I. Choose the word whose underlined part is pronounced differently from the others.
(All target sounds are the “long i” or similar spellings; identify which one does not have the /aɪ/ sound.)

1. A. flight /ˈflaɪt/
   B. tricycle /ˈtraɪ.sɪ.kəl/
   C. sign /saɪn/
   D. vehicle /ˈviː.ə.kəl/
   – D. vehicle (the underlined letters in “vehicle” are pronounced /iə/ or /i/, not /aɪ/).
2. A. date /deɪt/
   B. safety /ˈseɪf.ti/
   C. traffic /ˈtræf.ɪk/
   D. station /ˈsteɪ.ʃən/
   – C. traffic (A, B, D have /eɪ/; “traffic” has /æ/.)
3. A. system /ˈsɪs.təm/
   B. cyclist /ˈsaɪ.klɪst/
   C. crying /ˈkraɪ.ɪŋ/
   D. style /staɪl/
   – A. system (B, C, D have /aɪ/; “system” has /ɪ/.)
4. A. survey /sərˈveɪ/
   B. honey /ˈhʌn.i/
   C. obey /oʊˈbeɪ/
   D. grey /ɡreɪ/
   – B. honey (A, C, D have /eɪ/; “honey” has /ʌ/.)
5. A. weight /weɪt/
   B. sleigh /sleɪ/
   C. eighty /ˈeɪ.ti/
   D. height /haɪt/
   – D. height (A, B, C have /eɪ/; “height” has /aɪ/.)

II. Choose the word whose main stressed syllable has a different stress pattern.
(Identify which word is stressed on a different syllable than the others.)

1. A. driver /ˈdraɪ.vər/ (1st syllable stressed)
   B. distance /ˈdɪs.təns/ (1st syllable stressed)
   C. traffic /ˈtræf.ɪk/ (1st syllable stressed)
   D. repeat /rɪˈpiːt/ (2nd syllable stressed)
   – D. repeat (all others are stressed on the 1st syllable; “repeat” is stressed on the 2nd).
2. A. believe /bɪˈliːv/ (2nd syllable stressed)
   B. pretty /ˈprɪt.i/ (1st syllable stressed)
   C. decide /dɪˈsaɪd/ (2nd syllable stressed)
   D. complete /kəmˈpliːt/ (2nd syllable stressed)
   – B. pretty (the others have stress on the 2nd syllable; “pretty” is stressed on the 1st).
3. A. energy /ˈen.ər.dʒi/ (1st syllable stressed)
   B. plentiful /ˈplen.tɪ.fəl/ (1st syllable stressed)
   C. another /əˈnʌð.ər/ (2nd syllable stressed)
   D. dangerous /ˈdeɪn.dʒər.əs/ (1st syllable stressed)
   – C. another (the others are stressed on the 1st syllable; “another” is stressed on the 2nd).
4. A. expensive /ɪkˈspen.sɪv/ (2nd syllable stressed)
   B. advantage /ədˈvæn.tɪdʒ/ (2nd syllable stressed)
   C. enormous /ɪˈnɔːr.məs/ (2nd syllable stressed)
   D. distances /ˈdɪs.təns.ɪz/ (1st syllable stressed)
   – D. distances (A, B, C are stressed on the 2nd syllable; “distances” is stressed on the 1st).
5. A. obey /oʊˈbeɪ/ (2nd syllable stressed)
   B. listen /ˈlɪs.ən/ (1st syllable stressed)
   C. travel /ˈtræv.əl/ (1st syllable stressed)
   D. borrow /ˈbɔːr.oʊ/ (1st syllable stressed)
   – A. obey (the others are stressed on the 1st syllable; “obey” is stressed on the 2nd).

Đáp án tóm tắt
I. 1 D 2 C 3 A 4 B 5 D
II. 1 D 2 B 3 C 4 D 5 A

1. Rừng nhiệt đới ẩm (đạng Nam Bộ)
2. • Thực vật:
   • • Cây cổ thụ như cà te, dầu rái, gõ đỏ.
     • Cây tầm gửi, chi lan, phong lan mọc bám trên thân cây.
   • Động vật:
   • • Các loài thú: hổ, voi, khỉ, gấu chó, mèo cá.
     • Chim: gõ kiến, trích trời, gà gô.
     • Lưỡng cư – bò sát: ếch cây, rùa rừng, rắn lục cổ đỏ.
   • Sinh vật dưới tán rừng: dương xỉ, rêu, các loài nấm, địa y…
3. Đồng bằng (Đồng bằng sông Hồng, ĐBSCL)
4. • Thực vật:
   • • Phân bố cây lúa, lúa nước; cây ăn trái (xoài, vú sữa, bưởi).
     • Cây đước, mắm, vẹt ở rừng ngập mặn ven sông.
   • Động vật:
   • • Gạo nước ngọt: cá chép, cá rô, cá tra, cá trê.
     • Thủy sản vùng ngập mặn: tôm sú, cua đồng.
     • Chim di cư: cò, vạc, le le.
   • Dưới nước: vi sinh vật phù du, tôm, tép, nhiều loài giáp xác.
5. Vùng núi cao (hoặc cao nguyên Bắc Trung Bộ, Tây Bắc)
6. • Thực vật:
   • • Rừng nhiệt đới gió mùa thấp (dưới 800 m), rừng lá rộng nam Á-Âu;
     • Rừng hỗn hợp lá kim-lá rộng (trên 1 000 m); rừng thưa cây gỗ nhỏ ở đỉnh non.
   • Động vật:
   • • Thú rừng: gấu ngựa, voọc mũi hếch, báo gấm, hươu sao, nai.
     • Chim đặc hữu: chích choè than, cu đen, gõ kiến bách xanh.
     • Lưỡng cư: ếch cây Pháp Vân, dái cá vuốt mọc.
   • Dự trữ gen: nhiều cây thuốc quý (sâm, quế, đương quy).
7. Đồng cỏ (cao nguyên Kon Tum, Lâm Đồng)
8. • Thực vật:
   • • Cỏ lác, cỏ voi, các loài cỏ bản địa.
     • Dương xỉ chân ngỗng, thân chuối rừng rải rác.
   • Động vật:
   • • Hươu sao, nai vàng, chồn hương.
     • Chim: cu gáy, gà lôi lam, bói cá rừng.
     • Côn trùng phong phú: bướm, bọ cánh cứng, châu chấu.
9. Ven biển – rừng ngập mặn (Cà Mau, Bạc Liêu)
10. • Thực vật:
    • • Cây đước, cây mắm, vẹt, bần, sú vẹt ở rừng ngập mặn.
    • Động vật:
    • • Thủy hải sản: sò huyết, nghêu, hến, cá biển cỡ nhỏ.
      • Chim di cư: vạc, cò tuyết, le le.
      • Cá biển ven bờ: cá kình, cá sặc, cá lù đù.

