ta có :

ED = FB

ED//BF ( VÌ AD//BC )

Do đó tứ giác EBFD là hình bình hành

b) O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do tứ giác EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

a) Hình bình hành ABCD có :

AD//BC, AD = BC, AB//CD, AB = CD

Xét tam giác ADH và tam giác CBK, ta có :

∠AHD = ∠CKB = 90∘

AD = BC ( cmt )

∠ADH = CBK ( so le trong, AB//CD )

Do đó tam giác ADH = tam giác CBK ( ch-gn )

Vì tam giác ADH = tam giác CBK nên AH = CK, DH = BK ( 2 cạnh tương ứng )

Xét tam giác HDC và KBA, ta có :

DC = BA ( cmt )

∠HDC = ∠KBA ( so le trong, AB//CD )

DH = BK ( cmt )

Do đó tam giác HDC = tam giác KBA ( c.g.c )

Vì tam giác HDC = KBA nên HC = KA ( 2 cạnh tương ứng )

Tứ giác AKCH có :

HC = KA

AH = CK ( do đó tứ giác AKCH là hình bình hành )

Vậy tứ giác AKCH là hình bình hành

b) Vì tứ giác AKCH là hình bình hành ( cmt câu a ) nên hai đường chéo AC, KH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà I là trung điểm của cạnh HK ( gt ) nên I là trung điểm của cạnh AC

Do đó tứ giác ABCD là hình bình hành nên hai đường chéo AC, BD cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

Mà I là trung điểm của cạnh AC ( cmt ) nên I là trung điểm của cạnh BD

Vậy IB = ID

a) Hình bình hành ABCD có : AB//CD , AB = CD

E là trung điểm của cạnh AB nên AE = EB = 1/2 AB

F là trung điểm của cạnh CD nên DF = FC = 1/2 CD

Do đó AE = EB = DF = FC

Xét tứ giác AEFD có :

AE//DF ( vì AB//CD )

AE = DF ( cmt )

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành

Xét tứ giác AECF có :

AE//FC ( vì AB //CD )

AE = FC ( cmt )

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành

Hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AE = EC

Vậy EF = AD , AF = EC