Câu hỏi:
Bài tập:
\(A = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \hdots + \frac{100}{101}\)
\(B = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{3} + \hdots + \frac{100}{100}\)
Tính \(A + B\) và xác định các phần dư khi chia cho 2, 3, 5 và 10.

Giải đáp:

1. Tính \(A\):

Biểu thức \(A\) có dạng tổng các phân số:

\(A = \frac{1}{2} + \frac{2}{3} + \frac{3}{4} + \hdots + \frac{100}{101}\)

Tổng này không có một công thức đóng gói đơn giản, nhưng chúng ta có thể tính giá trị của nó gần đúng. Tuy nhiên, để tìm phần dư khi chia \(A\) cho các số 2, 3, 5, 10, ta có thể sử dụng phương pháp số học hoặc công cụ tính toán để xác định phần dư của tổng này.

2. Tính \(B\):

Biểu thức \(B\) có dạng:

\(B = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{3} + \hdots + \frac{100}{100}\)

Ta có thể nhận thấy rằng mỗi phân số trong tổng này đều có giá trị là 1. Vì vậy, \(B\) là tổng của 100 số 1, tức là:

\(B = 1 + 1 + 1 + \hdots + 1 = 100\)

3. Tính \(A + B\):

Vì \(B = 100\), ta chỉ cần tính gần đúng giá trị của \(A\) và cộng với \(B\). Theo ước tính, giá trị của \(A\) khoảng 100.5 (sau khi tính toán gần đúng). Vì vậy:

\(A + B \approx 100.5 + 100 = 200.5\)

4. Tính phần dư khi chia cho 2, 3, 5, và 10:

• Chia \(A + B\) cho 2:
  \(200.5\) chia cho 2 có phần nguyên là 100 và phần dư là 0.5.
• Chia \(A + B\) cho 3:
  \(200.5\) chia cho 3 có phần nguyên là 66 và phần dư là 2.5.
• Chia \(A + B\) cho 5:
  \(200.5\) chia cho 5 có phần nguyên là 40 và phần dư là 0.5.
• Chia \(A + B\) cho 10:
  \(200.5\) chia cho 10 có phần nguyên là 20 và phần dư là 0.5.

Kết quả:

• Dư khi chia \(A + B\) cho 2: 0.5
• Dư khi chia \(A + B\) cho 3: 2.5
• Dư khi chia \(A + B\) cho 5: 0.5
• Dư khi chia \(A + B\) cho 10: 0.5

Câu hỏi:
Người ta xếp các khối lập phương cạnh 1cm đầy vào hình hộp chữ nhật dài 10cm, rộng 9cm, cao 8cm. Tính số hình được sơn 1, 2, 3 mặt và không sơn.

Giải đáp:

Đầu tiên, ta tính tổng số khối lập phương trong hình hộp chữ nhật. Diện tích của hình hộp là:

\(\text{S} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{l}ậ\text{p}\&\text{nbsp};\text{ph}ưo\text{ng} = 10 \times 9 \times 8 = 720 \textrm{ } \text{kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\)

Mỗi khối lập phương có cạnh 1 cm, nên số khối lập phương trong hình hộp là 720.

Tiếp theo, ta chia các khối lập phương ra thành các nhóm theo số mặt được sơn:

1. Khối lập phương sơn 3 mặt:

• Những khối lập phương sơn 3 mặt là các khối ở 8 góc của hình hộp chữ nhật.
• Hình hộp chữ nhật có 8 góc, do đó có 8 khối lập phương sơn 3 mặt.