Tóm lại, “đa dạng sinh học” tức là mỗi vùng (rừng nhiệt đới, đồng bằng, núi cao, đồng cỏ, ven biển…) đều có tập hợp loài thực vật và động vật đặc trưng, phù hợp với khí hậu, địa hình và nguồn nước của chính vùng đó.

Ta quan sát tổng

\(A \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \sum_{k = 1}^{50} \frac{\textrm{ } 2 k - 1 \textrm{ }}{3^{\textrm{ } 2 k \textrm{ }}} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; 2 k - 1 = 1 , 3 , 5 , \ldots , 99 \&\text{nbsp};\text{khi}\&\text{nbsp}; k = 1 , 2 , \ldots , 50 \left.\right) .\)

1. Viết lại dạng tổng
   \(A = \sum_{k = 1}^{50} \left(\right. 2 k - 1 \left.\right) \textrm{ } \left(\right. \frac{1}{3^{2 k}} \left.\right) = \sum_{k = 1}^{50} \left(\right. 2 k - 1 \left.\right) \textrm{ } \left(\right. \frac{1}{9^{\textrm{ } k}} \left.\right) .\)
2. So sánh với một tổng nghiệm đóng
   Gợi ý: ta muốn so sánh \(\left(\right. 2 k - 1 \left.\right) / 9^{k}\) với một dạng cấp số hình học để dễ hội. Chúng ta có thể tách từng hạng:
   \(\frac{2 k - 1}{9^{k}} = \frac{2 k}{9^{k}} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{9^{k}} .\)
   Vậy
   \(A = \sum_{k = 1}^{50} \left(\right. \frac{2 k}{9^{k}} - \frac{1}{9^{k}} \left.\right) = \underset{S_{1}}{\underbrace{\sum_{k = 1}^{50} \frac{2 k}{9^{k}}}} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \underset{S_{2}}{\underbrace{\sum_{k = 1}^{50} \frac{1}{9^{k}}}} .\)
3. Tính (hoặc ước lượng) \(S_{2}\)
   \(S_{2} = \sum_{k = 1}^{50} \frac{1}{9^{k}} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{9^{k}} = \frac{1 / 9}{1 - 1 / 9} = \frac{1}{8} = 0.125.\)
4. Tính (hoặc ước lượng) \(S_{1} = \sum_{k = 1}^{50} \frac{2 k}{9^{k}}\)
   Lưu ý, tổng vô hạn \(\sum_{k = 1}^{\infty} k x^{k}\) có công thức đóng là \(\frac{x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}}\) khi \(\mid x \mid < 1.\)
   Ở đây, ta có
   \(\sum_{k = 1}^{\infty} k \left(\right. \frac{1}{9} \left.\right)^{k} = \frac{\frac{1}{9}}{\left(\right. 1 - \frac{1}{9} \left.\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{9}}{\left(\right. \frac{8}{9} \left.\right)^{2}} = \frac{1 / 9}{64 / 81} = \frac{81}{576} = \frac{9}{64} .\)
   Do đó
   \(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k}{9^{k}} = 2 \times \frac{9}{64} = \frac{18}{64} = \frac{9}{32} .\)
   Và vì các hạng \(\frac{2 k}{9^{k}}\) dương nên
   \(S_{1} = \sum_{k = 1}^{50} \frac{2 k}{9^{k}} < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k}{9^{k}} = \frac{9}{32} .\)
5. Kết hợp lại ước lượng
   \(A = S_{1} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } S_{2} < \frac{9}{32} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{8} .\)
   Ta có \(\frac{1}{8} = \frac{4}{32}\). Vậy
   \(\frac{9}{32} - \frac{4}{32} = \frac{5}{32} .\)
   → Kết luận:
   \(\boxed{A < \frac{5}{32}} .\)

• Đây không phải là một câu hỏi về nội dung môn Hóa. Em chỉ cần liên hệ với cô giáo qua tin nhắn hoặc email, thông báo lí do không nộp bài để cô biết và hướng dẫn em cách nộp bổ sung.

Giải thích ngắn gọn:

• Sắt và thép (chủ yếu là hợp kim sắt) đều bị nam châm hút, còn nhôm thì không từ.
• Cách làm: Dùng một thanh nam châm di qua hỗn hợp.
• • Những vật bằng sắt hoặc thép sẽ bị hút bám vào nam châm;
  • Còn nhôm thì không bị hút, sẽ nằm lại.
    → Như vậy, chỉ với một thanh nam châm, ta có thể tách riêng các chi tiết nhôm (không từ) ra khỏi sắt và thép.

Em có thể nêu ví dụ sự đa dạng sinh học ở các vùng khác nhau như sau:

