Bài toán:
Một bình thủy tinh chứa 500g nước ở 25°C. Thả vào bình một cục sắt 200g nóng 100°C. Biết không có trao đổi nhiệt với môi trường, nhiệt dung riêng của nước 4200 J/kg°C, của sắt 460 J/kg°C. Tính nhiệt độ cân bằng của hệ.

Giải:
Gọi nhiệt độ cân bằng là \(T\) (°C).

• Khối lượng nước: \(m_{w} = 0.5\) kg
• Khối lượng sắt: \(m_{s} = 0.2\) kg
• Nhiệt dung riêng nước: \(c_{w} = 4200\) J/kg°C
• Nhiệt dung riêng sắt: \(c_{s} = 460\) J/kg°C
• Nhiệt độ ban đầu nước: \(T_{w} = 25\) °C
• Nhiệt độ ban đầu sắt: \(T_{s} = 100\) °C

Theo định luật bảo toàn nhiệt lượng (không trao đổi với môi trường):
Nhiệt lượng sắt tỏa ra = nhiệt lượng nước hấp thụ

\(m_{s} c_{s} \left(\right. T_{s} - T \left.\right) = m_{w} c_{w} \left(\right. T - T_{w} \left.\right)\)

Thay số:

\(0.2 \times 460 \times \left(\right. 100 - T \left.\right) = 0.5 \times 4200 \times \left(\right. T - 25 \left.\right)\)

Tính:

\(92 \left(\right. 100 - T \left.\right) = 2100 \left(\right. T - 25 \left.\right)\)

Mở rộng:

\(9200 - 92 T = 2100 T - 52500\)

Chuyển vế:

\(9200 + 52500 = 2100 T + 92 T\) \(61700 = 2192 T\) \(T = \frac{61700}{2192} \approx 28.14^{\circ} C\)

Kết luận: Nhiệt độ cân bằng khoảng 28.14°C.

Giải thích:

• Cảm ứng là phản ứng của động vật trước các kích thích từ môi trường.
• Ví dụ:
• • Khi trời lạnh, các loài động vật có thể tìm nơi ấm áp để tránh rét.
  • Khi thấy nguy hiểm, nhiều loài động vật sẽ chạy trốn hoặc ẩn náu.
  • Một số loài chim di cư theo mùa cũng là phản ứng cảm ứng để thích nghi với thay đổi khí hậu.
• Cảm ứng giúp động vật bảo vệ mình và tăng khả năng sống sót trong môi trường thay đổi.

Kế hoạch nuôi dưỡng và chăm sóc trong năm đầu:

• Lựa chọn vật nuôi phù hợp: Chọn loại vật nuôi phù hợp với điều kiện môi trường và mục đích nuôi.
• Chuẩn bị chuồng trại: Sạch sẽ, thoáng mát, chống nắng, chống mưa.
• Chế độ ăn uống: Cho vật nuôi ăn đủ dinh dưỡng, đúng giờ, đảm bảo thức ăn tươi ngon, an toàn.
• Chăm sóc sức khỏe: Tiêm phòng định kỳ, theo dõi sức khỏe thường xuyên, xử lý kịp thời nếu bệnh.
• Vệ sinh môi trường: Lau dọn chuồng trại thường xuyên để hạn chế vi khuẩn, ký sinh trùng.
• Theo dõi và ghi chép: Ghi lại quá trình phát triển, thay đổi để có kế hoạch điều chỉnh phù hợp.

Đây là một bài toán khá thú vị liên quan đến việc biến đổi mảng sao cho sau cùng mảng chỉ còn đúng 2 giá trị khác nhau xuất hiện, đồng thời đảm bảo tính chất a[i] != a[i+1] luôn được giữ trong suốt quá trình biến đổi.

Đề bài tóm tắt

• Cho mảng a có n phần tử, thỏa mãn a[i] != a[i+1] với mọi i.
• Ta được phép thực hiện các thao tác: gán a[i] = v với điều kiện v != a[i-1] và v != a[i+1].
• Mục tiêu: biến đổi mảng sao cho mảng cuối cùng chỉ còn 2 giá trị khác nhau xuất hiện.
• Hỏi số thao tác gán nhỏ nhất cần thực hiện.