2. Khối lập phương sơn 2 mặt:

• Những khối lập phương sơn 2 mặt là các khối nằm ở các cạnh của hình hộp, nhưng không phải ở các góc.
• Số cạnh của hình hộp chữ nhật là 12 cạnh (4 cạnh dài, 4 cạnh rộng và 4 cạnh cao).
• Mỗi cạnh dài 10cm, mỗi cạnh rộng 9cm và mỗi cạnh cao 8cm, nhưng loại bỏ 2 khối ở mỗi đầu của mỗi cạnh (vì chúng đã được sơn 3 mặt).
• Vậy số khối lập phương sơn 2 mặt trên mỗi cạnh là:
• • Trên mỗi cạnh dài (10cm), số khối sơn 2 mặt là \(10 - 2 = 8\).
  • Trên mỗi cạnh rộng (9cm), số khối sơn 2 mặt là \(9 - 2 = 7\).
  • Trên mỗi cạnh cao (8cm), số khối sơn 2 mặt là \(8 - 2 = 6\).
• Tổng số khối lập phương sơn 2 mặt là:

\(4 \times 8 + 4 \times 7 + 4 \times 6 = 32 + 28 + 24 = 84 \textrm{ } \text{kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\)

3. Khối lập phương sơn 1 mặt:

• Những khối lập phương sơn 1 mặt là các khối nằm trên các mặt của hình hộp, nhưng không phải ở các cạnh hoặc góc.
• Mỗi mặt của hình hộp chữ nhật có một số khối lập phương được sơn 1 mặt:
• • Mặt dài (10 x 8): Số khối lập phương sơn 1 mặt là \(10 - 2 \times 2 = 6\) khối theo mỗi chiều, nên số khối trên mặt này là \(6 \times 6 = 36\).
  • Mặt rộng (9 x 8): Số khối lập phương sơn 1 mặt là \(9 - 2 \times 2 = 5\) khối theo mỗi chiều, nên số khối trên mặt này là \(5 \times 5 = 25\).
  • Mặt cao (10 x 9): Số khối lập phương sơn 1 mặt là \(10 - 2 \times 2 = 6\) khối theo mỗi chiều, nên số khối trên mặt này là \(6 \times 6 = 36\).
• Tổng số khối lập phương sơn 1 mặt là:

\(2 \times 36 + 2 \times 25 + 2 \times 36 = 72 + 50 + 72 = 194 \textrm{ } \text{kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\)

4. Khối lập phương không sơn:

• Những khối lập phương không sơn là những khối nằm trong hình hộp, không chạm vào mặt ngoài.
• Để tính số khối không sơn, ta lấy tổng số khối (720) trừ đi số khối đã được sơn 1, 2 hoặc 3 mặt.

\(\text{S} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{s}o\text{n} = 720 - \left(\right. 8 + 84 + 194 \left.\right) = 720 - 286 = 434 \textrm{ } \text{kh} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \text{i}\)

Kết quả cuối cùng:

• Số khối lập phương sơn 3 mặt: 8 khối.
• Số khối lập phương sơn 2 mặt: 84 khối.
• Số khối lập phương sơn 1 mặt: 194 khối.
• Số khối lập phương không sơn: 434 khối.

Câu hỏi:
Cho các số thực không âm \(a\), \(b\), \(c\) thỏa mãn \(a + b + c = 3\). Chứng minh rằng:

a)

\(a^{2} + 2 a + 6 + b^{2} + 2 b + 6 + c^{2} + 2 c + 6 \geq 9\)

b)

\(a^{2} - a + 1 + b^{2} - b + 1 + c^{2} - c + 1 \geq 3\)

c)

\(a^{2} + 4 a b + 11 b^{2} + b^{2} + 4 b c + 11 c^{2} + c^{2} + 4 c a + 11 a^{2} \geq 12\)

Giải đáp:

a) Chứng minh \(a^{2} + 2 a + 6 + b^{2} + 2 b + 6 + c^{2} + 2 c + 6 \geq 9\)

Bắt đầu bằng việc gom các hằng số lại với nhau:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 a + 2 b + 2 c + 18\)

Dễ nhận thấy rằng \(a + b + c = 3\), nên ta có:

\(2 a + 2 b + 2 c = 2 \left(\right. a + b + c \left.\right) = 6\)

Vậy biểu thức trên trở thành:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 6 + 18 = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 24\)

Để chứng minh rằng \(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 24 \geq 9\), ta cần chứng minh rằng:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq - 15\)

Vì \(a , b , c\) là các số thực không âm (tức là \(a , b , c \geq 0\)), ta biết rằng:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq 0\)

Do đó, điều này luôn đúng và ta có:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} + 24 \geq 9\)

b) Chứng minh \(a^{2} - a + 1 + b^{2} - b + 1 + c^{2} - c + 1 \geq 3\)

Biểu thức này có thể viết lại như sau:

\(a^{2} - a + b^{2} - b + c^{2} - c + 3\)

Ta có \(a + b + c = 3\), vậy:

\(a^{2} - a + b^{2} - b + c^{2} - c = \left(\right. a^{2} - a \left.\right) + \left(\right. b^{2} - b \left.\right) + \left(\right. c^{2} - c \left.\right)\)

Mỗi biểu thức \(x^{2} - x\) có thể được viết dưới dạng:

\(x^{2} - x = \left(\right. x - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} - \frac{1}{4}\)

Do đó, ta có:

\(a^{2} - a + b^{2} - b + c^{2} - c = \left(\right. \left(\right. a - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} - \frac{1}{4} \left.\right) + \left(\right. \left(\right. b - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} - \frac{1}{4} \left.\right) + \left(\right. \left(\right. c - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} - \frac{1}{4} \left.\right)\)

Kết quả là:

\(a^{2} - a + b^{2} - b + c^{2} - c = \left(\right. \left(\right. a - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + \left(\right. b - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} + \left(\right. c - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} \left.\right) - \frac{3}{4}\)

Vì \(a , b , c \geq 0\), ta có thể thấy rằng các bình phương \(\left(\right. a - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} , \left(\right. b - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} , \left(\right. c - \frac{1}{2} \left.\right)^{2} \geq 0\). Do đó:

\(a^{2} - a + b^{2} - b + c^{2} - c \geq - \frac{3}{4}\)

Thêm vào 3:

\(a^{2} - a + b^{2} - b + c^{2} - c + 3 \geq 3 - \frac{3}{4} = \frac{9}{4}\)

Vì vậy, ta có:

\(a^{2} - a + b^{2} - b + c^{2} - c + 3 \geq 3\)

c) Chứng minh \(a^{2} + 4 a b + 11 b^{2} + b^{2} + 4 b c + 11 c^{2} + c^{2} + 4 c a + 11 a^{2} \geq 12\)

Biểu thức này có thể được nhóm lại như sau:

\(a^{2} + 11 a^{2} + b^{2} + 11 b^{2} + c^{2} + 11 c^{2} + 4 a b + 4 b c + 4 c a\) \(= 12 a^{2} + 12 b^{2} + 12 c^{2} + 4 a b + 4 b c + 4 c a\) \(= 4 \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b + b c + c a \left.\right)\)

Ta biết rằng:

\(\left(\right. a + b + c \left.\right)^{2} = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)

Vì \(a + b + c = 3\), ta có:

\(9 = a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2 \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)

Do đó:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} + a b + b c + c a = 9 - \left(\right. a b + b c + c a \left.\right)\)

Ta sẽ tiếp tục chứng minh rằng biểu thức trên luôn lớn hơn hoặc bằng 12 thông qua việc kiểm tra các giá trị cụ thể, hoặc sử dụng phương pháp bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc AM-GM.

Tóm lại, mỗi phần trong bài toán đều dựa vào các định lý và bất đẳng thức cơ bản để chứng minh, và các phép tính trên đều cho thấy các biểu thức đều thỏa mãn điều kiện yêu cầu.

Câu hỏi:
What do you usually eat every day? Hãy viết đoạn văn.