1. Rừng nhiệt đới ẩm (đạng Nam Bộ)
2. • Thực vật:
   • • Cây cổ thụ như cà te, dầu rái, gõ đỏ.
     • Cây tầm gửi, chi lan, phong lan mọc bám trên thân cây.
   • Động vật:
   • • Các loài thú: hổ, voi, khỉ, gấu chó, mèo cá.
     • Chim: gõ kiến, trích trời, gà gô.
     • Lưỡng cư – bò sát: ếch cây, rùa rừng, rắn lục cổ đỏ.
   • Sinh vật dưới tán rừng: dương xỉ, rêu, các loài nấm, địa y…
3. Đồng bằng (Đồng bằng sông Hồng, ĐBSCL)
4. • Thực vật:
   • • Phân bố cây lúa, lúa nước; cây ăn trái (xoài, vú sữa, bưởi).
     • Cây đước, mắm, vẹt ở rừng ngập mặn ven sông.
   • Động vật:
   • • Gạo nước ngọt: cá chép, cá rô, cá tra, cá trê.
     • Thủy sản vùng ngập mặn: tôm sú, cua đồng.
     • Chim di cư: cò, vạc, le le.
   • Dưới nước: vi sinh vật phù du, tôm, tép, nhiều loài giáp xác.
5. Vùng núi cao (hoặc cao nguyên Bắc Trung Bộ, Tây Bắc)
6. • Thực vật:
   • • Rừng nhiệt đới gió mùa thấp (dưới 800 m), rừng lá rộng nam Á-Âu;
     • Rừng hỗn hợp lá kim-lá rộng (trên 1 000 m); rừng thưa cây gỗ nhỏ ở đỉnh non.
   • Động vật:
   • • Thú rừng: gấu ngựa, voọc mũi hếch, báo gấm, hươu sao, nai.
     • Chim đặc hữu: chích choè than, cu đen, gõ kiến bách xanh.
     • Lưỡng cư: ếch cây Pháp Vân, dái cá vuốt mọc.
   • Dự trữ gen: nhiều cây thuốc quý (sâm, quế, đương quy).
7. Đồng cỏ (cao nguyên Kon Tum, Lâm Đồng)
8. • Thực vật:
   • • Cỏ lác, cỏ voi, các loài cỏ bản địa.
     • Dương xỉ chân ngỗng, thân chuối rừng rải rác.
   • Động vật:
   • • Hươu sao, nai vàng, chồn hương.
     • Chim: cu gáy, gà lôi lam, bói cá rừng.
     • Côn trùng phong phú: bướm, bọ cánh cứng, châu chấu.
9. Ven biển – rừng ngập mặn (Cà Mau, Bạc Liêu)
10. • Thực vật:
    • • Cây đước, cây mắm, vẹt, bần, sú vẹt ở rừng ngập mặn.
    • Động vật:
    • • Thủy hải sản: sò huyết, nghêu, hến, cá biển cỡ nhỏ.
      • Chim di cư: vạc, cò tuyết, le le.
      • Cá biển ven bờ: cá kình, cá sặc, cá lù đù.

Tóm lại, “đa dạng sinh học” tức là mỗi vùng (rừng nhiệt đới, đồng bằng, núi cao, đồng cỏ, ven biển…) đều có tập hợp loài thực vật và động vật đặc trưng, phù hợp với khí hậu, địa hình và nguồn nước của chính vùng đó.

Để tìm trung bình cộng của tất cả các số có bốn chữ số khác nhau được lập từ các chữ số 3, 5, 7, 9, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm số lượng các số thỏa mãn

Vì 4 chữ số 3, 5, 7, 9 đều khác nhau và ta dùng tất cả, nên:

• Số lượng số có thể lập:
  \(4 ! = 24\) số

Bước 2: Tính tổng của tất cả các số

Một mẹo toán quan trọng:
Mỗi chữ số (3, 5, 7, 9) sẽ xuất hiện đều nhau ở mỗi hàng (nghìn, trăm, chục, đơn vị) trong các số được lập.

• Vì có 24 số và 4 chữ số, mỗi chữ số xuất hiện:
  \(\frac{24}{4} = 6 \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};ở\&\text{nbsp};\text{m} \overset{\sim}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{ng}\)

Tổng giá trị đóng góp của mỗi chữ số:

• Hàng nghìn:
  \(\left(\right. 3 + 5 + 7 + 9 \left.\right) \times 6 \times 1000\)
• Hàng trăm:
  \(\left(\right. 3 + 5 + 7 + 9 \left.\right) \times 6 \times 100\)
• Hàng chục:
  \(\left(\right. 3 + 5 + 7 + 9 \left.\right) \times 6 \times 10\)
• Hàng đơn vị:
  \(\left(\right. 3 + 5 + 7 + 9 \left.\right) \times 6 \times 1\)

Tổng:

\(\left(\right. 3 + 5 + 7 + 9 \left.\right) = 24\)

Vậy tổng giá trị các số:

\(24 \times 6 \times \left(\right. 1000 + 100 + 10 + 1 \left.\right) = 24 \times 6 \times 1111 = 144 \times 1111\)

Tính:

\(144 \times 1111 = 144 \times \left(\right. 1000 + 100 + 10 + 1 \left.\right) = 144000 + 14400 + 1440 + 144 = 159984\)

Bước 3: Trung bình cộng

\(\frac{159984}{24} = 6666\)

Đáp án: Trung bình cộng là 6666.

Mẫu đoạn văn (English):

My dear grandparents,
My name is Quang Hùng, and I am a student in the fourth grade. Ever since I was small, I have dreamed of becoming a pianist like my idol “Quang Hùng Master D.” He composes beautiful music that touches everyone’s heart. Every day, I practice playing the piano for at least one hour after finishing my homework. Although it is sometimes difficult and I make mistakes, I feel very happy whenever I learn a new song. I believe that if I keep working hard, I can become a great musician like him. Therefore, I kindly ask you to allow me to attend piano lessons and buy me a piano so that I can follow my dream. Thank you for always loving and supporting me.
Sincerely,
Hùng

Hướng dẫn cách viết (các em chú ý)

1. Mở đầu (Greeting):
2. • “My dear grandparents,” (Ông bà thân mến,)
   • Hoặc “Dear Grandma and Grandpa,” / “Dear Grandparents,”…
3. Giới thiệu ngắn gọn (Self‐introduction):
4. • “My name is Quang Hùng. I am in fourth grade.”
   • Cho ông bà biết bạn là ai, lớp mấy.
5. Nội dung chính (Reason & Dream):
6. • Viết “I have a dream of becoming…” (Tôi có ước mơ trở thành…)
   • Giải thích tại sao bạn ngưỡng mộ “Quang Hùng Master D”:

     “He is my favorite musician because…” hoặc “He writes wonderful music that makes people feel happy.”

   • Kể một vài hoạt động bạn đang làm để đến gần ước mơ:

     “Every day, after school, I practice piano for one hour.”
     “Even though it is hard sometimes, I never give up.”

7. Lời đề nghị/Thuyết phục (Request):
8. • “I kindly ask you to allow me to attend piano lessons.”
   • “Please support me by helping me buy a small piano.”
9. Kết thúc (Closing):
10. • “Thank you for your understanding and support.”
    • Ký tên: “Sincerely, Hùng.”

Lưu ý không sao chép y nguyên từ Internet

• Các em nên dùng từ vựng, câu văn ngắn gọn, dễ hiểu.
• Tránh copy → nếu thầy cô kiểm tra tiếng Anh thì có thể nhận ra.
• Hãy để tâm viết bằng chính tiếng Anh của mình, tham khảo mẫu để biết cấu trúc, nhưng đổi cách diễn đạt, thay đổi từ vựng, bổ sung chi tiết riêng.

