Câu 1 (2,0 điểm) - Phân tích vẻ đẹp Hải Phòng trong thơ

Đoạn thơ trên đã khắc họa một vẻ đẹp đặc trưng và sống động của thành phố Hải Phòng. Vẻ đẹp ấy không chỉ đến từ cảnh sắc mà còn từ sự "thức tỉnh" của các giác quan và cảm xúc. Thi sĩ đã mở đầu bằng sự "thức giấc lần đầu từ tiếng vọng khơi xa", gợi lên một không gian rộng lớn của biển cả, của cảng thị. Sự xuất hiện của "con tàu mới xuống đà như tiệc cưới" mang đến hình ảnh vừa hiện đại, vừa lãng mạn, tràn đầy sức sống và niềm vui. Hải Phòng hiện lên với những gam màu và âm thanh đặc trưng: "Màu sơn thắm lao xao triền nước nổi" vẽ nên bức tranh rực rỡ, sống động của những con tàu, những công trình đang vươn mình. Đặc biệt, "Sóng cồn lên mùi hăng lạ – hương dầu" đã kích thích khứu giác, gợi nhớ đến mùi vị đặc trưng của cảng biển, của dầu máy, của sự vận hành không ngừng nghỉ.

Đến khổ thơ thứ hai, Hải Phòng không chỉ là cảnh mà còn là tác nhân, là nguồn cảm hứng mãnh liệt: "Hải Phòng buộc tôi thức giấc lần đầu / Để từ đó không sao còn ngủ được". Điều này thể hiện sự choáng ngợp, cuốn hút đến độ không thể nào thờ ơ hay quên lãng. Vẻ đẹp của Hải Phòng đã in sâu vào tâm trí người thi sĩ, trở thành một nỗi ám ảnh tích cực, một tình yêu không thể dứt bỏ. "Biển mê mải mùa thu đầy ắp nước" và "Suốt đêm ngày vỗ sóng lớn không thôi" là hình ảnh của một thành phố biển không ngừng nghỉ, tràn đầy năng lượng và sức sống mãnh liệt. Vẻ đẹp của Hải Phòng trong những vần thơ này là vẻ đẹp của một thành phố cảng năng động, quyến rũ, luôn chuyển động và khơi gợi những cảm xúc sâu sắc trong lòng người.

Câu 2 (4,0 điểm) - Bài văn nghị luận: Lựa chọn nghề nghiệp trong thời đại AI

Lời cảnh báo của tỉ phú công nghệ Bill Gates vào tháng 2 năm 2025 về việc Trí tuệ nhân tạo (AI) sẽ không chỉ hỗ trợ mà còn dần thay thế con người trong nhiều lĩnh vực nghề nghiệp đã gióng lên một hồi chuông cảnh tỉnh cho thế hệ tương lai. Trong bối cảnh đó, việc lựa chọn nghề nghiệp không còn đơn thuần là theo đuổi đam mê hay chạy theo xu hướng, mà phải là một quá trình cân nhắc kỹ lưỡng, mang tính chiến lược để tồn tại và phát triển trong một thế giới đang thay đổi chóng mặt.

Trước hết, chúng ta cần nhìn nhận rõ những lĩnh vực mà AI có khả năng thay thế cao. Đó là những công việc mang tính lặp đi lặp lại, quy trình hóa, đòi hỏi ít sự sáng tạo hay tương tác cảm xúc. Các công việc trong lĩnh vực sản xuất, kế toán, nhập liệu, vận tải, và một phần của dịch vụ khách hàng có thể sẽ chịu tác động mạnh mẽ nhất. Việc cố chấp lựa chọn những ngành nghề này mà không có sự chuẩn bị, thích ứng sẽ dẫn đến nguy cơ thất nghiệp hoặc khó khăn trong việc tìm kiếm cơ hội.

Vậy đâu là hướng đi cho thế hệ trẻ trong thời đại AI? Câu trả lời nằm ở việc tập trung vào những "năng lực cốt lõi" của con người mà AI khó có thể sao chép hoặc thay thế. Thứ nhất, đó là sáng tạo và đổi mới. AI có thể xử lý dữ liệu khổng lồ để đưa ra giải pháp, nhưng khả năng tạo ra những ý tưởng hoàn toàn mới, vượt ra ngoài khuôn khổ dữ liệu có sẵn lại là đặc trưng của trí tuệ con người. Các ngành nghề liên quan đến nghệ thuật, thiết kế, nghiên cứu phát triển, hoặc khởi nghiệp sẽ luôn cần đến yếu tố này.

Thứ hai, khả năng giải quyết vấn đề phức tạp và tư duy phản biện là yếu tố then chốt. AI có thể đưa ra đáp án dựa trên thuật toán, nhưng việc phân tích tình huống đa chiều, đưa ra quyết định trong bối cảnh không chắc chắn, hay giải quyết các vấn đề xã hội, đạo đức lại đòi hỏi trí tuệ cảm xúc và kinh nghiệm sống. Các ngành nghề như luật sư, bác sĩ, nhà khoa học, nhà quản lý cấp cao sẽ tiếp tục phát triển.

Thứ ba, kỹ năng giao tiếp, tương tác xã hội và trí tuệ cảm xúc sẽ ngày càng được đề cao. Những công việc đòi hỏi sự đồng cảm, thuyết phục, dẫn dắt con người như giáo viên, chuyên gia tâm lý, nhân sự, hay các ngành dịch vụ cao cấp sẽ vẫn giữ được vị trí quan trọng. AI có thể hỗ trợ, nhưng không thể hoàn toàn thay thế sự ấm áp của giao tiếp con người.

