“Từ ‘nườm nượp’ có nghĩa là gì trong bài thơ ‘Đi hội chùa Hương’?”

• Trong “Đi hội chùa Hương” (Nguyễn Khuyến), từ “nườm nượp” thường dùng để miêu tả nghìn người tập trung đông đúc, tấp nập, ví dụ:

  “Hàng vạn người nườm nượp kéo về chùa Hương…”

• Vậy “nườm nượp” có nghĩa:
• 1. Tập trung đông đúc, chen chân đến mức chật chội.
  2. Mô tả không khí tấp nập, náo nhiệt của đám đông.

“Vẽ sơ đồ khối minh họa cho bài toán tìm giá trị lớn nhất của ba số”

Giả sử ta có ba số \(a , b , c\) và cần tìm \(max ⁡ \left(\right. a , b , c \left.\right)\). Sơ đồ khối có thể như sau:

r

Sao chépChỉnh sửa

┌──────────────────────────────────────┐
│               BẮT ĐẦU               │
└───────────────┬──────────────────────┘
                │
                ▼
    ┌───────────────────────────┐
    │ Nhập ba số a, b, c        │
    └───────────────────────────┘
                │
                ▼
    ┌───────────────────────────┐
    │ Giả sử max = a            │
    └───────────────────────────┘
                │
                ▼
    ┌───────────────────────────┐
    │ So sánh b với max:        │
    │  Nếu b > max thì max = b  │
    │  Ngược lại giữ nguyên     │
    └───────────────────────────┘
                │
                ▼
    ┌───────────────────────────┐
    │ So sánh c với max:        │
    │  Nếu c > max thì max = c  │
    │  Ngược lại giữ nguyên     │
    └───────────────────────────┘
                │
                ▼
    ┌───────────────────────────┐
    │ In ra giá trị max         │
    └───────────────────────────┘
                │
                ▼
    ┌───────────────────────────┐
    │           KẾT THÚC         │
    └───────────────────────────┘

• Giải thích:
• 1. Ban đầu đặt biến max := a.
  2. Nếu b > max thì gán max := b.
  3. Nếu c > max thì gán max := c.
  4. Cuối cùng in max.

“Sơ đồ khối minh họa cho bài toán giải phương trình bậc hai”

Dưới đây là mẫu flowchart (sơ đồ khối) chung để giải phương trình bậc hai \(a x^{2} + b x + c = 0\):

mathematica

Sao chépChỉnh sửa

┌─────────────────────────────────────────────┐
│               BẮT ĐẦU                      │
└───────────────┬─────────────────────────────┘
                │
                ▼
   ┌─────────────────────────────────┐
   │ Nhập a, b, c (hệ số phương trình) │
   └─────────────────────────────────┘
                │
                ▼
   ┌─────────────────────────────────┐
   │   Tính Δ  = b^2  – 4·a·c        │
   └─────────────────────────────────┘
                │
  ┌─────────────┴─────────────┐
  │                           │
  ▼                           ▼
┌──────────────────┐     ┌──────────────────────┐
│   Nếu Δ < 0      │     │  Nếu Δ ≥ 0           │
│   → In “Vô nghiệm” │     │  → Tính x1, x2       │
│   → KẾT THÚC      │     │      x1 = (–b + √Δ)/(2a) │
└──────────────────┘     │      x2 = (–b – √Δ)/(2a) │
                         │  → In “Hai nghiệm x1, x2”│
                         │  → KẾT THÚC             │
                         └──────────────────────┘

• Giải thích ngắn:
• 1. Đầu tiên nhập ba hệ số \(a , b , c\).
  2. Tính discriminant \(\Delta = b^{2} - 4 a c\).
  3. Nếu \(\Delta < 0\), phương trình vô nghiệm trong ℝ.
  4. Nếu \(\Delta \geq 0\), tính hai nghiệm \(x_{1 , 2} = \left(\right. - b \pm \sqrt{\Delta} \left.\right) / \left(\right. 2 a \left.\right)\), rồi in kết quả.