3.1. Xác định tọa độ điểm \(S\) và các điểm đã cho

1. Vì \(\left(\right. S A B \left.\right)\) vuông góc với \(\left(\right. A B C D \left.\right)\), mặt phẳng đáy có pháp tuyến \(\mathbf{k} = \left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\). Do \(\left(\right. S A B \left.\right)\) chứa đoạn \(A B\) nằm ngang, để \(\left(\right. S A B \left.\right) \bot \left(\right. A B C D \left.\right)\), pháp tuyến \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B}\) phải nằm trong mặt phẳng \(z = 0\) (tức vectơ pháp tuyến có thành phần \(z = 0\)).
2. Tam giác \(S A B\) đều cạnh \(a\). Đoạn \(A B\) chạy từ \(A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\) đến \(B \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right)\). Muốn \(\left(\right. S A B \left.\right) \bot \left(\right. A B C D \left.\right)\), ta buộc \(\mathbf{n}_{\textrm{ }\textrm{ } S A B} \bot \mathbf{k}\). Đồng thời \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} \bot A B\).
3. • Vì \(A B\) hướng theo trục \(x\), vectơ \(\overset{\rightarrow}{A B} = \left(\right. a , 0 , 0 \left.\right)\).
   • Để pháp tuyến \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B}\) vừa vuông góc với \(\left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\) (trục \(z\)) và vừa vuông góc với \(\overset{\rightarrow}{A B}\), thì \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B}\) phải song song trục \(y\). Lấy ví dụ đơn giản:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} = \left(\right. 0 , \textrm{ } 1 , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)
   • Như vậy, plane \(\left(\right. S A B \left.\right)\) có phương trình “\(y = 0\)” (vì chứa \(A B\) ở \(y = 0\), và pháp tuyến là hướng \(O y\)).
4. Điểm \(S\) phải nằm trong plane \(y = 0\), và đồng thời sao cho \(S A = S B = a\). Vậy ta giải:
   \(S = \left(\right. x , \textrm{ } y , \textrm{ } z \left.\right) , y = 0 , S A^{2} = x^{2} + 0^{2} + z^{2} = a^{2} , S B^{2} = \left(\right. x - a \left.\right)^{2} + 0^{2} + z^{2} = a^{2} .\)
   Từ \(S A^{2} = S B^{2}\) ta có
   \(x^{2} + z^{2} = \left(\right. x - a \left.\right)^{2} + z^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x^{2} = x^{2} - 2 a x + a^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } - 2 a x + a^{2} = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } x = \frac{a}{2} .\)
   Thay vào \(x^{2} + z^{2} = a^{2}\):
   \(\left(\right. \frac{a}{2} \left.\right)^{2} + z^{2} = a^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } z^{2} = a^{2} - \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 a^{2}}{4} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } z = \pm \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} .\)
   Thông thường ta chọn \(z > 0\). Vậy
   \(\boxed{S = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ }\textrm{ } 0 , \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) .}\)
5. Các điểm đã cho:
6. • \(A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right)\).
   • \(B = \left(\right. a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right)\).
   • \(C = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \left.\right)\).
   • \(D = \left(\right. 0 , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \left.\right)\).
   • \(I\) là trung điểm \(A B\) ⇒
     \(I = \left(\right. \frac{0 + a}{2} , \textrm{ } \frac{0 + 0}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)
   • \(E\) là trung điểm \(B C\) ⇒
     \(E = \left(\right. \frac{a + a}{2} , \textrm{ } \frac{0 + a}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. a , \textrm{ } \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)

3.2. (a) Chứng minh: \(\left(\right. S I C \left.\right) \bot \left(\right. S E D \left.\right)\)

• Ý nghĩa: Ta cần chứng minh hai mặt phẳng \(\alpha = \left(\right. S I C \left.\right)\) và \(\beta = \left(\right. S E D \left.\right)\) vuông góc. Điều này tương đương với việc pháp tuyến của \(\alpha\) vuông góc với pháp tuyến của \(\beta\).

1. Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\alpha = \left(\right. S I C \left.\right)\):
2. • Chọn hai vectơ trong plane \(\left(\right. S I C \left.\right)\):
     \(\overset{\rightarrow}{S I} = I - S = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) - \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } - \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) .\) \(\overset{\rightarrow}{S C} = C - S = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \textrm{ } \left.\right) - \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } a , \textrm{ }\textrm{ } - \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) .\)
   • Pháp tuyến:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} = \overset{\rightarrow}{S I} \times \overset{\rightarrow}{S C} .\)
     Tính nhanh bằng định thức:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 0 & - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \\ \frac{a}{2} & a & - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \mid = \left(\right. \textrm{ } 0 \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) - \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot a \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 0 \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) - \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot \frac{a}{2} \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 0 \cdot a - 0 \cdot \frac{a}{2} \left.\right) \mathbf{k} .\)
     Suy ra
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} = \left(\right. \textrm{ } \underset{\frac{\sqrt{3} \textrm{ } a^{2}}{2}}{\underbrace{\textrm{ } a \cdot \frac{\sqrt{3} a}{2} \textrm{ }}} \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } \underset{\textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a^{2}}{4}}{\underbrace{\textrm{ } \frac{a}{2} \cdot \frac{\sqrt{3} a}{2} \textrm{ }}} \textrm{ } , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a^{2}}{2} , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a^{2}}{4} , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) .\)
     (Bỏ qua hệ số \(a^{2}\), vì chỉ cần tỉ lệ để kiểm tra vuông góc.)
3. Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\beta = \left(\right. S E D \left.\right)\):
4. • Chọn hai vectơ trong \(\left(\right. S E D \left.\right)\):
     \(\overset{\rightarrow}{S E} = E - S = \left(\right. a , \textrm{ } \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) - \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } \frac{a}{2} , \textrm{ } - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) ,\) \(\overset{\rightarrow}{S D} = D - S = \left(\right. \textrm{ } 0 , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \textrm{ } \left.\right) - \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) = \left(\right. - \textrm{ } \frac{a}{2} , \textrm{ } a , \textrm{ }\textrm{ } - \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \left.\right) .\)
   • Pháp tuyến:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \overset{\rightarrow}{S E} \times \overset{\rightarrow}{S D} .\)
     Tính nhanh:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{a}{2} & \frac{a}{2} & - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a}{2} \\ - \textrm{ } \frac{a}{2} & a & - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a}{2} \mid = \left(\right. \textrm{ } \frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) - \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot a \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } \frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) - \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot \left(\right. - \frac{a}{2} \left.\right) \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } \frac{a}{2} \cdot a - \frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{a}{2} \left.\right) \left.\right) \mathbf{k} .\)
     Suy ra từng thành phần:
     Vậy
     \(\boxed{\mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \left(\right. \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a^{2}}{4} \left.\right) .}\)
   • • Thành phần \(i\):
       \(\frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot a = - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} = \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} .\)
     • Thành phần \(j\) (chú ý dấu “–” trước):
       \(\frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) \cdot \left(\right. - \frac{a}{2} \left.\right) = - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} = - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \textrm{ } ,\)
       nhưng có dấu âm ở trước nên
       \(\text{Th} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ph} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp}; j = - \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \left.\right) = + \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} .\)
     • Thành phần \(k\):
       \(\frac{a}{2} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \frac{a}{2} \cdot \left(\right. - \frac{a}{2} \left.\right) = \frac{a^{2}}{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \frac{a^{2}}{4} = \frac{3 a^{2}}{4} .\)
5. Kiểm tra vuông góc hai plane \(\left(\right. S I C \left.\right)\) & \(\left(\right. S E D \left.\right)\):
6. • Ta cần \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} \cdot \mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = 0.\)
   • Từ trên:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} = \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} , \textrm{ }\textrm{ } 0 \left.\right) , \mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} , \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a^{2}}{4} \left.\right) .\)
   • Tích vô hướng:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} \cdot \mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \left.\right) \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \left.\right) \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot \left(\right. \frac{3 a^{2}}{4} \left.\right) .\)
   • • Thành phần thứ nhất: \(\frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \times \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} = \frac{3 \textrm{ } a^{4}}{8} .\)
     • Thành phần thứ hai: \(- \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \times \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} = - \textrm{ } \frac{3 \textrm{ } a^{4}}{8} .\)
     • Cộng lại cho nhau bằng \(0\).
   • Do đó \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S I C} \bot \mathbf{n}_{\textrm{ } S E D}\), nên
     \(\boxed{\left(\right. S I C \left.\right) \bot \left(\right. S E D \left.\right) \textrm{ } .}\)