Cuối cùng, một khía cạnh quan trọng khác là khả năng học hỏi và thích nghi liên tục. Trong thời đại AI, kiến thức và kỹ năng sẽ lỗi thời rất nhanh. Do đó, việc trang bị cho mình tư duy học tập suốt đời, sẵn sàng cập nhật công nghệ và kỹ năng mới sẽ là chìa khóa để tồn tại và phát triển. Việc học tập các kỹ năng về công nghệ thông tin, lập trình, phân tích dữ liệu, hoặc kiến thức về AI cũng sẽ là lợi thế lớn, bởi những người hiểu và có thể làm việc với AI sẽ là những người dẫn đầu.

Tóm lại, lời cảnh báo của Bill Gates không phải là để gây hoang mang mà là một lời nhắc nhở để mỗi cá nhân có sự chuẩn bị tốt hơn. Lựa chọn nghề nghiệp trong thời đại AI đòi hỏi sự thông minh, linh hoạt và khả năng tự định vị bản thân. Thay vì lo sợ bị thay thế, chúng ta hãy tận dụng AI như một công cụ hỗ trợ, đồng thời phát huy tối đa những năng lực độc đáo của con người để xây dựng một sự nghiệp vững chắc và ý nghĩa trong kỷ nguyên mới.

SAM-2 là hệ thống tên lửa phòng không đất đối không đầu tiên được Liên Xô viện trợ cho Việt Nam Dân chủ Cộng hòa vào những năm 1965 để đối phó với các cuộc không kích của Mỹ trong Chiến tranh Việt Nam.

Đặc điểm nổi bật:

• Tính năng: Được thiết kế để đánh chặn máy bay ở độ cao trung bình đến cao.
• Cấu tạo: Một hệ thống SAM-2 thường bao gồm các bệ phóng tên lửa, radar điều khiển hỏa lực (như Fan Song), xe chở đạn, và xe chỉ huy.
• Hiệu quả:
• • Lần đầu tiên được sử dụng để bắn hạ máy bay Mỹ vào tháng 7 năm 1965.
  • Đóng vai trò cực kỳ quan trọng trong việc bảo vệ không phận miền Bắc Việt Nam, đặc biệt là trong chiến dịch "Điện Biên Phủ trên không" (Linebacker II) tháng 12 năm 1972, khi nó trở thành vũ khí chủ lực đánh chặn các máy bay B-52 của Mỹ.
  • Buộc không quân Mỹ phải thay đổi chiến thuật, bay thấp hơn hoặc sử dụng các biện pháp gây nhiễu, nhưng vẫn chịu tổn thất đáng kể.

Ý nghĩa:

SAM-2 không chỉ là vũ khí mà còn là biểu tượng của sự hợp tác quân sự giữa Liên Xô và Việt Nam. Nó đã góp phần quan trọng vào chiến thắng của Việt Nam, chứng minh khả năng của lực lượng phòng không Việt Nam trong việc chống lại một trong những không quân mạnh nhất thế giới thời bấy giờ. Hệ thống này đã tạo ra một "vành đai lửa" bảo vệ bầu trời miền Bắc.

Chiến dịch Điện Biên Phủ (13/3 - 7/5/1954) là trận quyết chiến chiến lược của Quân đội Nhân dân Việt Nam nhằm tiêu diệt tập đoàn cứ điểm kiên cố của Pháp ở Điện Biên Phủ, được coi là "pháo đài bất khả xâm phạm" trong Kế hoạch Nava.

Diễn biến chính gồm 3 đợt:

• Đợt 1 (13-17/3/1954): Ta tiêu diệt các cứ điểm Him Lam, Độc Lập, Bản Kéo, phá vỡ cửa ngõ phía Bắc.
• Đợt 2 (30/3 - 26/4/1954): Ta tiến công các cứ điểm phía Đông, kiểm soát các cao điểm quan trọng, siết chặt vòng vây khu trung tâm.
• Đợt 3 (1-7/5/1954): Ta tổng công kích, tiêu diệt toàn bộ tập đoàn cứ điểm. Ngày 7/5/1954, lá cờ "Quyết chiến quyết thắng" của ta tung bay trên nóc hầm chỉ huy của địch, Chiến dịch toàn thắng.

Kết quả: Sau 56 ngày đêm chiến đấu, quân ta đã đập tan hoàn toàn tập đoàn cứ điểm Điện Biên Phủ, tiêu diệt và bắt sống toàn bộ quân địch.

Ý nghĩa: Chiến thắng Điện Biên Phủ giáng đòn quyết định, đập tan ý chí xâm lược của thực dân Pháp, trực tiếp đưa đến việc ký kết Hiệp định Giơnevơ (1954), chấm dứt hoàn toàn ách thống trị của Pháp tại Việt Nam và Đông Dương, mở ra một kỷ nguyên mới cho cách mạng Việt Nam. Đây là chiến thắng "lừng lẫy năm châu, chấn động địa cầu".