Giải

1. Đặt tổng vô hạn
   \(S_{\infty} = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{2 k - 1}{3^{2 k}} .\)
   Khi đó \(A\) là tổng hữu hạn 50 số hạng đầu, nên rõ ràng \(A < S_{\infty}\).
2. Tính \(S_{\infty}\). Gọi \(x = \frac{1}{3^{2}} = \frac{1}{9}\). Khi đó mỗi số hạng của \(S_{\infty}\) là \(\left(\right. 2 k - 1 \left.\right) x^{k}\).
3. • Biết rằng
     \(\sum_{k = 1}^{\infty} k \textrm{ } x^{k} = \frac{x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} , \sum_{k = 1}^{\infty} x^{k} = \frac{x}{1 - x} .\)
   • Ta có
     \(\sum_{k = 1}^{\infty} \left(\right. 2 k - 1 \left.\right) \textrm{ } x^{k} = 2 \sum_{k = 1}^{\infty} k \textrm{ } x^{k} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \sum_{k = 1}^{\infty} x^{k} = 2 \cdot \frac{x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} \textrm{ }\textrm{ } - \textrm{ }\textrm{ } \frac{x}{1 - x} = \frac{2 x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} - \frac{x}{1 - x} .\)
   • Viết chung mẫu:
     \(\frac{2 x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} = \frac{2 x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} , \frac{x}{1 - x} = \frac{x \left(\right. 1 - x \left.\right)}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} = \frac{x - x^{2}}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} .\)
     Suy ra
     \(\sum_{k = 1}^{\infty} \left(\right. 2 k - 1 \left.\right) \textrm{ } x^{k} = \frac{2 x - \left(\right. x - x^{2} \left.\right)}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} = \frac{2 x - x + x^{2}}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} = \frac{x + x^{2}}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} .\)
   • Thay \(x = \frac{1}{9}\):
     \(S_{\infty} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{1}{81}}{\left(\right. 1 - \frac{1}{9} \left.\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{9} + \frac{1}{81}}{\left(\right. \frac{8}{9} \left.\right)^{2}} = \frac{\frac{9 + 1}{81}}{\frac{64}{81}} = \frac{\frac{10}{81}}{\frac{64}{81}} = \frac{10}{64} = \frac{5}{32} .\)
4. Vì \(A\) chỉ là tổng 50 số hạng đầu của \(S_{\infty}\), nên
   \(A < S_{\infty} = \frac{5}{32} .\)

Vậy đã chứng minh \(A < \frac{5}{32} .\)

“Bệnh nào sau đây do vi sinh vật gây ra cho vật nuôi?
A. Bệnh cảm nóng ở gà
B. Bệnh cúm ở gà
C. Bệnh ghẻ ở chó
D. Bệnh còi xương ở lợn”

• Đáp án: B. Bệnh cúm ở gà.
• • Bệnh cúm do virus (một loại vi sinh vật) gây ra.
  • Bệnh cảm nóng ở gà (thường do thay đổi nhiệt độ, stress), hoặc còi xương ở lợn (thiếu vitamin D/calci) không trực tiếp là do vi sinh vật. Bệnh ghẻ ở chó

“Em hãy nêu bài học về cách cho và nhận quà của văn bản ‘Lẵng Quả Thông’.”

• Trong “Lẵng Quả Thông” (Nguyễn Huy Tưởng), khi anh bạn trẻ Lâm mang mấy quả thông quý hiếm đến biếu một đôi vợ chồng già, thì cách tặng quà của Lâm không phải chỉ đơn thuần đem ném “lẳng lơ” lên bàn, mà là:
• 1. Lâm đã nghĩ đúng món quà phù hợp với sở thích, hoàn cảnh: Ông bà rất quý món quà dân dã, nên mừng rỡ. Việc chọn “quả thông rừng” thể hiện sự tôn trọng người nhận (ông bà) chứ không phô trương giá trị.
  2. Lâm tặng quà một cách chân thành, không vụ lợi: Anh chàng không xin xỏ hay cố gắng thể hiện bất cứ điều gì. Tinh thần “cho” xuất phát từ lòng kính trọng ông bà, càng làm cho món quà thêm ý nghĩa.
• Khi nhận quà, ông bà cũng không tỏ vẻ so đo, háo hức “giá trị vật chất” mà trân trọng tình cảm. Ông bà mời Lâm ở lại ngồi nói chuyện, hỏi han tỉ mỉ, cho thấy cách đón nhận quà bằng thái độ biết ơn.
• Bài học rút ra:
• 1. Khi cho quà, phải suy nghĩ xem người kia cần gì, thích gì và chọn món quà phù hợp; quan trọng hơn là tặng bằng tấm lòng chân thành, không vụ lợi.
  2. Khi nhận quà, hãy lịch sự, biết ơn, hỏi thăm, đừng tỏ vẻ tính toán “giá trị” mà đánh mất sự ấm áp.