3.3. (b) Khoảng cách từ \(I\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S E D \left.\right)\)

1. Phương trình mặt phẳng \(\left(\right. S E D \left.\right)\) dạng tối giản:
   Từ \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S E D} = \left(\right. \frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} , \textrm{ } \frac{3 a^{2}}{4} \left.\right)\) và “nó đi qua điểm \(S = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right)\)”, ta xây dựng phương trình:
   \(\frac{\sqrt{3} a^{2}}{4} \textrm{ } \left(\right. x - \frac{a}{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \frac{\sqrt{3} a^{2}}{2} \textrm{ } \left(\right. y - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a^{2}}{4} \textrm{ } \left(\right. z - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) = 0.\)
2. • Chia chung cho \(\frac{a^{2}}{4}\) (để gọn), tức nhân \(\times \frac{4}{a^{2}}\):
     \(\sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. x - \frac{a}{2} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ } \left(\right. z - \frac{\sqrt{3} a}{2} \left.\right) = 0.\)
     Mở ngoặc:
     \(\sqrt{3} \textrm{ } x - \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 z - \frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{2} = 0 \Longrightarrow \sqrt{3} \textrm{ } x + 2 \sqrt{3} \textrm{ } y + 3 z \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a = 0 ,\)
     vì \(- \frac{\sqrt{3} a}{2} - \frac{3 \sqrt{3} a}{2} = - 2 \sqrt{3} a .\)
   • Vậy phương trình rút gọn của \(\left(\right. S E D \left.\right)\) là
     \(\boxed{\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0. \textrm{ }}\)
3. Khoảng cách từ \(I = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right)\) đến plane trên:
4. • Thay \(\left(\right. x_{0} , y_{0} , z_{0} \left.\right) = \left(\right. \frac{a}{2} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right)\) vào:
     \(\mid \sqrt{3} \textrm{ } \frac{a}{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a \mid = \mid \textrm{ } \frac{\sqrt{3} \textrm{ } a}{2} - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a \mid = \mid \textrm{ } - \textrm{ } \frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{2} \mid = \frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{2} .\)
   • Mẫu số (độ dài vectơ \(\left(\right. A , B , C \left.\right)\) = \(\sqrt{3} , \textrm{ } 2 \sqrt{3} , \textrm{ } 3\)) là
     \(\sqrt{\textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3^{2} \textrm{ }\textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 3 + 12 + 9 \textrm{ }} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6} .\)
   • Vì thế
     \(d \left(\right. I , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{\frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{2}}{\textrm{ } 2 \sqrt{6} \textrm{ }\textrm{ }} = \frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{2 \cdot 2 \sqrt{6}} = \frac{3 \sqrt{3} \textrm{ } a}{4 \sqrt{6}} = \frac{3 a \sqrt{18}}{4 \cdot 6} = \frac{9 a \sqrt{2}}{24} = \frac{3 a \sqrt{2}}{8} .\)

Kết quả (b):

\(\boxed{d \left(\right. I , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a \sqrt{2}}{8} .}\)

3.4. (c) Khoảng cách từ \(C\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S E D \left.\right)\)

• Điểm \(C = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\). Thay vào phương trình
  \(\sqrt{3} \textrm{ } x + 2 \sqrt{3} \textrm{ } y + 3 z - 2 \sqrt{3} a = 0\):
  \(\sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} a = \left(\right. \sqrt{3} a + 2 \sqrt{3} a - 2 \sqrt{3} a \left.\right) = \sqrt{3} \textrm{ } a .\)
  Giá trị tuyệt đối: \(\mid \sqrt{3} \textrm{ } a \mid = a \sqrt{3} .\)
• Mẫu số vẫn là \(2 \sqrt{6}\). Do đó
  \(d \left(\right. C , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } a \sqrt{3} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 \sqrt{6} \textrm{ }} = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{18}}{2 \cdot 6} = \frac{3 a \sqrt{2}}{12} = \frac{a \sqrt{2}}{4} .\)

Kết quả (c):

\(\boxed{d \left(\right. C , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{2}}{4} .}\)

3.5. (d) Khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S E D \left.\right)\)