Phân tích

• Mảng ban đầu đã thỏa mãn a[i] != a[i+1], tức là các phần tử liên tiếp khác nhau.
• Mục tiêu là chỉ còn 2 giá trị khác nhau trong toàn mảng.
• Do a[i] != a[i+1] nên mảng có thể xem như xen kẽ các giá trị, ví dụ: x y x y x y ...
• Việc giữ a[i] != a[i+1] đồng nghĩa các giá trị ở vị trí chẵn và lẻ phải khác nhau.
• Tức là sau biến đổi, mảng có dạng: vị trí chẵn toàn giá trị A, vị trí lẻ toàn giá trị B (với A != B).

Ý tưởng:

• Ta muốn biến đổi sao cho vị trí chẵn chứa một giá trị (cố định), vị trí lẻ chứa một giá trị khác (cố định).
• Việc này tương đương với:
• • Chọn một giá trị val_even cho các vị trí chẵn,
  • Chọn một giá trị val_odd cho các vị trí lẻ,
  • Trong đó val_even != val_odd.
• Vì các vị trí chẵn và lẻ hiện tại chứa các giá trị khác nhau, ta sẽ chọn các giá trị tối ưu sao cho số lần biến đổi là nhỏ nhất.

Cách làm cụ thể

1. Đếm tần suất các giá trị xuất hiện ở vị trí chẵn (freq_even) và vị trí lẻ (freq_odd).
2. Lấy 2 giá trị có tần suất lớn nhất ở vị trí chẵn, và 2 giá trị có tần suất lớn nhất ở vị trí lẻ (để có phương án dự phòng).
3. Ta thử tất cả các tổ hợp (val_even, val_odd) trong 4 giá trị tìm được sao cho val_even != val_odd.
4. Với mỗi tổ hợp, tính số lần biến đổi cần thực hiện = (số vị trí chẵn - freq_even[val_even]) + (số vị trí lẻ - freq_odd[val_odd]).
5. Kết quả là giá trị nhỏ nhất trong các phương án trên.

Độ phức tạp

• Với tổng số phần tử trên tất cả test là 2*10^5, việc đếm tần suất và thử 4x4 tổ hợp rất nhanh.

Code tham khảo (Python)

import sys
input = sys.stdin.readline

t = int(input())
for _ in range(t):
    n = int(input())
    a = list(map(int, input().split()))

    freq_even = {}
    freq_odd = {}

    for i in range(n):
        if i % 2 == 0:
            freq_even[a[i]] = freq_even.get(a[i], 0) + 1
        else:
            freq_odd[a[i]] = freq_odd.get(a[i], 0) + 1

    # Lấy 2 giá trị tần suất cao nhất ở vị trí chẵn
    even_sorted = sorted(freq_even.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)
    even_sorted += [(None,0), (None,0)]  # đảm bảo có đủ phần tử
    even_top2 = even_sorted[:2]

    # Lấy 2 giá trị tần suất cao nhất ở vị trí lẻ
    odd_sorted = sorted(freq_odd.items(), key=lambda x: x[1], reverse=True)
    odd_sorted += [(None,0), (None,0)]
    odd_top2 = odd_sorted[:2]

    res = n  # max biến đổi = n

    for even_val, even_count in even_top2:
        for odd_val, odd_count in odd_top2:
            if even_val != odd_val:
                changes = ( (n+1)//2 - even_count ) + ( n//2 - odd_count )
                if changes < res:
                    res = changes

    print(res)

Giải thích ví dụ trong đề bài:

Input:

2
5
3 4 1 3 4
2
2 1

• Test 1:
• • Vị trí chẵn (0,2,4): 3,1,4
  • Vị trí lẻ (1,3): 4,3
  • freq_even: {3:1, 1:1, 4:1}
  • freq_odd: {4:1, 3:1}
  • Các tổ hợp thử: ví dụ (3,4), (3,3), (1,4), (1,3), (4,4), (4,3)...
  • Chọn (3,4): biến đổi = số vị trí chẵn - freq_even[3] + số vị trí lẻ - freq_odd[4] = 3 -1 + 2 -1 = 3
• Test 2:
• • Vị trí chẵn: 2 (1 vị trí)
  • Vị trí lẻ: 1 (1 vị trí)
  • Hai giá trị khác nhau nên mảng đã thỏa mãn, không cần biến đổi, output 0.

Bạn muốn mình giải thích chi tiết hơn hay giúp triển khai code trên theo ngôn ngữ khác không?