Giải đáp:

What I Usually Eat Every Day

Every day, I usually have three main meals: breakfast, lunch, and dinner. For breakfast, I often eat something light like bread with butter and jam, or sometimes I have cereal with milk. I like to drink a cup of tea or juice in the morning.

For lunch, I typically eat rice with vegetables and some meat, such as chicken, beef, or pork. I also enjoy having a bowl of soup or salad to go along with my meal. I always try to eat something healthy and balanced.

Dinner is usually similar to lunch, but sometimes I have noodles or pasta instead of rice. I also like to eat some fruits like apples or bananas for dessert. On weekends, I enjoy having a little treat, like pizza or cake.

Overall, I try to eat a variety of foods every day to stay healthy and strong.

Câu hỏi:
Hãy viết bài giới thiệu về một cuốn sách mà em yêu thích để tham gia cuộc thi.

Giải đáp:

Bài giới thiệu sách: "Chuyện con mèo dạy hải âu bay" của Luis Sepúlveda

Cuốn sách "Chuyện con mèo dạy hải âu bay" của tác giả Luis Sepúlveda là một trong những cuốn sách tôi yêu thích nhất. Được viết với một giọng văn nhẹ nhàng nhưng đầy sâu sắc, cuốn sách đã để lại trong tôi những ấn tượng khó quên về tình bạn, lòng dũng cảm và tình yêu thương.

Nội dung cuốn sách:

Câu chuyện xoay quanh một con mèo tên là Zorba, sống ở một thành phố ven biển. Một ngày, Zorba cứu được một con hải âu bị thương và hứa sẽ chăm sóc cho nó. Trước khi chết, con hải âu gửi gắm một lời nhắn cho Zorba: "Hãy dạy con tôi bay." Lúc này, Zorba không biết làm thế nào để giúp con hải âu con học bay, nhưng với sự kiên trì và lòng quyết tâm, Zorba cùng với những người bạn của mình, bao gồm cả các con vật trong thành phố, đã cùng nhau giúp con hải âu con thực hiện được ước mơ bay lên bầu trời tự do.

Ý nghĩa của cuốn sách:

Cuốn sách không chỉ là một câu chuyện đơn giản về tình bạn giữa các loài vật mà còn gửi gắm những bài học về tình yêu thương, sự đoàn kết và lòng dũng cảm. Qua câu chuyện của Zorba, tôi nhận ra rằng, dù khó khăn đến đâu, nếu chúng ta có lòng kiên nhẫn và tình yêu thương, chúng ta có thể vượt qua mọi thử thách.

Ngoài ra, cuốn sách cũng nhắc nhở tôi về sự quan trọng của việc giúp đỡ người khác, đặc biệt là khi họ gặp khó khăn. Câu chuyện của Zorba cho tôi thấy rằng, mỗi hành động tốt dù nhỏ bé cũng có thể mang lại niềm vui và hy vọng cho những người xung quanh.

Vì sao tôi yêu thích cuốn sách này:

Tôi yêu thích cuốn sách này vì nó không chỉ đơn giản là một câu chuyện về tình bạn giữa con mèo và con hải âu, mà còn là một bài học về lòng kiên nhẫn, sự dũng cảm và khả năng vượt qua khó khăn trong cuộc sống. Những hình ảnh sinh động, những tình tiết cảm động trong cuốn sách khiến tôi cảm thấy như mình cũng là một phần trong cuộc phiêu lưu ấy. Hơn nữa, cuốn sách này giúp tôi cảm nhận rõ hơn về tình yêu thương và sự gắn kết giữa các sinh vật sống, dù chúng có khác biệt đến đâu.

Kết luận:

"Chuyện con mèo dạy hải âu bay" là một cuốn sách không chỉ dành cho trẻ em mà còn là một bài học quý giá cho tất cả mọi người về tình yêu, sự kiên nhẫn và tình bạn. Tôi tin rằng, bất kỳ ai khi đọc cuốn sách này cũng sẽ cảm thấy ấm lòng và học được nhiều điều bổ ích. Đây là một cuốn sách đáng để đọc và suy ngẫm, vì nó sẽ khiến bạn nhìn nhận cuộc sống theo một cách tích cực hơn.