• Bổ sung chất hữu cơ: Đây là yếu tố quan trọng nhất. Chất hữu cơ có thể đến từ:
  • Phân trộn (compost): Ủ các loại rác thải hữu cơ như vỏ rau củ quả, lá cây, bã cà phê, vỏ trứng, cỏ khô... thành phân trộn.
  • Phân chuồng ủ hoai: Phân bò, phân gà, phân trùn quế đã qua xử lý.
  • Phân xanh: Vùi các loại cây họ đậu, cỏ dại vào đất để chúng phân hủy.
  • Xác bã thực vật: Rơm, rạ, vỏ lạc, bã đậu tương, xơ dừa, mùn cưa...
• Cải tạo cấu trúc đất:
  • Làm tơi xốp: Xới đất, trộn thêm các vật liệu tạo độ thông thoáng như trấu hun, xơ dừa, mùn cưa, hoặc cát (đối với đất sét nặng).
  • Bổ sung vôi: Nếu đất bị chua, bón vôi sẽ giúp nâng độ pH, khử trùng và cung cấp canxi.
• Tăng cường vi sinh vật có lợi:
  • Sử dụng phân vi sinh hoặc chế phẩm sinh học giúp cung cấp các vi sinh vật có lợi, phân hủy chất hữu cơ và cải thiện đất.
  • Giun đất cũng là "nhà nông" tự nhiên giúp đào xới, làm tơi đất và tăng độ phì nhiêu.
• Phơi đất: Phơi đất dưới ánh nắng mặt trời giúp diệt mầm bệnh và côn trùng gây hại.
• Hạn chế hóa chất: Giảm thiểu sử dụng phân bón hóa học và thuốc bảo vệ thực vật để duy trì hệ sinh thái vi sinh vật tự nhiên trong đất.

a. T(n)=2n(n−2)+4 b. T(n)=n3+5n−3

Để tính độ phức tạp tính toán, chúng ta cần tìm bậc của đa thức, tức là số mũ cao nhất của n sau khi khai triển hoặc rút gọn.

a. T(n)=2n(n−2)+4 Đầu tiên, khai triển biểu thức: T(n)=2n2−4n+4

Trong biểu thức này, số mũ cao nhất của n là 2 (n2). Vì vậy, độ phức tạp tính toán của T(n)=2n(n−2)+4 là O(n2).

b. T(n)=n3+5n−3 Trong biểu thức này, số mũ cao nhất của n là 3 (n3). Vì vậy, độ phức tạp tính toán của T(n)=n3+5n−3 là O(n3).

Tóm tắt: a. O(n2) b. O(n3)

Cấu trúc lặp có điều kiện (conditional loop) là một cấu trúc điều khiển trong lập trình cho phép lặp lại một đoạn mã nhiều lần, nhưng việc lặp lại này phụ thuộc vào một điều kiện. Vòng lặp sẽ tiếp tục cho đến khi điều kiện đó trở nên sai hoặc một điều kiện dừng khác được đáp ứng. 

• Ngăn thứ nhất có 45 cuốn sách.
• Ngăn thứ hai có 48 cuốn sách.
• Ngăn thứ ba có 60 cuốn sách.

1 + 1 = 3 -1

Giải:

a) Chứng minh các điểm A,B,O,C cùng thuộc đường tròn

• Vì AB là tiếp tuyến của (O) tại B nên OB⊥AB (tính chất tiếp tuyến). Do đó, ∠OBA=90∘.
• Vì AC là tiếp tuyến của (O) tại C nên OC⊥AC (tính chất tiếp tuyến). Do đó, ∠OCA=90∘.
• Xét tứ giác ABOC có ∠OBA=90∘ và ∠OCA=90∘.
• Hai đỉnh B và C cùng nhìn cạnh AO dưới một góc vuông.
• Vậy, bốn điểm A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO.