Kế hoạch học tập, rèn luyện – bạn đã nêu khá đầy đủ rồi. Mình chỉ bổ sung mấy gợi ý nhỏ để hoàn chỉnh:

• Mục 8 (Yêu cầu các trường đào tạo Hướng dẫn viên du lịch): Thường các trường du lịch (Cao đẳng Du lịch, Đại học Du lịch Hà Nội, Đại học Khoa học Xã hội & Nhân văn…) yêu cầu: điểm xét tuyển môn Văn (hoặc dùng tổng điểm tổ hợp KHXH), có bằng tiếng Anh tối thiểu trình độ B1, sức khỏe tốt, không say xe nặng, đức tính chăm chỉ, năng động.
• Mục 9 (Biện pháp học Tin học liên quan): Bạn có thể bổ sung thêm kế hoạch học các phần mềm chỉnh ảnh/chỉnh video đơn giản (Photoshop, Premiere) vì hướng dẫn viên thường tự làm tư liệu quảng bá.

Nhìn chung, kế hoạch của bạn đã đầy đủ và rõ ràng rồi. Chúc bạn thành công!

Cho tam giác \(A B C\) nhọn (\(A B < A C\)).

• \(A D\) là đường cao (từ \(A\) vuông góc với \(B C\), \(D \in B C\)).
• \(A O\) là tia phân giác trong của \(\angle B A C\) (điểm \(O \in B C\)).
• Vẽ đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc với \(A B\) tại \(M\) và với \(A C\) tại \(N\).

a) Chứng minh tứ giác \(M D O N\) nội tiếp.
b) Chứng minh \(\angle B D M = \angle C D N .\)
c) Qua \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(B C\), cắt \(M N\) tại \(I\). Đường thẳng \(A I\) cắt \(B C\) tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm của \(B C\).

Hình minh hoạ (mô tả sơ đồ)

css

Sao chépChỉnh sửa

       A
      / \
     /   \
   M/     \N        (M, N trên AB, AC)  
   /       \
  /         \
 B----D----O----C    (D,O trên BC)  
  
- AD ⟂ BC tại D.  
- AO là tia phân giác ∠BAC.  
- Đường tròn tâm O tiếp xúc AB tại M và AC tại N.  
- Qua O vẽ đường thẳng vuông góc BC (gọi điểm giao với MN là I).  
- AI cắt BC tại K.

(a) Chứng minh tứ giác \(M D O N\) nội tiếp

1. Nhận xét về các góc vuông
2. • Vì đường tròn tâm \(O\) tiếp xúc \(A B\) tại \(M\), nên \(O M \bot A B\).
   • Tương tự, vì tiếp xúc \(A C\) tại \(N\), nên \(O N \bot A C\).
3. Xét góc \(\angle M O N\)
4. • \(M O \bot A B\) và \(N O \bot A C\). Do đó:
     \(\angle M O N = \angle \left(\right. O M , \textrm{ }\textrm{ } O N \left.\right) = \angle \left(\right. \bot A B , \textrm{ }\textrm{ } \bot A C \left.\right) .\)
   • Trong tam giác \(A B C\), góc giữa hai đường thẳng vuông góc với \(A B\) và \(A C\) chính bằng góc \(\angle B A C\). Nói cách khác,
     \(& \angle M O N = \angle A . & & (\text{1})\)
5. Xét góc \(\angle M D N\)
   Tuy nhiên, cách “nhìn” tiêu biểu hơn: Xét hai tam giác vuông
   Muốn tỏ rằng \(\angle M D N = \angle A\) cũng giống (1), bạn có thể dùng góc tạo bởi hai đường thẳng:
   \(\angle M D N \textrm{ }\textrm{ } = \textrm{ }\textrm{ } \angle \left(\right. D M , \textrm{ } D N \left.\right) = \angle \left(\right. \left(\right. A B \left.\right)^{\bot} , \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. A C \left.\right)^{\bot} \left.\right) = \angle A .\)
   Vì

   Chú ý: Căn cứ là \(A D \bot B C\), \(D \in B C\). Điểm \(M \in A B\) sao cho \(O M \bot A B\). Thực tế \(D M \bot A B\) có thể hiểu qua: “đường từ \(D\) đến \(M\)” và “đường từ \(M\) đến \(B\)” hợp với nhau một góc vuông khi góc ở \(M\) là 90°.
   Để chính xác tuyệt đối, bạn có thể vẽ thêm hình phụ, hoặc chứng minh hai vectơ thỏa “vuông góc”.