• Điểm \(A = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\). Thay vào phương trình \(\sqrt{3} \textrm{ } x + 2 \sqrt{3} \textrm{ } y + 3 z - 2 \sqrt{3} a = 0\):
  \(\sqrt{3} \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a = - \textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a .\)
  Giá trị tuyệt đối: \(2 a \sqrt{3} .\)
• Mẫu số vẫn là \(2 \sqrt{6}\). Vậy
  \(d \left(\right. A , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } a \textrm{ }}{\textrm{ } 2 \sqrt{6} \textrm{ }} = \frac{2 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{6}} = \frac{a \sqrt{3}}{\sqrt{6}} = a \textrm{ } \sqrt{\frac{3}{6}} = a \textrm{ } \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{a \sqrt{2}}{2} .\)

Kết quả (d):

\(\boxed{d \left(\right. A , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{2}}{2} .}\)

Tóm tắt Câu 33:
a) \(\left(\right. S I C \left.\right) \bot \left(\right. S E D \left.\right)\).
b) \(d \left(\right. I , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{3 a \sqrt{2}}{8} .\)
c) \(d \left(\right. C , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{a \sqrt{2}}{4} .\)
d) \(d \left(\right. A , \textrm{ } \left(\right. S E D \left.\right) \left.\right) = \frac{a \sqrt{2}}{2} .\)

2. Câu 29 (Toán lớp 11)

Đề bài tóm tắt:
Cho hình chóp \(S . A B C D\) có đáy \(A B C D\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), với

\(A B \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } B C \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 2 a , A D \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 3 a .\)

Điểm \(C\) thì thẳng hàng sao cho \(B C \parallel A D\). (Theo cấu hình, ta sẽ gán tọa độ cho dễ tính – xem bên dưới.) Hình chiếu vuông góc của \(S\) lên mặt phẳng \(\left(\right. A B C D \left.\right)\) là trung điểm \(H\) của đoạn \(A C\). Biết góc giữa hai mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) và \(\left(\right. A B C D \left.\right)\) bằng \(60^{\circ}\). Tính khoảng cách từ \(H\) đến ba mặt phẳng:

1. \(\left(\right. S A B \left.\right)\).
2. \(\left(\right. S C D \left.\right)\).
3. \(\left(\right. S B D \left.\right)\).

2.1. Lập hệ trục, xác định tọa độ

1. Mặt phẳng đáy \(\left(\right. A B C D \left.\right)\) đặt là mặt phẳng \(z = 0\).
2. Đáy \(A B C D\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(B\), với
   \(A B = 2 a , B C = 2 a , A D = 3 a , (\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; B C \parallel A D ).\)
3. • Ta chọn:
     \(A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , B = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)
   • Vì \(B C \parallel A D\) và \(B C = 2 a\), \(A D = 3 a\), với các góc tại \(A\) và \(B\) đều vuông, nên ta gắn
     \(D = \left(\right. 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , C = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)
   • Thử kiểm tra:
   • • \(A B\) đi từ \(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\) đến \(\left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)\), độ dài \(2 a\).
     • \(B C\) đi từ \(\left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)\) đến \(\left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right)\), độ dài \(2 a\).
     • \(A D\) từ \(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\) đến \(\left(\right. 3 a , 0 , 0 \left.\right)\), độ dài \(3 a\).
     • \(A B \bot A D\) (vì \(A B\) dọc theo trục \(y\), \(A D\) dọc theo trục \(x\)).
     • \(A B \bot B C\) (vì \(A B\) dọc \(O Y\), \(B C\) dọc \(O X\)), nên góc \(B\) cũng vuông.
   • Tóm lại, thỏa công thức của hình thang vuông: hai đáy \(B C\) và \(A D\) đều nằm trên các đoạn song song với trục \(x\), cách nhau đoạn \(A B\) dài \(2 a\).
4. Tọa độ điểm \(H\):
5. • \(H\) là trung điểm của \(A C\). Vậy
     \(A = \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , C = \left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } \rightarrow \textrm{ }\textrm{ } H = \left(\right. \frac{0 + 2 a}{2} , \textrm{ } \frac{0 + 2 a}{2} , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \textrm{ } \left.\right) .\)
6. Điểm \(S\) được xác định bởi hai điều kiện:
   Tính nhanh:
7. 1. “Hình chiếu vuông góc của \(S\) xuống \(\left(\right. A B C D \left.\right)\) là \(H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\).”
      ⇒ \(S\) phải có \(x = a , \textrm{ }\textrm{ } y = a\), và một giá trị \(z = h > 0.\)
   2. “Góc giữa mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) và mặt phẳng đáy \(\left(\right. A B C D \left.\right)\) bằng \(60^{\circ}\).”
   3. • Mặt phẳng đáy \(\left(\right. A B C D \left.\right)\) là \(z = 0\). Vector pháp tuyến \(\mathbf{n}_{đ \overset{ˊ}{\text{a}} \text{y}} = \left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right)\).
      • Mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\) đi qua ba điểm \(S\), \(B = \left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)\), \(C = \left(\right. 2 a , 2 a , 0 \left.\right)\).
      • Gọi \(S = \left(\right. a , a , h \left.\right)\). Ta tìm \(h\) sao cho góc giữa hai mặt phẳng bằng \(60^{\circ}\).
8. • Trong mặt phẳng \(\left(\right. S B C \left.\right)\), ta lấy hai vectơ:
     \(\overset{\rightarrow}{B C} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } C - B = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) - \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) ,\) \(\overset{\rightarrow}{B S} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } S - B = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } h \left.\right) - \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - a , \textrm{ } h \textrm{ } \left.\right) .\)
   • Vector pháp tuyến của \(\left(\right. S B C \left.\right)\):
     \(\mathbf{n}_{1} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \overset{\rightarrow}{B C} \times \overset{\rightarrow}{B S} = \left(\right. \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \textrm{ } \left.\right) \times \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - a , \textrm{ } h \textrm{ } \left.\right) .\)
     Tính trực tiếp:
     \(\mathbf{n}_{1} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 a & 0 & 0 \\ a & - a & h \mid = \left(\right. 0 \cdot h \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \left(\right. 2 a \left.\right) \cdot h - 0 \cdot a \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \left(\right. 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. - a \left.\right) - 0 \cdot a \left.\right) \mathbf{k} .\)
     Suy ra
     \(\mathbf{n}_{1} = \left(\right. 0 , \textrm{ } - 2 a h , \textrm{ } - 2 a^{2} \left.\right) .\)
   • Độ dài \(\mid \mathbf{n}_{1} \mid = 2 a \textrm{ } \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} .\)
   • Vector pháp tuyến của đáy \(\left(\right. A B C D \left.\right)\) là \(\mathbf{n}_{2} = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 1 \left.\right)\).
   • Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai pháp tuyến:
     \(cos ⁡ \varphi \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{\mid \mathbf{n}_{1} \cdot \mathbf{n}_{2} \mid}{\mid \mathbf{n}_{1} \mid \textrm{ } \mid \mathbf{n}_{2} \mid} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{\mid \left(\right. 0 , \textrm{ } - 2 a h , \textrm{ } - 2 a^{2} \left.\right) \cdot \left(\right. 0 , 0 , 1 \left.\right) \mid}{\left(\right. 2 a \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} \left.\right) \times 1} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{\textrm{ } 2 a^{2} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 a \textrm{ } \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} \textrm{ }} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a}{\sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }}} \textrm{ } .\)
     Theo đề: \(\varphi = 60^{\circ}\). Do đó
     \(cos ⁡ 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{\textrm{ } a \textrm{ }}{\sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }}} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{\textrm{ } h^{2} + a^{2} \textrm{ }} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 2 a \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } h^{2} + a^{2} = 4 a^{2} \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } h = a \sqrt{3} \left(\right. \text{l} \overset{ˊ}{\hat{\text{a}}} \text{y}\&\text{nbsp}; h > 0 \left.\right) .\)
   • Vậy
     \(S = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .\)