b) △ABM∼△IBD

• Ta có AB, AC là tiếp tuyến của (O) nên OB = OC = R và AB = AC. OA là đường trung trực của BC.
• H là giao điểm của OA và BC, suy ra OA⊥BC tại H.
• Trong △ABO vuông tại B, ta có OB2=OH⋅OA (hệ thức lượng).R2=OH⋅3R⟹OH=3R​.
• I, M là giao điểm của OA với (O) sao cho IA < AM. Điều này có nghĩa I nằm giữa O và H, và M nằm giữa H và A. Do đó, OM=OI=R. Vì OA = 3R, OM = R nên MA = OA - OM = 3R - R = 2R.OI=R⟹AI=AO−OI=3R−R=2R. (Có vẻ đề bài có chút nhầm lẫn ở điều kiện IA < AM, vì tính toán cho thấy IA = AM = 2R. Tuy nhiên, chúng ta vẫn sẽ tiếp tục chứng minh). **Giả sử I và M là hai điểm trên đoạn OA sao cho I nằm giữa O và M (hoặc O nằm giữa I và M) và cả I, M đều nằm trên đường tròn. Đề bài cho "I,M lần lượt là giao điểm của OA với (O) sao cho (IA < AM)". Vì OA = 3R và O là tâm. Khi OA cắt đường tròn, sẽ có 2 giao điểm. Một giao điểm gần A hơn (điểm M) và một giao điểm xa A hơn (điểm I). Vậy, M là điểm nằm trên OA sao cho OM = R (M gần O hơn). Khi đó AM = OA - OM = 3R - R = 2R. Và I là điểm nằm trên OA sao cho OI = R (I xa O hơn). Khi đó AI = AO + OI = 3R + R = 4R. Nếu I và M là các điểm trên đường tròn, thì khoảng cách từ O đến I và M đều là R. Giả định I, M là hai giao điểm của đường thẳng OA với đường tròn (O). Khi đó I và M nằm trên đoạn thẳng OA.OI=OM=R. Mà OA = 3R. Vậy I, M phải là hai điểm trên đoạn thẳng OA. Điểm gần O hơn sẽ là I, điểm xa O hơn sẽ là M. Hay OI=R,OM=R.AI=OA−OI=3R−R=2R.AM=OA−OM=3R−R=2R. Điều kiện IA < AM là không thoả mãn nếu I, M là hai giao điểm trên đường tròn nằm trên đoạn OA. Nếu I, M là giao điểm của đường thẳng OA với đường tròn, thì một điểm sẽ nằm giữa A và O, điểm còn lại sẽ nằm ngoài đoạn AO. Tuy nhiên, đề bài thường ý chỉ I, M là giao điểm của OA với đường tròn và nằm trên đoạn thẳng OA. Nếu vậy, I là điểm gần A hơn, M là điểm xa A hơn.OI=R, OM=R.I là điểm nằm trên đoạn AO, OI=R. AI=AO−OI=3R−R=2R.M là điểm nằm trên đoạn AO (cùng phía với I), OM=R. AM=AO−OM=3R−R=2R. Vậy IA=AM=2R.Với điều kiện IA < AM, có lẽ đề bài muốn nói I là điểm trên đường tròn (O) và M là một điểm khác trên đường tròn (O) sao cho I, M nằm trên đường thẳng OA, và IA < AM. Hoặc có thể I, M là giao điểm của OA với đường tròn nhưng một điểm gần O và một điểm gần A. Nếu I, M là hai điểm nằm trên đường tròn và nằm trên đường thẳng OA, thì I là điểm nằm giữa A và O (AI = 2R), M là điểm nằm trên tia đối của OA (AM = 4R). Khi đó IA < AM (2R < 4R). Chúng ta sẽ sử dụng giả định này. Vậy: I là điểm trên đoạn AO sao cho OI=R. AI=2R.M là điểm trên tia đối của OA sao cho OM=R. AM=AO+OM=3R+R=4R.
• ∠ABM: là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây cung BM.
• ∠IBD: là góc nội tiếp chắn cung ID.
• Ta cần chứng minh ∠AMB=∠IDB. Xét đường tròn (O). ∠BID=21​sđ cung BC.∠BAC=21​(sđ cung BC−sđ cung DC). Ta có △ABM và △IBD.∠MAB=∠DIB (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung, và góc nội tiếp cùng chắn cung BM).Xem lại các góc:∠ABM là góc giữa tiếp tuyến AB và dây cung BM. ∠ABM=∠BDM (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung đó).∠IBD. Ta cần chứng minh △ABM∼△IBD. Điều này đòi hỏi 2 cặp góc tương ứng bằng nhau. Ta có:
• • ∠BAM=∠BDI (Góc ở đỉnh A chung cho cả △ABM và góc nội tiếp ∠BDI trên đường tròn). Không đúng.
  • ∠AMB: góc nội tiếp chắn cung AB.
  • ∠BID: góc nội tiếp chắn cung BD. Để △ABM∼△IBD, cần có ∠MAB=∠DIB và ∠AMB=∠IDB.
  • Xét △ABM và △ADI. (Đây là một cách khác thường dùng trong các bài toán hình học có tiếp tuyến) ∠DAB chung. Ta có AB2=AM⋅AI. (Tính chất tiếp tuyến-cát tuyến).AB2=OB2−OA2=(3R)2−R2=9R2−R2=8R2.AB=8​R=22​R. Nếu I là giao điểm trên đoạn AO và M là giao điểm trên tia đối của OA.AI=2R, AM=4R.AI⋅AM=2R⋅4R=8R2. Vậy AB2=AI⋅AM. Từ đó suy ra AMAB​=ABAI​. Kết hợp với ∠A chung, ta có △ABM∼△AIB (c.g.c). Suy ra ∠AMB=∠ABI. Và ∠ABM=∠AIB.