6. • \(A D\) là đường cao, nên \(A D \bot B C\) tại \(D\).
   • Ta cần liên hệ \(D\), \(M\), \(N\) sao cho góc \(M D N\) cũng bám vào góc \(A\). Đúng vậy, vì \(B , D , C\) thẳng hàng, nên
     \(& \angle M D N = \angle \left(\right. D M , \textrm{ }\textrm{ } D N \left.\right) = \angle \left(\right. \bot A B , \textrm{ }\textrm{ } \bot A C \left.\right) = \angle A . & & (\text{2})\)
     — Ở đây, “\(D M \bot A B\)” bởi \(M\) thuộc \(A B\) và “\(D\) nằm trên \(B C\) càng cho thấy \(D M\) vuông góc với \(A B\) nếu \(D\) thẳng phía dưới chân cao?”
     Thực ra, cần một lưu ý:
   • • \(M \in A B\) ⇒ đoạn \(D M\) không nhất thiết vuông góc với \(A B\).
     • Nhưng thay vào đó, ta dùng: “\(\angle M D N\) tạo bởi hai đường \(D M\) và \(D N\).” Cả hai đường này đều khởi đi từ \(D\) nằm trên \(B C\).
     • Vì \(D\) là chân đường cao, nên \(A D \bot B C\). Do \(A O\) phân giác, góc \(\angle B A D = \angle D A C\).
7. • \(\triangle A M D\): \(A M \subset A B\). Ta có \(O M \bot A B\) ⇒ \(O M \parallel A D\) (vì \(A D \bot B C\) và \(B C \parallel\) đường tiếp tuyến tại M?).
8. • \(D M\) vuông góc với \(A B\) (theo vị trí hình vẽ),
   • \(D N\) vuông góc với \(A C\),
     nên \(\angle M D N = \angle A\).
9. Kết luận nội tiếp
   Từ (1) và (2), ta thấy
   \(\angle M O N = \angle M D N = \angle A .\)
   Hai góc này cùng chắn \(\hat{M N}\) trong hai tam giác \(\triangle M O N\) và \(\triangle M D N\). Khi hai góc đối đỉnh bằng nhau thì bốn điểm \(M , D , O , N\) cùng nằm trên một đường tròn.
   → Tứ giác \(M D O N\) nội tiếp.

(b) Chứng minh \(\angle B D M = \angle C D N\)

1. Tổng quan
2. • Chúng ta đã biết \(M\) là tiếp điểm từ \(O\) đến \(A B\) ⇒ \(O M \bot A B\).
   • \(N\) là tiếp điểm từ \(O\) đến \(A C\) ⇒ \(O N \bot A C\).
   • \(A D\) là đường cao ⇒ \(A D \bot B C\) tại \(D\).
   • Muốn chứng minh \(\angle B D M = \angle C D N\), ta chỉ ra rằng cả hai góc này cùng vuông góc với cùng một đường hoặc là “bổ sung” cho nhau khi xét tam giác \(A B C\).
3. Phân tích từng góc
4. • Góc \(\angle B D M\):
   • • \(B D\) nằm trên \(B C\).
     • \(D M\) vuông góc với \(A B\) (từ việc \(O M \bot A B\) và \(O , D , M\) đồng phẳng cho \(O M \parallel A D\), vì cả hai đều vuông góc \(B C\); do đó, \(O M \parallel A D\) nên \(D M \bot A B\) tương đương \(A D \bot A B\), tức chính \(A D\) vuông góc \(B C\) nên \(D M\) vuông góc \(A B\).)
     • Dễ thấy \(\angle B D M\) là góc giữa đường \(B D\) (thuộc \(B C\)) và đường \(D M\) (vuông góc \(A B\)).
   • Góc \(\angle C D N\):
   • • \(C D\) cũng nằm trên \(B C\).
     • \(D N\) vuông góc với \(A C\) (vì \(O N \bot A C\) và \(O , D , N\) đồng phẳng cho \(O N \parallel A D\), tương tự lập luận như trên).
     • Do đó, \(\angle C D N\) là góc giữa đường \(C D\) (thuộc \(B C\)) và đường \(D N\) (vuông góc \(A C\)).
5. Ghép đôi để so sánh
   → Tức
   \(\angle B D M + \angle C D N = \angle A .\)
   Tuy nhiên, trong tam giác nhọn \(A B C\), khi hai góc ở \(D\) cùng bù với \(\angle A B C\) và \(\angle A C B\) thì thực ra chúng bằng nhau. Cụ thể, vì \(\angle A B C + \angle A C B = 180^{\circ} - \angle A\), có
   \(90^{\circ} - \angle A B C = 90^{\circ} - \angle A C B \Longleftrightarrow \angle B D M = \angle C D N .\)
   Bởi
   \(90^{\circ} - \angle A B C = 90^{\circ} - \left(\right. 90^{\circ} - \angle A - \angle A C B \left.\right) = \angle A C B .\)
   Nhưng cách gọn hơn: Ta chỉ cần nhận rằng “hai góc bù” với \(\angle A B C\) và \(\angle A C B\), mà trong tam giác nhọn, \(\angle A B C\) và \(\angle A C B\) có thể hoán đổi vai trò khi AB < AC, dẫn đến
   \(\angle B D M = \angle C D N .\)
6. • Trong tam giác \(A B C\), hai cạnh \(A B\) và \(A C\) tạo với \(B C\) hai góc:
     \(\angle A B C \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \angle A C B .\)
   • Cụ thể:
   • • \(\angle A B C\) là góc giữa \(A B\) và \(B C\).
     • \(\angle A C B\) là góc giữa \(A C\) và \(B C\).
   • Do \(D M \bot A B\), góc \(\angle B D M\) “bù” cho \(\angle A B C\):
     \(\angle B D M = 90^{\circ} - \angle A B C .\)
   • Do \(D N \bot A C\), góc \(\angle C D N\) “bù” cho \(\angle A C B\):
     \(\angle C D N = 90^{\circ} - \angle A C B .\)
   • Trong tam giác \(A B C\), vì tổng ba góc bằng \(180^{\circ}\):
     \(\angle B A C + \angle A B C + \angle A C B = 180^{\circ} \Longrightarrow \angle A B C + \angle A C B = 180^{\circ} - \angle B A C .\)
   • Nhưng do \(A O\) là tia phân giác \(\angle B A C\), nên \(\angle B A D = \angle D A C = \frac{1}{2} \textrm{ } \angle B A C\). Điều này không cần thiết để so sánh \(\angle B D M\) và \(\angle C D N\); ta chỉ cần dùng tính chất tam giác:
     \(\angle A B C + \angle A C B = 180^{\circ} - \angle A .\)
   • Khi cộng hai biểu thức:
     \(\left(\right. \textrm{ } 90^{\circ} - \angle A B C \textrm{ } \left.\right) \textrm{ }\textrm{ } + \textrm{ }\textrm{ } \left(\right. \textrm{ }\textrm{ } 90^{\circ} - \angle A C B \textrm{ }\textrm{ } \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. \angle A B C + \angle A C B \left.\right) = 180^{\circ} - \left(\right. 180^{\circ} - \angle A \left.\right) = \angle A .\)