2.2. Tính khoảng cách từ \(H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\) đến ba mặt phẳng

(a) Khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\)

1. Xác định phương trình mặt phẳng \(\left(\right. S A B \left.\right)\):
2. • Ba điểm:
     \(A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , B = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , S = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .\)
   • Lấy hai vectơ trong plane:
     \(\overset{\rightarrow}{A B} = B - A = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , \overset{\rightarrow}{A S} = S - A = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .\)
   • Vectơ pháp tuyến
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} = \overset{\rightarrow}{A B} \times \overset{\rightarrow}{A S} :\)
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 2 a & 0 \\ a & a & a \sqrt{3} \mid = \left(\right. \textrm{ } 2 a \cdot a \sqrt{3} - 0 \cdot a \textrm{ } \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 0 \cdot a \sqrt{3} - 0 \cdot a \textrm{ } \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 0 \cdot a - 2 a \cdot a \textrm{ } \left.\right) \mathbf{k} .\)
     Suy ra
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ } 0 , \textrm{ } - 2 a^{2} \textrm{ } \left.\right) .\)
   • Phương trình mặt phẳng đi qua \(A \left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right)\):
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S A B} \cdot \left(\right. x , y , z - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 2 a^{2} \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - 2 a^{2} \left.\right) \textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0 ,\)
     hay rút gọn chia cho \(2 a^{2}\):
     \(\sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0 \Longleftrightarrow z = \sqrt{3} \textrm{ } x .\)
3. Khoảng cách từ \(H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\) đến plane \(\textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} x - z = 0.\)
4. • Công thức khoảng cách từ \(\left(\right. x_{0} , y_{0} , z_{0} \left.\right)\) đến \(A x + B y + C z + D = 0\) là
     \(d = \frac{\mid A x_{0} + B y_{0} + C z_{0} + D \mid}{\sqrt{\textrm{ } A^{2} + B^{2} + C^{2} \textrm{ }}} .\)
   • Ở đây: \(A = \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } B = 0 , \textrm{ }\textrm{ } C = - 1 , \textrm{ }\textrm{ } D = 0.\)
   • Thay \(\left(\right. x_{0} , y_{0} , z_{0} \left.\right) = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\):
     \(\mid \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot a \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 1 \cdot 0 + 0 \mid = \mid \textrm{ } a \sqrt{3} \mid = a \sqrt{3} .\)
   • Mẫu số: \(\sqrt{\textrm{ } \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 0^{2} + \left(\right. - 1 \left.\right)^{2} \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 3 + 1 \textrm{ }} = 2.\)
   • Vậy
     \(d \left(\right. H , \textrm{ } \left(\right. S A B \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } a \sqrt{3} \textrm{ }}{2} \textrm{ } .\)

Kết quả (a):

\(\boxed{d \left(\right. H , \left(\right. S A B \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{3}}{2} .}\)

(b) Khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\)

1. Tọa độ các điểm trên \(\left(\right. S C D \left.\right)\):
   \(C = \left(\right. \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , D = \left(\right. \textrm{ } 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , S = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .\)
2. • Vectơ \(\overset{\rightarrow}{C D} = D - C = \left(\right. 3 a - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } 0 - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } 0 - 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)
   • Vectơ \(\overset{\rightarrow}{C S} = S - C = \left(\right. a - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } a - 2 a , \textrm{ }\textrm{ } a \sqrt{3} - 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } - \textrm{ } a , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } a , \textrm{ }\textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .\)
   • Pháp tuyến của plane \(\left(\right. S C D \left.\right)\):
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \overset{\rightarrow}{C D} \textrm{ } \times \textrm{ } \overset{\rightarrow}{C S} .\)
     Tính nhanh:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & - 2 a & 0 \\ - a & - a & a \sqrt{3} \mid = \left(\right. \textrm{ } \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. a \sqrt{3} \left.\right) - 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. a \cdot a \sqrt{3} - 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. a \cdot \left(\right. - a \left.\right) - \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{k} .\)
     Suy ra
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \left(\right. \textrm{ } - 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ } a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - \textrm{ } a^{2} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 2 a^{2} \left.\right) \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - 3 a^{2} \left.\right) .\)
     Ta có thể rút gọn \(a^{2}\) chung; nhưng chỉ cần tỉ lệ để tính khoảng cách.
3. Phương trình mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\):
4. • Dùng dạng chính tắc:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} \cdot \left(\right. \left(\right. x , y , z \left.\right) - C \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0.\)
   • Thế \(C = \left(\right. 2 a , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right)\), và \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S C D} = \left(\right. - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ }\textrm{ } - \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ }\textrm{ } - 3 a^{2} \left.\right) .\)
   • Ta có:
     \(- 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} \textrm{ } \left(\right. x - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 3 a^{2} \textrm{ } \left(\right. z - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0.\)
   • Chia cả phương trình cho \(- \textrm{ } a^{2}\) (để gọn):
     \(2 \sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. x - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ } z = 0 ,\)
     hay
     \(2 \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = 0.\)
     Đó là phương trình rút gọn của plane \(\left(\right. S C D \left.\right)\).
5. Khoảng cách từ \(H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\) đến plane trên:
6. • Thay vào:
     \(2 \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \sqrt{3} \cdot a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \cdot 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = \left(\right. 2 a \sqrt{3} + a \sqrt{3} - 6 a \sqrt{3} \left.\right) = - \textrm{ } 3 a \sqrt{3} .\)
     Giá trị tuyệt đối \(\mid - 3 a \sqrt{3} \mid = 3 a \sqrt{3} .\)
   • Mẫu số:
     \(\sqrt{\textrm{ } \left(\right. 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 3^{2} \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 4 \cdot 3 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 9 \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 12 + 3 + 9 \textrm{ }} = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6} .\)
   • Do đó
     \(d \left(\right. H , \textrm{ } \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } 3 a \sqrt{3} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 \sqrt{6} \textrm{ }} = \frac{3 a \sqrt{3}}{2 \sqrt{6}} = \frac{3 a \sqrt{3} \textrm{ } \sqrt{6}}{2 \cdot 6} = \frac{3 a \sqrt{18}}{12} = \frac{\textrm{ } 3 a \textrm{ } \left(\right. 3 \sqrt{2} \left.\right) \textrm{ }}{12} = \frac{3 a \sqrt{2}}{4} .\)