  • Quay lại △ABM∼△IBD Ta có ∠ABM=∠IDB. (Góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây cung BM, bằng góc nội tiếp chắn cung BM). Sai. Góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây cung BM là ∠ABM. Góc nội tiếp chắn cung BM là ∠BDM. Vậy ∠ABM=∠BDM. Để △ABM∼△IBD thì ∠BDM=∠IBD. Điều này chỉ xảy ra khi △BDI cân tại D.
    Xét lại cách chứng minh quen thuộc: Để chứng minh △ABM∼△IBD, ta thường tìm hai góc bằng nhau.
    Sử dụng tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:
    CD là đường kính. Vậy ∠CID=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).∠CBD=90∘.
    Xét △ABM và △IBD. Góc ∠BMA là góc nội tiếp chắn cung BA. Góc ∠IDB là góc nội tiếp chắn cung IB.
    Nếu đề bài không có sự nhầm lẫn về I và M, thì có thể có một tính chất khác.
    Chứng minh △ABM∼△IBD
    Cách khác:
    Kiểm tra lại đề bài hoặc giả định: Có thể có lỗi đánh máy trong đề bài hoặc cần một giả định khác về I và M. Nếu △ABM∼△IBD:IBAB​=BDBM​=IDAM​. Và các góc: ∠MAB=∠BID, ∠AMB=∠IDB, ∠ABM=∠IBD.
    Chứng minh ∠ABM=∠IBD (cách dùng góc nội tiếp)∠ABM là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây cung BM.∠IBD là góc nội tiếp chắn cung ID. Để chúng bằng nhau, cung BM phải bằng cung ID.
    Một cách tiếp cận khác: Ta biết AB2=AI⋅AM. Ta biết AB là tiếp tuyến. Xét △ABI và △ABM.∠A chung.ABAI​=AMAB​ (Vì AB2=AI⋅AM). Vậy △AIB∼△ABM (c.g.c). Suy ra ∠ABI=∠AMB.
    Để chứng minh △ABM∼△IBD:
    Xét ∠AMB: Đây là góc nội tiếp chắn cung AB (trong đường tròn đi qua A, B, O, C). Sai. M là điểm trên đường tròn (O).∠AMB là góc nội tiếp chắn cung AB trên đường tròn (O).
    Hãy xét các góc nội tiếp trong đường tròn (O).
  • 1. ∠BAM=∠DAB.
    2. Ta cần một cặp góc nữa.∠DIB và ∠ABM.∠BDI và ∠AMB.
  • • ∠ABM: Góc giữa tiếp tuyến AB và dây BM.∠ABM=∠BCM (góc nội tiếp chắn cung BM).
    • ∠IBD: Góc nội tiếp chắn cung ID.
  • • A, B, O, C cùng thuộc một đường tròn.
    • OA là phân giác của ∠BOC.
    • ∠ABM là góc giữa tiếp tuyến và dây cung, nên ∠ABM=∠BDM.
    • Ta có ∠ABM=∠ADM. (góc giữa tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp chắn cung đó).
    • Ta cần chứng minh ∠ABN=∠IBD.
    • Lại có AB2=AI⋅AM (Chứng minh ở phần a)
    • Từ đây, △AIB∼△ABM (c.g.c) vì ABAI​=AMAB​ và ∠A chung.
    • Suy ra ∠ABI=∠AMB.
  • • Ta có ∠MAB (hoặc ∠OAB).
    • Ta có ∠DIB.
    • Lại có CD là đường kính, nên ∠CID=90∘.
    • Xét △BDI. ID là dây cung, BD là dây cung.
    • ∠AMB là góc nội tiếp chắn cung AB.
    • ∠IDB là góc nội tiếp chắn cung IB.
  • • Ta có ∠OBA=∠OCA=90∘.
    • BC cắt OA tại H.
    • AB2=AH⋅AO=AI⋅AM.
    • △ABH∼△AOB (g.g)
    • △AHI∼△AOM (g.g)
    • Ta có ∠AMB=∠AOB/2
    • ∠IDB
  • • ∠MAB (hoặc ∠DAB) là góc chung (không phải).
    • Ta cần chứng minh ∠ABM=∠IBD.
    • Ta cần chứng minh ∠AMB=∠IDB.
  • • ∠AMB=∠ACB (cùng chắn cung AB).
    • ∠IDB=∠ICB (cùng chắn cung IB).
    • Ta cần chứng minh ∠ACB=∠ICB. Điều này chỉ đúng nếu A, I, C thẳng hàng, hoặc nếu B là tâm đường tròn, hoặc nếu A, I, C cùng nằm trên đường tròn.
    • • Có thể có nhầm lẫn trong ký hiệu I và M hoặc nội dung câu hỏi.
        Nếu I và M là hai điểm trên đường tròn (O) và trên đường thẳng OA, và IA < AM là điều kiện được dùng để xác định vị trí của I và M: Vì OA = 3R, O là tâm. Các điểm trên đường tròn cách O một khoảng R. Nếu I, M là giao điểm của đường thẳng OA với đường tròn (O), thì I và M là hai điểm nằm trên đường tròn, cách O một khoảng R. Có 2 vị trí:
        Với giả định I là điểm trên đoạn AO và M là điểm trên tia đối của OA:
        Sử dụng tính chất góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung:
        Giả sử có lỗi đánh máy và đề bài là △ABH∼△OID. Không, ta cần chứng minh chính xác theo đề bài. Nếu giả định đề bài muốn nói là △ABM∼△DBA. ∠BDA=∠BMA. ∠ABD=∠MBA. Không, đây là vấn đề của đề bài hoặc tôi đang hiểu sai I, M.
        Kiểm tra lại quan hệ giữa các điểm: CD là đường kính. M là điểm trên tia đối của OA. I là điểm trên đoạn AO.
        Xem lại khả năng là △ABM∼△DBA. ∠ABM (góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây BM) ∠DBA (góc nội tiếp) Không.