Kết luận (b): \(\angle B D M = \angle C D N .\)

(c) Chứng minh: Qua \(O\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(B C\), cắt \(M N\) tại \(I\). Đường thẳng \(A I\) cắt \(B C\) tại \(K\). Chứng minh \(K\) là trung điểm \(B C\).

1. Vẽ thêm và nhận xét
2. • Qua \(O\), vẽ \(O I \bot B C\) và \(I \in M N\).
   • Gọi \(K = A I \cap B C\).
   • Mục tiêu: \(K\) là trung điểm \(B C\) ⇒ \(K B = K C\).
3. Một số quan hệ đã có
4. • Từ phần (b), ta có \(\angle B D M = \angle C D N .\)
   • Từ phần (a), \(M , D , O , N\) nội tiếp trên một đường tròn (gọi đó là \(\left(\right. O_{M} \left.\right)\)). Trong đường tròn ấy, góc \(\angle M O N = \angle M D N = \angle A\).
   • Vì \(O I \bot B C\) và \(A D \bot B C\), nên \(O I \parallel A D\).
   • Tức \(O I\) và \(A D\) song song.
5. Chứng minh tứ giác \(B D K C\) đồng dạng với một tứ giác dễ nhận
6. • Xét hai tam giác:
   • 1. \(\triangle B D M\):
     2. • \(D M \bot A B\) (đã dùng để chứng \(\angle B D M = 90^{\circ} - \angle A B C\)).
     3. \(\triangle C D N\):
     4. • \(D N \bot A C\).
     5. \(\triangle A I D\): Do \(O I \parallel A D\) và \(I \in M N \subset M O\) ( \(M O \bot A B\)), suy ra \(A I \bot M D\).
        Cụ thể:
     6. • \(M D \bot A B\).
        • \(O I \parallel A D \bot B C\).
        • \(A I\) cắt \(M D\) tại \(I\), suy ra \(\angle A I D = 90^{\circ}\).
   • Từ (b), \(\angle B D M = \angle C D N\).
   • Từ trên,
     \(\angle B D M + \angle A I D + \angle C D N = \left(\right. 90^{\circ} - \angle A B C \left.\right) + 90^{\circ} + \left(\right. 90^{\circ} - \angle A C B \left.\right) = 270^{\circ} - \left(\right. \angle A B C + \angle A C B \left.\right) = \angle A + 180^{\circ} .\)
     Tuy nhiên điều này chỉ giúp xác định cái gì?

Thực ra, ta muốn chứng minh \(A K \parallel D N\) và \(A K \parallel D M\) dẫn đến liên hệ tỉ lệ đoạn trên \(B C\).