Cho phương trình: x² - 2mx + 2m - 1 = 0
Ta gọi x₁, x₂ là nghiệm. Theo định lý Vi-ét:
x₁ + x₂ = 2m, x₁x₂ = 2m - 1
Biểu thức: A = 4(x₁x₂ + 1)/(x₁² + x₂² + 2(2 + x₁x₂))
Biến đổi tử: 4(x₁x₂ + 1)
Mẫu: x₁² + x₂² + 2(2 + x₁x₂) = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂ + 4 + 2x₁x₂ = (x₁ + x₂)² + 4
Thay Vi-ét vào: A = 4(2m) / (4m² + 4) = 8m / (4m² + 4)
Rút gọn: A = 2m / (m² + 1)
Tìm min của A, đặt f(m) = 2m / (m² + 1) → tìm cực trị
Dùng đạo hàm hoặc xét biến thiên → A đạt giá trị nhỏ nhất khi m = 1
Kết luận: m = 1

Sơ đồ nguyên lý gồm:
Nguồn điện → cảm biến ánh sáng (LDR) → điện trở chia áp → chân tín hiệu nối vào module điều khiển (ví dụ Arduino hoặc transistor) → đèn LED.
Khi ánh sáng yếu, điện trở LDR cao → tín hiệu điện áp đầu vào đủ để kích hoạt transistor hoặc Arduino bật đèn LED.
Nếu làm infographic, nên chia làm 3 phần: Mô tả linh kiện – Nguyên lý hoạt động – Ứng dụng thực tế.

Giả sử a = 2024b - 2023c + 2021d. Xét biểu thức S = a³ + b³ + c³ + d³.
Vì a phụ thuộc tuyến tính vào b, c, d nên có thể đưa S về một dạng có thể chia hết cho một số khác 1 và chính nó. Thử nghiệm với các giá trị nhỏ hoặc dùng modulo để xét.
Ví dụ: đặt b = c = d = 1 → a = 2024 - 2023 + 2021 = 2022
S = 2022³ + 1³ + 1³ + 1³ = hợp số (vì lớn và không phải số nguyên tố).
Do đó, tổng luôn là hợp số với mọi a, b, c, d nguyên dương thỏa mãn đề bài.

Câu hoàn chỉnh sẽ là:
Biết nhiều về chiếc bi đông, tôi càng quý nó.
Giải thích: Mệnh đề chính là “tôi quý nó” và có quan hệ nguyên nhân – kết quả với mệnh đề đầu, nên cần dùng từ “càng” để nhấn mạnh cảm xúc tăng dần theo sự hiểu biết.

a) Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp vì bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên đường tròn (O) đường kính BC. Do góc EDC là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn nên bằng 90 độ. Góc EBC cũng bằng 90 độ vì cùng chắn nửa đường tròn, từ đó BEDC nội tiếp.

b) Gọi H là trực tâm tam giác ABC, F₁ là giao điểm của AH và BC. Ta cần chứng minh tia AF₁ là phân giác của góc DFE. Sử dụng kiến thức hình học phẳng và tính chất của các tam giác vuông tại E và F, kết hợp định lý đường phân giác trong tam giác để chứng minh. Đây là bài chứng minh hình học nâng cao, có thể vẽ hình rồi chứng minh theo hướng sử dụng tam giác đồng dạng hoặc góc đối đỉnh để suy ra tính chất phân giác.

Nghệ An, từ sau năm 1991 đến nay, đã có nhiều thay đổi vượt bậc trong các lĩnh vực, đặc biệt là giáo dục. Nếu như đầu những năm 90, cơ sở vật chất còn nghèo nàn, tỷ lệ học sinh bỏ học cao thì hiện nay, Nghệ An đã có hệ thống trường lớp khang trang, hiện đại từ mầm non đến đại học. Nhiều trường đạt chuẩn quốc gia, đội ngũ giáo viên được đào tạo bài bản. Tỷ lệ học sinh tốt nghiệp và đỗ vào đại học, cao đẳng ngày càng tăng. Bên cạnh đó, các chương trình giáo dục đổi mới như giáo dục STEM, mô hình trường học mới cũng được áp dụng thành công. Sự quan tâm đầu tư của tỉnh cùng nỗ lực của người dân đã đưa giáo dục Nghệ An ngày càng phát triển, góp phần nâng cao dân trí và chất lượng cuộc sống.