        Khả năng lớn nhất là có lỗi trong đề bài ở phần b) hoặc về định nghĩa I, M. Tuy nhiên, nếu giả định I, M nằm trên đường tròn (O) và OA là đường kính, và I, M là hai điểm khác nhau trên đường tròn. Với OA=3R, OA không phải đường kính.
        Để không bị đi lạc quá xa, tôi sẽ giả định một cách đơn giản hơn về I, M: I, M là hai điểm nằm trên đường tròn (O) và nằm trên đường thẳng OA. Khi đó, OI=OM=R. Vì OA = 3R, thì I là điểm gần A hơn (nếu I nằm giữa A và O), suy ra AI=AO−OI=3R−R=2R. M là điểm nằm trên tia đối của OA (xa A hơn), suy ra AM=AO+OM=3R+R=4R. Điều kiện IA < AM (2R<4R) thỏa mãn.
        Chứng minh △ABM∼△IBD:
        Kết luận tạm thời cho phần b): Đề bài có vẻ có vấn đề với việc xác định I, M hoặc cặp tam giác cần chứng minh đồng dạng. Với cách giải phổ biến, rất khó để chứng minh △ABM∼△IBD với thông tin đã cho mà không có thêm giả định đặc biệt hoặc sửa lỗi đề bài. Nếu có thể, hãy kiểm tra lại đề bài.
        Để tiếp tục, tôi sẽ giả định rằng I, M là hai giao điểm của đoạn thẳng OA với đường tròn (O), và IA < AM là điều kiện để chọn I và M từ hai giao điểm này, ví dụ I là điểm gần O hơn (hay gần A hơn) và M là điểm xa O hơn (hay xa A hơn).
        Quay lại △ABM∼△IBD với I và M như đã xác định:
        Đây là một vấn đề nghiêm trọng với câu b). Có lẽ câu b) không liên quan đến giả định về I, M mà là một lỗi đánh máy. Hoặc I, M là điểm trên đường tròn (O) nhưng nằm ở vị trí khác. Nếu giả sử I và M là điểm trên đường tròn (O) và OA là đường kính (mà OA = 3R không phải là đường kính)
        Rất có thể △ABM∼△ABD (hoặc một cặp tam giác khác) Nếu không, ta sẽ không thể chứng minh được.
        Do tính chất phức tạp của việc xác định I và M và việc chứng minh đồng dạng, tôi sẽ bỏ qua phần b) này do khả năng cao đề bài có lỗi. Tuy nhiên, nếu phải đưa ra một lời giải, tôi sẽ cần làm rõ lại định nghĩa của I và M.
      • 1. I nằm giữa A và O. Khi đó AI=AO−OI=3R−R=2R.
        2. M nằm ngoài đoạn AO (trên tia đối của OA). Khi đó AM=AO+OM=3R+R=4R. Với cách này, ta có IA=2R và AM=4R. Điều kiện IA<AM (2R < 4R) được thỏa mãn.
      • 1. Góc ∠BMA và ∠BDA:
        2. • ∠BMA là góc nội tiếp chắn cung BA.
           • ∠BDA là góc nội tiếp chắn cung BA. Vậy ∠BMA=∠BDA. Nếu △ABM∼△IBD, thì ∠AMB=∠IDB. Điều này đúng nếu ∠BDA=∠IDB, tức D, A, I thẳng hàng. Không đúng.
      • • ∠ABM là góc giữa tiếp tuyến AB và dây cung BM. ∠ABM=∠BCM (góc nội tiếp chắn cung BM).
        • ∠IBD là góc nội tiếp chắn cung ID.
      • • ∠ABM là góc tạo bởi tiếp tuyến AB và dây cung BM. ∠ABM=∠BDM (góc nội tiếp chắn cung BM).
        • ∠IBD là góc nội tiếp chắn cung ID. Để △ABM∼△IBD, ta cần ∠ABM=∠IBD và ∠AMB=∠IDB. Nếu ∠ABM=∠IBD, thì cung BM = cung ID. Nếu ∠AMB=∠IDB, thì cung AB = cung IB. (Không đúng)
      • • Ta có AB2=AI⋅AM (tính chất tiếp tuyến và cát tuyến) AB=(3R)2−R2​=8R2​=2R2​. AI⋅AM=2R⋅4R=8R2. Vậy AB2=AI⋅AM là đúng. Từ AB2=AI⋅AM⟹AIAB​=ABAM​. Xét △AIB và △ABM: ∠A chung. ABAI​=AMAB​. Vậy △AIB∼△ABM (c.g.c). Suy ra ∠ABI=∠AMB.
        • Bây giờ cần liên hệ với △IBD. CD là đường kính ⟹∠CBD=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). △IBD vuông tại B. (Đây là một điểm quan trọng).
        • Xét △ABM và △IBD. ∠ABM=∠IBD (góc giữa tiếp tuyến AB và dây cung BM, và góc nội tiếp chắn cung ID). Chưa có căn cứ để kết luận hai góc này bằng nhau.
        • ∠AMB=∠IDB. ∠AMB=∠ACB (góc nội tiếp cùng chắn cung AB). ∠IDB=∠ICB (góc nội tiếp cùng chắn cung IB). Chưa có căn cứ để kết luận.
      • • Nếu I và M là hai điểm trên đường tròn (O) và trên đường thẳng OA, thì OI=OM=R.
        • Do đó, AI=AO−OI=3R−R=2R.
        • AM=AO−OM=3R−R=2R.
        • Khi đó IA=AM=2R, mâu thuẫn với điều kiện IA<AM.
        • Vì vậy, giả định ban đầu về I, M phải đúng: I là điểm nằm trên đoạn AO (AI=2R), M là điểm nằm trên tia đối của AO (AM=4R).
      • • ∠AMB (góc nội tiếp chắn cung AB). Sai, M không nằm trên đường tròn (O) với các điểm A, B.
        • M nằm trên tia đối của OA.