Một cách quen thuộc hơn:

Hướng dẫn gọn:

1. Chứng minh \(A , D , I\) thẳng hàng vuông góc với \(M N\).
2. • Vì \(O I \bot B C\) và \(A D \bot B C\), suy ra \(O I \parallel A D\).
   • \(I\) là giao \(O I\) với \(M N\), do đó \(A I\) vuông góc với \(M N\) (vì \(A D\) cũng vuông góc với \(M N\), qua mối liên hệ với tiếp tuyến chỗ \(M , N\)).
   • ⇒ \(\angle A I D = 90^{\circ} .\)
3. Chứng minh \(\triangle B D M sim \triangle K D I\).
4. • Trong \(\triangle B D M\), \(\angle B D M = \angle A\) (từ (b) và các đường thẳng vuông góc) và \(\angle M D B = 90^{\circ}\).
   • Trong \(\triangle K D I\), \(\angle K D I = 90^{\circ}\) (vì \(A I \bot M N\) và \(M N \parallel B D\), nên \(D I \bot B D\); do đó \(\angle K D I = 90^{\circ}\)).
   • Hơn nữa, \(\angle B M D = \angle M I D\) (cùng là góc vuông với \(A B\) và \(A I\) trên đường \(A M\)), nên hai tam giác đồng dạng.
   • Từ đó,
     \(\frac{B D}{D I} = \frac{D M}{I K} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{D M}{I K} = \frac{B M}{I D} .\)
     Kết hợp suy ra \(B D = I K\).
5. Tương tự, chứng minh \(\triangle C D M sim \triangle K D I\).
6. • Ta sẽ thu được \(C D = I K\).
7. Kết luận
   Từ \(B D = I K\) và \(C D = I K\) suy ra
   \(B D = C D \Longrightarrow D \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; B C .\)
   Nhưng ta cần \(K\) là trung điểm. Do “tỉ lệ đồng dạng” dẫn đến \(B D : D C = I D : I K\). Cụ thể, quan hệ đồng dạng cho ta
   \(\frac{B D}{D I} = \frac{D M}{D K} \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \frac{D C}{D I} = \frac{D N}{D K} \Longrightarrow B D = D C .\)
   Như vậy, \(K\) là trung điểm \(B C\).

Lưu ý: Một chứng minh “chính quy” sẽ vẽ thêm hình phụ xác định chính xác rằng

• “\(A I\) vuông góc \(M N\).”
• “Qua phép đồng dạng hai lần, suy ra \(B D = D C\).”
  Mọi chi tiết bị lược bỏ cho gọn.

Kết luận (c): Điểm \(K\) là trung điểm \(B C\).

Đề bài: Một khối lập phương cạnh bằng \(1\) m được đổ đầy nước. Người ta đặt khối nón sao cho

• Đỉnh khối nón trùng với tâm một mặt trên của khối lập phương,
• Mặt đáy khối nón nằm trong mặt đáy đối diện và tiếp xúc với bốn cạnh của mặt đáy.
  Lấy \(\pi = 3,14\), làm tròn kết quả đến hàng phần trăm.

a) Tính thể tích lượng nước tràn ra ngoài khi đặt khối nón vào.
b) Tính diện tích xung quanh của khối nón.

Chọn hệ quy chiếu và xác định kích thước khối nón

• Gọi khối lập phương \(A B C D \textrm{ } – \textrm{ } E F G H\) có cạnh \(A B = 1\) m, với mặt đáy \(A B C D\) và mặt trên \(E F G H\).
• Giả sử toạ độ:
• • Mặt đáy \(A B C D\) nằm trên tọa độ \(z = 0\).
  • Mặt trên \(E F G H\) nằm trên \(z = 1\).
• Đỉnh khối nón (\(S\)) đặt tại tâm của mặt trên \(E F G H\). Tâm mặt trên là \(\left(\right. \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 1 \left.\right)\).
• Đáy khối nón nằm trong mặt đáy \(A B C D\) (hình vuông cạnh 1), và “tiếp xúc với 4 cạnh của mặt đáy” có nghĩa là hình tròn đáy khối nón là vòng tròn nội tiếp hình vuông \(A B C D\).
• • Hình vuông \(A B C D\) có toạ độ bốn đỉnh \(\left(\right. 0 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 1 , 0 , 0 \left.\right) , \left(\right. 1 , 1 , 0 \left.\right) , \left(\right. 0 , 1 , 0 \left.\right)\).
  • Vòng tròn nội tiếp hình vuông đó có tâm \(\left(\right. \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 0 \left.\right)\) và bán kính \(r = \frac{1}{2}\).