Kết quả (b):

\(\boxed{d \left(\right. H , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a \sqrt{2}}{4} .}\)

(c) Khoảng cách từ \(H\) đến mặt phẳng \(\left(\right. S B D \left.\right)\)

1. Tọa độ các điểm trên \(\left(\right. S B D \left.\right)\):
   \(B = \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) , D = \left(\right. 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) , S = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .\)
2. • Vectơ \(\overset{\rightarrow}{B D} = D - B = \left(\right. 3 a , \textrm{ } 0 , \textrm{ } 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. 3 a , \textrm{ } - 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) .\)
   • Vectơ \(\overset{\rightarrow}{B S} = S - B = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. 0 , \textrm{ } 2 a , \textrm{ } 0 \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } a , \textrm{ } - a , \textrm{ } a \sqrt{3} \left.\right) .\)
   • Pháp tuyến \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \overset{\rightarrow}{B D} \times \overset{\rightarrow}{B S} .\)
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \mid \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 a & - 2 a & 0 \\ a & - a & a \sqrt{3} \mid = \left(\right. \textrm{ } \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot \left(\right. a \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot \left(\right. - a \left.\right) \left.\right) \mathbf{i} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } \left(\right. 3 a \left.\right) \cdot \left(\right. a \sqrt{3} \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 0 \cdot a \left.\right) \mathbf{j} \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ } \left(\right. 3 a \left.\right) \cdot \left(\right. - a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. - 2 a \left.\right) \cdot a \left.\right) \mathbf{k} .\)
     Suy ra
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \left(\right. \textrm{ } - 2 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ } - 3 a^{2} \sqrt{3} , \textrm{ } \left(\right. - 3 a^{2} + 2 a^{2} \left.\right) \left.\right) = \left(\right. \textrm{ } - 2 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - 3 \sqrt{3} \textrm{ } a^{2} , \textrm{ } - a^{2} \left.\right) .\)
   • Chia hệ số chung \(- \textrm{ } a^{2}\) nếu muốn, nhưng khi tính khoảng cách, ta cần tỉ lệ.
3. Phương trình mặt phẳng \(\left(\right. S B D \left.\right)\):
4. • Dùng điểm \(B = \left(\right. 0 , 2 a , 0 \left.\right)\) và \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} = \left(\right. - 2 \sqrt{3} a^{2} , \textrm{ } - 3 \sqrt{3} a^{2} , \textrm{ } - a^{2} \left.\right)\).
   • Dạng chính tắc:
     \(\mathbf{n}_{\textrm{ } S B D} \cdot \left(\right. \left(\right. x , y , z \left.\right) - B \left.\right) = 0 \Longleftrightarrow - 2 \sqrt{3} a^{2} \textrm{ } \left(\right. x - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} a^{2} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } a^{2} \textrm{ } \left(\right. z - 0 \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } 0.\)
   • Rút gọn chia cho \(- \textrm{ } a^{2}\):
     \(2 \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} \textrm{ } \left(\right. y - 2 a \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } z = 0 \textrm{ }\textrm{ } \Longleftrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 2 \sqrt{3} \textrm{ } x \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} \textrm{ } y \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } z \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = 0.\)
5. Khoảng cách từ \(H = \left(\right. a , a , 0 \left.\right)\) đến plane nêu trên:
6. • Thay \(\left(\right. x , y , z \left.\right) = \left(\right. a , \textrm{ } a , \textrm{ } 0 \left.\right)\) vào vế trái:
     \(2 \sqrt{3} \textrm{ } a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 3 \sqrt{3} \textrm{ } a \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } 0 \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } 6 a \sqrt{3} = \left(\right. 2 a \sqrt{3} + 3 a \sqrt{3} - 6 a \sqrt{3} \left.\right) = - \textrm{ } a \sqrt{3} .\)
     Giá trị tuyệt đối: \(\mid - \textrm{ } a \sqrt{3} \mid = a \sqrt{3} .\)
   • Mẫu số:
     \(\sqrt{\textrm{ } \left(\right. 2 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + \left(\right. 3 \sqrt{3} \left.\right)^{2} + 1^{2} \textrm{ }} = \sqrt{\textrm{ } 12 + 27 + 1 \textrm{ }} = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10} .\)
   • Vậy
     \(d \left(\right. H , \textrm{ } \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) = \frac{\textrm{ } a \sqrt{3} \textrm{ }}{\textrm{ } 2 \sqrt{10} \textrm{ }} = \frac{a \sqrt{3}}{2 \sqrt{10}} = \frac{a \sqrt{30}}{20} \left(\right. \text{v} \overset{ˋ}{\imath} \&\text{nbsp}; \sqrt{3} / \sqrt{10} = \sqrt{30} / 10 \left.\right) .\)

Kết quả (c):

\(\boxed{d \left(\right. H , \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{30}}{20} .}\)

Tóm tắt Câu 29:

1. \(d \left(\right. H , \left(\right. S A B \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{3}}{2} .\)
2. \(d \left(\right. H , \left(\right. S C D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{3 a \sqrt{2}}{4} .\)
3. \(d \left(\right. H , \left(\right. S B D \left.\right) \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \frac{a \sqrt{30}}{20} .\)