    c) OP⊥DI

    • P là giao điểm của ID với BC. E là giao điểm của ID với AB.
    • CD là đường kính.
    • Xét đường tròn (O). I là giao điểm của OA với (O). M là giao điểm của OA với (O).
    • Ta có △ODI cân tại O (OD = OI = R).
    • CD là đường kính.
    • P thuộc BC, E thuộc AB.
    • Ta sẽ sử dụng tính chất của cực và đối cực.
    • • Đường thẳng BC là đường đối cực của điểm A đối với đường tròn (O).
      • Điểm O là tâm đường tròn.
      • ID là một đường thẳng.
      • Để chứng minh OP⊥DI, ta cần chứng minh O, P, ... thẳng hàng hoặc P là trực tâm, v.v.
    • Xét tam giác ODI cân tại O.
    • Ta có OD=OI=R.
    • CD là đường kính.
    • P là giao điểm của ID và BC.
    • Ta biết rằng BC là đường đối cực của A đối với (O).
    • Gọi K là giao điểm của ID và (O) (nếu có).
    • Sử dụng định lý Pascal:
    • • Xét sáu điểm D, I, C, B, A, ... trên đường tròn (O).
    • Sử dụng tính chất cực và đối cực một cách trực tiếp:
    • • Đường thẳng BC là đường đối cực của A.
      • Điểm P nằm trên BC.
      • Suy ra P có đối cực qua (O).
    • Cách khác:
    • • Gọi F là giao điểm của AD và BC.
      • CD là đường kính, nên ∠CID=90∘.
      • △IDO cân tại O (OI=OD=R).
      • Kẻ đường thẳng qua O vuông góc với ID.
      • Ta cần chứng minh đường thẳng đó đi qua P.
      • Hoặc chứng minh P là trực tâm của một tam giác nào đó.
    • Sử dụng định lý Menelaus hoặc Ceva:
    • • Trong △ABC và đường thẳng IDP.
      • Trong △BCD và đường thẳng IDP.
    • Xét △ODP và DI.
    • • Vì I và D nằm trên (O), OI=OD=R.
      • P là giao điểm của ID và BC.
      • A,B,O,C cùng thuộc một đường tròn đường kính AO.
      • H là giao điểm của OA và BC. Ta có OH⋅OA=R2.
    • Tính chất đường đối cực:
    • • Vì BC là đường đối cực của A. P nằm trên BC.
      • Đường đối cực của P đi qua A.
      • Để OP⊥DI, ta cần chứng minh P là trực tâm của △DOI, hoặc O là trực tâm của △DPI, hoặc △OPI vuông tại P.
    • Sử dụng phương pháp tọa độ (nếu cho phép) hoặc hình học giải tích.
    • • Đặt O là gốc tọa độ (0,0).
      • A = (3R, 0).
      • B = (x_B, y_B). C = (x_C, y_C). xB2​+yB2​=R2.
      • Phương trình đường tròn (O) là x2+y2=R2.
      • Tiếp tuyến AB vuông góc OB.
      • Phương trình ID.
      • Phương trình BC.
    • Một cách phổ biến cho dạng toán này là sử dụng tính chất phân giác hoặc trực tâm.
    • • CD là đường kính. ∠CID=90∘.
      • ∠CBD=90∘.
      • Góc ∠DAB=∠DOC/2.
    • Nếu P là trung điểm của DI, thì OP vuông góc DI.
    • • P là trung điểm của DI khi P là hình chiếu của O trên DI.
      • Tuy nhiên, P là giao điểm của ID và BC.
      • Vậy, để OP⊥DI, điều này có nghĩa là P là hình chiếu của O lên ID.
    • Dùng định lý Brocard hoặc các định lý về đường tròn Euler.
    • • Đây là một bài toán hình học phẳng khá phức tạp.
      • Xét △ODP.
      • ∠ODI=∠OID (tam giác cân).
    • Khả năng sử dụng tính chất đồng dạng:
    • • Nếu ta chứng minh được △OHP∼△OID.
      • Hoặc △ODP∼△OID.
    • Xét điểm D, I trên đường tròn (O).
    • • OI = OD = R. △OID là tam giác cân tại O.
      • P là giao điểm của ID và BC.
      • Ta có ∠OID=∠ODI.
      • Để OP⊥ID, cần chứng minh OP là đường cao của △OID từ O. Điều này chỉ xảy ra nếu P là trung điểm của ID.
      • Nhưng P là giao điểm của ID với BC.
      • Nếu P là trung điểm của ID, thì P là trung điểm của dây cung ID. Điều này có nghĩa BC là đường trung trực của ID.
    • Sử dụng phép biến hình (phép nghịch đảo).
    • • Phép nghịch đảo tâm O, phương tích R2.
      • Điểm A biến thành H.
      • Đường thẳng BC là đường đối cực của A, nên BC biến thành đường tròn đi qua O và A (không đúng).
    • Kiểm tra lại một lần nữa các quan hệ:
    • • BC là đường đối cực của A.
      • P thuộc BC.
      • DI là một đường thẳng.
      • Ta cần chứng minh OP⊥DI.
      • Điều này tương đương với việc chứng minh ∠OPI=90∘ hoặc ∠OPD=90∘.
      • Hoặc P là hình chiếu của O lên DI.
    • Xét tứ giác OIDP.
    • • Nếu O, I, D, P cùng thuộc một đường tròn, thì ∠OPI+∠ODI=180∘.
      • Hoặc ∠OPI=∠ODI (nếu cùng chắn cung OI).
    • Sử dụng định lý Ceva hoặc Menelaus cho các điểm và đường thẳng.
    • • Xét tam giác ADI và đường thẳng B-P-C.
      • Xét tam giác BCD và đường thẳng A-H-O.
    • Một cách để chứng minh OP⊥DI là chứng minh P là hình chiếu của O trên DI.
    • • Hoặc chứng minh tích vô hướng OP⋅DI=0.
    • Xét trường hợp đặc biệt:
    • • Nếu O, P, I thẳng hàng, thì OP là đường kính.
    • Thực tế bài toán này thường xuất hiện trong các đề thi cấp độ cao hơn.
    • • Áp dụng định lí hàng điểm điều hòa và chùm điều hòa:
      • • Tứ giác BCID là một tứ giác nội tiếp.
        • BC∩ID=P.
        • AB∩ID=E.
        • Giao điểm của AC và ID.
    • Dùng phương pháp véctơ:
    • • Chọn O làm gốc tọa độ. OA⋅OH=R2.
      • OP⋅DI=0.
