Xét tam giác \(A B C\), áo dụng tính chất tia phân giác trong tam giác, ta có: 

\(\frac{A M}{M B} = \frac{A C}{C B} = \frac{A B}{C B} = \frac{A N}{N C} \left(\right. = \frac{b}{a} \left.\right)\)

Vậy \(M N\) // \(B C\) (Định lí đảo của định lí Thalès)

Suy ra \(\frac{M N}{B C} = \frac{A M}{A B} = \frac{b}{b + a}\) (Định lí Thalès)

Vậy nên \(M N = \frac{a b}{a + b} .\)

Tam giác \(A B C\) cân tại \(A\) nên \(A B = A C = 12\) cm.

Xét tam giác \(A B C\), áp dụng tính chất tia phân giác ta có:

\(\frac{A D}{D B} = \frac{A C}{C B} = \frac{12}{6} = 2\)

Suy ra \(\frac{A D}{A B} = \frac{2}{3}\) suy ra \(A D = \frac{2}{3} . 12 = 8\) (cm)

Do đó, \(D B = 12 - 8 = 4\) (cm).

xét tam giác BED ta có:

M và I lần lượt là trung điểm của BE và BD

suy ra MN là đường trung bình của tam giác BED và song song với ED

VÌ I là trung điểm của BK nên IK=IB,ME=MB

xét tam giác ABC ta có

E và D lần lượt là trung điểm của AB và AC

Suy ra ED song song với BC

Xét tam giác DCE ta có

K và N lần lượt là trung điểm của EC và DC

SUY ra KN song song với ED

Suy ra \(M I = \frac{1}{2} E D\); \(N K = \frac{1}{2} E D\); \(E D = \frac{1}{2} B C\).

IK=MK−MI=21​BC−21​DE=DE−21​DE=21​DE.

Vậy \(M I = I K = K N\).

a, M và N lần lượt là trung điểm của AB,AC

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC và song song với BC

Xét tam giác GBC ta có:

D và E lần lượt là trung điểm của GB và GC

Suy ra DE là đường trung bình của tam giác GBC và song song với BC

VÌ MN song song với BC và DE cũng song song với BC

Nên DE song song với MN

b, xét tam giác BAG ta có:

N và D lần lượt là trung điểm của BA và AG

suy ra ND song song với AG

xét tam giác CAG ta có:

M và E ần lượt là trung điểm của CG và CA

suy ra ME song song với AG

vì ME và ND cùng song song với AG

nên ME cũng song song với ND

Qua \(D\) vẽ một đường thẳng song song với \(B M\) cắt \(A C\) tại \(N\).

Xét \(\Delta \&\text{nbsp}; M B C\) có \(D B = D C\) và \(D N\) // \(B M\) nên \(M N = N C = \frac{1}{2} M C\) (định lí đường trung bình của tam giác).

Mặt khác \(A M = \frac{1}{2} M C\), do đó \(A M = M N = \frac{1}{2} M C\).

Xét \(\Delta \&\text{nbsp}; A N D\) có \(A M = M N\) và \(B M\) // \(D N\) nên \(O A = O D\) hay \(O\) là trung điểm của \(A D\).

b) Xét \(\Delta \&\text{nbsp}; A N D\) có \(O M\) là đường trung bình nên \(O M = \frac{1}{2} D N\). (1)

Xét \(\Delta \&\text{nbsp}; M B C\) có \(D N\) là đường trung bình nên \(D N = \frac{1}{2} B M\). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(O M = \frac{1}{4} B M\).

Kẻ \(M N\) // \(B D\), \(N \in A C\).

\(M N\) là đường trung bình trong \(\triangle C B D\)

Suy ra \(N\) là trung điểm của \(C D\) (1).

\(I N\) là đường trung bình trong \(\triangle A M N\)

Suy ra \(D\) là trung điểm của \(A N\) (2).

Từ (1) và (2) suy ra \(A D = \frac{1}{2} D C\).

b) Có \(I D = \frac{1}{2} M N\); \(M N = \frac{1}{2} B D\), nên \(B D = I D\).

a, Vì ABCD là hình bình hành nên AB=CD

Vì B là trung điểm của AE nên AB=BE

Vì C là trung điểm của DF nên DC=CF

Nên AB=DC=BE=CF

Suy ra AE=DF

Vì ABCD là hình bình hành nên AB//CD

Mà AB=DC=BE=CF và AE=DF

Nên là AE//DF

Suy ra AEFD là hình bình hành

ABFC là hình bình hành vì:

AB=CF chứng minh trên

mà AE//DF

nên AB//CF

Hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\) nên \(O A = O C\), \(O B = O D\)

Vì AB//CD nên AM cũng song song với AN suy ra \(\hat{O A M} = \hat{O C N}\) (hai góc so le trong).

Xét ΔOAM và ΔOCN ta có:

OA=OC chứng minh trên

AOM=AON( đối đỉnh )

vậy ΔOAM = \(\Delta\)OCN (g.c.g)

suy ra AB-AM=MB

suy ra CD-CN=DN

mà ABCD là hình bình hành nên AB=CD và AB//CD

Vậy MB=DN

Vì AB//CD nên MB//DN

Suy ra MBND là hình bình hành

a, Vì ABCD là hình bình hành nên AB sẽ bằng CD theo trường hợp 2 cạnh đối bằng nhau

Vì E là trung điểm của AB nên AE sẽ bằng BE

Vì F là trung điểm của DC nên FC sẽ bằng FD

Suy ra AE=BE=FC=FD

Suy ra AE=FD

Vì AB//CD

Nên AE//FD

Suy ra AEFD là hình bình hành

AECF là hình bình hành vì:

AE=FC chứng minh trên

AE//FC VÌ AB//CD

Suy ra AECF là hình bình hành

b, Vì AEFD là hình bình hành

Nên EF = AD vì trong hinh bình hạnh 2 cạnh đối sẽ bằng nhau

Vì AECF là hình bình hành

Nên AF = EC vì trong hinh bình hạnh 2 cạnh đối sẽ bằng nhau

a,Số mét khối bể thứ nhất là:

1,2.x.y=1,2xy=(m³)

Số mét khối bể thứ hai là:

1,5.5x.5y=37,5xy(m³)

Số mét khối nước cần có để bơm đầy cả hai bể bơi trên là:

1,2xy+37,5xy=38,7xy (m\(^{3}\))

b, Tính lượng nước cần dùng để bơm đầy hai bể nếu \(x = 4\) m, \(y = 3\) m là:

38,7xy.3.4=464,4(m³)