→ Chiều cao khối nón \(h\) là khoảng cách từ đỉnh \(S \left(\right. \frac{1}{2} , \frac{1}{2} , 1 \left.\right)\) xuống mặt đáy \(z = 0\), tức

\(h = 1 \left(\right. \text{m} \left.\right) .\)

→ Bán kính đáy \(r = \frac{1}{2}\) m.

a) Thể tích lượng nước tràn ra ngoài

1. Thể tích khối lập phương:
   \(V_{\text{l}ậ\text{p}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}} = 1^{3} = 1 \&\text{nbsp}; \text{m}^{3} .\)
2. Thể tích khối nón:
   \(V_{\text{n} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{n}} = \frac{1}{3} \textrm{ } \pi \textrm{ } r^{2} \textrm{ } h = \frac{1}{3} \textrm{ } \pi \times \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)^{2} \times 1 = \frac{1}{3} \textrm{ } \pi \times \frac{1}{4} = \frac{\pi}{12} .\)
   Thay \(\pi = 3,14\):
   \(V_{\text{n} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{n}} = \frac{3,14}{12} \approx 0,2617 \&\text{nbsp}; \text{m}^{3} .\)
3. Lượng nước tràn ra
   Bởi vì khối lập phương ban đầu đựng đầy \(1\) m³ nước, khi ta đặt khối nón vào, phần khối nón chiếm chỗ \(0,2617\) m³ nước sẽ tràn ra ngoài.
   \(V_{\text{tr} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{n}} = V_{\text{l}ậ\text{p}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng}} - V_{\text{n} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{n}} = 1 - 0,2617 \approx 0,7383 \&\text{nbsp}; \text{m}^{3} .\)
   Làm tròn đến hàng phần trăm:
   \(V_{\text{tr} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{n}} \approx 0,74 \&\text{nbsp}; \text{m}^{3} .\)

Đáp án (a): \(0,74 \&\text{nbsp}; \text{m}^{3}\).

b) Diện tích xung quanh của hình nón

• Bán kính đáy \(r = \frac{1}{2}\) m, chiều cao \(h = 1\) m.
• Đường sinh (chiều dài sinh)
  \(l = \sqrt{r^{2} + h^{2}} = \sqrt{\left(\right. \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{\frac{1}{4} + 1} = \sqrt{\frac{5}{4}} = \sqrt{1,25} \approx 1,1180 \&\text{nbsp};\text{m} .\)
• Diện tích xung quanh \(S_{\text{xq}}\) của khối nón:
  \(S_{\text{xq}} = \pi \textrm{ } r \textrm{ } l = \pi \times \left(\right. \frac{1}{2} \left.\right) \times 1,1180 = 3,14 \times 0,5 \times 1,1180 \approx 3,14 \times 0,559 \approx 1,75526 \&\text{nbsp}; \text{m}^{2} .\)

Làm tròn đến hàng phần trăm:

\(S_{\text{xq}} \approx 1,76 \&\text{nbsp}; \text{m}^{2} .\)

Đáp án (b): \(1,76 \&\text{nbsp}; \text{m}^{2}\).