    • Có một tính chất quen thuộc là: Nếu một đường thẳng đi qua tâm O và vuông góc với một dây cung tại trung điểm của nó, thì đó là đường trung trực của dây cung.
    • • Đây không phải là trường hợp P là trung điểm của DI.
    • Khả năng lớn là dùng định lý Brocard:
    • • Trong tứ giác nội tiếp BCID, nếu H là trực tâm, thì ...
    • Để chứng minh OP⊥DI:
    • • Ta đã có OA⊥BC tại H.
      • P là giao điểm của ID và BC.
      • Xét △OPH và △OID.
    • Đây là một bài toán khá khó, có thể cần đến một số định lý nâng cao hoặc sự tinh tế trong việc nhìn nhận các góc.
    • • Xét góc:
      • • ∠OID=∠ODI (do △OID cân tại O).
        • CD là đường kính, suy ra ∠CBD=90∘.
        • ∠IDC=90∘ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
      • Thử áp dụng định lý về đường tròn 9 điểm hoặc tính chất của đường đối song.
      • Nếu P là trung điểm của DI: Thì OP⊥DI. Nhưng P là giao điểm của ID và BC.
    • Một hướng khác là sử dụng định lý Euler (nếu P, O, I, D có quan hệ gì đó)
    • • Quan hệ giữa OP và DI thường liên quan đến một phép đối xứng hoặc trực tâm.
    • Cách giải quyết thường gặp cho dạng bài này là:
    • 1. Chứng minh một tứ giác nội tiếp.
      2. Sử dụng tính chất đường đối cực.
      3. Sử dụng các định lý hình học quen thuộc.
    • Để chứng minh OP⊥DI:
    • • Ta có BC là đường đối cực của A.
      • Điểm P nằm trên BC.
      • Xét tam giác OID. Ta muốn chứng minh OP là đường cao của tam giác OID từ O.
      • Điều này có nghĩa P là hình chiếu của O trên ID.
    • Kiểm tra xem O, P, H, D có cùng nằm trên một đường tròn không?
    • • Nếu O, P, H, D cùng nằm trên một đường tròn, thì ∠OPH=∠ODH.
    • Một tính chất nổi bật là: Nếu một điểm P nằm trên đường đối cực của A (là BC), thì đường đối cực của P đi qua A.
    • • Tuy nhiên, điều này không trực tiếp giúp chứng minh OP⊥DI.
    • Thử một định lý quen thuộc: Đường nối tâm đến giao điểm hai tiếp tuyến vuông góc với dây cung nối hai tiếp điểm.
    • • OA⊥BC. (Đã chứng minh).
    • Khả năng cao là liên quan đến trực tâm hoặc chân đường cao.
    • • Trong △OID, kẻ đường cao từ O xuống DI. Giả sử chân đường cao là K. Ta cần chứng minh P trùng với K.
    • Nếu ID là dây cung của đường tròn (O), thì OK⊥ID (K là trung điểm ID).
    • • Nhưng P không phải là trung điểm của ID.
    • Sử dụng tính chất của phép nghịch đảo:
    • • Giao điểm của đường tròn tâm O với đường thẳng OA là I, M.
      • Đường tròn (O) là đường đối xứng của nó qua O.
    • Có thể có một lỗi trong đề bài hoặc câu hỏi này yêu cầu một kiến thức sâu hơn về hình học phẳng. Nếu đề bài đúng, đây là một bài toán khó. Tuy nhiên, trong một số trường hợp, nếu ID là dây cung và P là giao điểm của ID với đường đối cực của một điểm khác, thì OP vuông góc với một đường nào đó.
    • Consider the case where O is the origin. Let A = (3R, 0). Let D be (R cos alpha, R sin alpha). C be (-R cos alpha, -R sin alpha). Let I be (R, 0) or (-R, 0). Based on IA < AM, I is (R, 0) and M is (-R, 0). So I = (R, 0). D = (R cos theta, R sin theta). Vector DI=(R−Rcosθ,−Rsinθ). Line BC has equation related to A. BC is perpendicular to OA. So BC is a vertical line x=R2/(3R)=R/3. So P=(R/3,yP​). Vector OP=(R/3,yP​). We need OP⋅DI=0. R/3(R−Rcosθ)+yP​(−Rsinθ)=0. R2/3(1−cosθ)−yP​Rsinθ=0. This requires finding yP​. P is intersection of ID and BC. Line ID passes through (R,0) and (Rcosθ,Rsinθ). Slope of ID is Rcosθ−RRsinθ−0​=cosθ−1sinθ​. Equation of ID: y−0=cosθ−1sinθ​(x−R). Since P has x=R/3, yP​=cosθ−1sinθ​(R/3−R)=cosθ−1sinθ​(−2R/3)=3(cosθ−1)−2Rsinθ​. Substitute yP​ into the dot product equation: R2/3(1−cosθ)−(3(cosθ−1)−2Rsinθ​)Rsinθ=0. R2/3(1−cosθ)+3(cosθ−1)2R2sin2θ​=0. Multiply by 3/R2: (1−cosθ)+cosθ−12sin2θ​=0. sin2θ=1−cos2θ=(1−cosθ)(1+cosθ). (1−cosθ)+−(cosθ−1)2(1−cosθ)(1+cosθ)​=0. (1−cosθ)−2(1+cosθ)=0. (Assuming 1−cosθ=0) 1−cosθ−2−2cosθ=0. −1−3cosθ=0. cosθ=−1/3.
      This means OP⊥DI chỉ khi cosθ=−1/3. Điều này cho thấy câu c) không đúng với mọi trường hợp, trừ khi có một điều kiện ẩn nào đó khiến cosθ=−1/3. Với bài toán hình học tổng quát, không có điều kiện nào để cosθ=−1/3 một cách tự nhiên.

    Kết luận cho phần c): Có vẻ như câu c) cũng có vấn đề về tính chất tổng quát hoặc yêu cầu một điều kiện đặc biệt không được nêu. Nếu đây là một bài tập chứng minh, thì nó phải luôn đúng. Việc tính toán ra một điều kiện cụ thể cho thấy nó không đúng tổng quát.

    Tóm lại:

    • Phần a) là đúng và dễ chứng minh.
    • Phần b) có vấn đề nghiêm trọng về định nghĩa I, M và/hoặc cặp tam giác đồng dạng. Rất khó để chứng minh với đề bài hiện tại.
    • Phần c) cũng có vẻ không đúng một cách tổng quát, dựa trên tính toán tọa độ. Nó chỉ đúng với một giá trị cụ thể của góc θ (vị trí của D).

    Khuyến nghị: Nên kiểm tra lại đề bài, đặc biệt là phần b) và c) vì có thể có lỗi đánh máy hoặc thiếu thông tin quan trọng.

Chưa nhưng sắp rồi