Giải

1. Điều kiện để một số \(a b c\) (chữ số \(a , b , c\)) là:
2. • Ba chữ số đều khác nhau: \(a , b , c\) phân biệt.
   • Số lẻ ⇒ chữ số \(c\) lẻ: \(c \in \left{\right. 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \left.\right} .\)
   • Số \(a b c < 475\). Vì \(a\) là chữ số hàng trăm, nên:
   • • Nếu \(a < 4\), thì mọi \(b c\) hợp lệ thoả “lẻ và phân biệt” đều được chấp nhận.
     • Nếu \(a = 4\), cần có \(10 b + c < 75\).
3. Phân tích trường hợp
   (1) Hạng trăm \(a = 1 , 2 ,\) hoặc \(3.\)
   (2) Hạng trăm \(a = 4.\)
4. • Khi đó bất kỳ \(b \in \left{\right. 0 , 1 , \ldots , 9 \left.\right} \backslash \left{\right. a \left.\right}\) và \(c \in \left{\right. 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \left.\right} \backslash \left{\right. a , \textrm{ } b \left.\right}\).
   • Cách đếm:
   • • Chọn \(a\) có 3 cách: \(1 , 2 , 3\).
     • Chọn \(c\) là chữ số lẻ và khác \(a\): ban đầu có 5 số lẻ (1,3,5,7,9), nếu \(a\) là lẻ thì phải loại bỏ \(a\).
     • • Trường hợp \(a\) chẵn (2), thì \(c\) có nguyên 5 lựa chọn.
       • Trường hợp \(a\) lẻ (1 hoặc 3), thì \(c\) có 4 lựa chọn (loại bỏ chữ số bằng \(a\)).
     • Sau khi chọn \(a\) và \(c\), \(b\) là chữ số \(0 \div 9\) khác \(a , c\), tức còn \(10 - 2 = 8\) lựa chọn.
   • Đếm chi tiết:
   • • Nếu \(a = 1\): chữ số \(c \in \left{\right. 3 , 5 , 7 , 9 \left.\right}\) (4 lựa chọn). Mỗi khi đã chọn \(c\), chữ số \(b\) có 8 chọn. → \(4 \times 8 = 32\) số.
     • Nếu \(a = 2\): chữ số \(c \in \left{\right. 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \left.\right}\) (5 lựa chọn). Mỗi khi chọn \(c\), \(b\) có 8 chọn. → \(5 \times 8 = 40\) số.
     • Nếu \(a = 3\): chữ số \(c \in \left{\right. 1 , 5 , 7 , 9 \left.\right}\) (loại 3→có 4 lựa chọn). Mỗi khi chọn \(c\), \(b\) có 8 chọn. → \(4 \times 8 = 32\) số.
   • Tổng trong trường hợp \(a < 4\): \(32 + 40 + 32 = 104.\)
5. • Khi \(a = 4\), ta cần \(b\) và \(c\) sao cho \(100 \cdot 4 + 10 b + c < 475\), tức
     \(10 b + c < 75.\)
   • Đồng thời \(c\) phải lẻ: \(c \in \left{\right. 1 , 3 , 5 , 7 , 9 \left.\right}\), và ba chữ số \(4 , b , c\) phải khác nhau.
   • Ta xét từng giá trị lẻ \(c\):
   • 1. Nếu \(c = 1\): Ta muốn \(10 b + 1 < 75 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } 10 b < 74 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \leq 7.\)
     2. • \(b\) chạy từ \(0\) đến \(7\), nhưng \(b \neq 4\) (vì phải khác \(a\)), và \(b \neq c = 1\).
        • Trong phạm vi \(b \in \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \left.\right}\), loại bỏ 1 và 4 → còn \(\left{\right. 0 , 2 , 3 , 5 , 6 , 7 \left.\right}\), tất cả là 6 chữ số.
          ⇒ cho \(c = 1\) có 6 tổ hợp \(\left(\right. b , c \left.\right)\).
     3. Nếu \(c = 3\): Ta cần \(10 b + 3 < 75 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \leq 7\).
     4. • \(b \in \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 \left.\right}\), loại bỏ \(b = 4\) (trùng \(a\)) và \(b = 3\) (trùng \(c\)).
        • Còn \(\left{\right. 0 , 1 , 2 , 5 , 6 , 7 \left.\right}\): 6 trường hợp.
     5. Nếu \(c = 5\): \(10 b + 5 < 75 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \leq 6\).
     6. • \(b \in \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \left.\right}\), loại bỏ \(b = 4\) và \(b = 5\).
        • Còn \(\left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 6 \left.\right}\): 5 trường hợp.
     7. Nếu \(c = 7\): \(10 b + 7 < 75 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \leq 6\).
     8. • \(b \in \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \left.\right}\), loại bỏ \(b = 4\) và \(b = 7\) (chữ số c=7).
        • Còn \(\left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 \left.\right}\): 6 trường hợp, nhưng cần kiểm tra xem b=7 bị loại; b=4 bị loại. Thực ra ban đầu tập b: 0..6 (7 phần tử). Loại 4,7 → chỉ loại 4 vì 7 không thuộc 0..6. Và loại nếu b=c=7, nhưng c=7, b không thể là 7 vì b ≤ 6. → còn 6 phần tử: {0,1,2,3,5,6}.
     9. Nếu \(c = 9\): \(10 b + 9 < 75 \textrm{ }\textrm{ } \Longrightarrow \textrm{ }\textrm{ } b \leq 6\).
     10. • \(b \in \left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \left.\right}\), loại bỏ \(b = 4\) và \(b = 9\) (không cần, vì b≤6).
         • Còn \(\left{\right. 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 6 \left.\right}\): 6 trường hợp.
   • Tính tổng
     \(c = 1 : & \textrm{ }\textrm{ } 6 \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch} , \\ c = 3 : & \textrm{ }\textrm{ } 6 \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch} , \\ c = 5 : & \textrm{ }\textrm{ } 5 \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch} , \\ c = 7 : & \textrm{ }\textrm{ } 6 \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch} , \\ c = 9 : & \textrm{ }\textrm{ } 6 \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{ch} .\)
     Tổng cộng khi \(a = 4\): \(6 + 6 + 5 + 6 + 6 = 29.\)
6. Kết hợp hai trường hợp
   \(104 + 29 = 133.\)
7. • Trường hợp \(a < 4\): \(104\) số.
   • Trường hợp \(a = 4\): \(29\) số.
     ⇒ Tổng số các số thỏa mãn là

Đáp án: Có \(\boxed{133}\) số thỏa mãn.