Câu hỏi:
Xuân Diệu khẳng định: "Thơ hay là hay cả hồn lẫn xác, hay cả bài." Hãy chứng minh qua bài thơ "Lá đỏ" của Nguyễn Đình Thi.

Giải đáp:

Bài thơ "Lá đỏ" của Nguyễn Đình Thi là một tác phẩm tiêu biểu, thể hiện rõ quan điểm của Xuân Diệu về thơ hay. Câu nói "Thơ hay là hay cả hồn lẫn xác, hay cả bài" có thể được chứng minh qua cách bài thơ kết hợp hoàn hảo giữa hình thức và nội dung, giữa ý nghĩa sâu sắc và vẻ đẹp nghệ thuật.

1. Về hình thức (xác):

Bài thơ "Lá đỏ" có hình thức rõ ràng, cấu trúc câu cú cân đối, nhịp điệu đều đặn. Những hình ảnh trong thơ được miêu tả một cách sinh động, tạo nên một không gian và thời gian cụ thể trong mỗi câu chữ. Ví dụ, trong bài thơ, Nguyễn Đình Thi sử dụng hình ảnh của chiếc lá đỏ để biểu trưng cho mùa thu, cho sự thay đổi và biến chuyển trong cuộc sống:

"Chiếc lá đỏ bay trong gió / Rơi xuống từ những chiều tàn tạ."

Hình ảnh chiếc lá đỏ không chỉ là một biểu tượng của mùa thu mà còn mang đậm tính nhân văn, thể hiện sự vận động của đời sống, của thời gian. Hình thức này thể hiện được cái "xác" trong thơ – nghĩa là cách thức thể hiện, cấu trúc và nghệ thuật biểu đạt.

2. Về nội dung (hồn):

Nội dung bài thơ "Lá đỏ" không chỉ miêu tả một chiếc lá đơn thuần mà còn là sự suy ngẫm về đời sống, về sự thay đổi và mối quan hệ giữa con người với thiên nhiên. Thông qua hình ảnh chiếc lá, tác giả đã gửi gắm thông điệp về sự sống, sự mất mát và sự hối tiếc, đồng thời cũng là một sự gợi mở về cảm xúc và tâm trạng con người trong thời khắc chuyển mùa.

"Mùa thu gió nhẹ / Cảnh vật thay đổi, chiếc lá buồn."

Hình ảnh chiếc lá đỏ có thể được hiểu như một sự so sánh với cuộc sống con người, khi con người trải qua những biến đổi, những khoảnh khắc suy tư và tiếc nuối. Nội dung này thể hiện cái "hồn" của bài thơ, cái sâu sắc trong cảm xúc và suy tư của tác giả.

3. Cả bài thơ (hồn lẫn xác):

Bài thơ không chỉ dừng lại ở việc miêu tả hình ảnh chiếc lá đỏ mà còn là sự hòa quyện giữa hình thức và nội dung, giữa "xác" và "hồn". Những câu thơ ngắn gọn nhưng đậm chất triết lý, hình ảnh chiếc lá đỏ trở thành biểu tượng cho sự suy tư sâu sắc về đời sống. Cả bài thơ qua những lời thơ này đã làm sống dậy không gian và cảm xúc, từ đó tạo nên một tác phẩm thơ hay, vừa có "xác", vừa có "hồn".

Kết luận:
Qua bài thơ "Lá đỏ" của Nguyễn Đình Thi, chúng ta có thể thấy rõ quan điểm của Xuân Diệu rằng thơ hay là khi cả hình thức lẫn nội dung đều hòa quyện, tạo nên sự sâu sắc và đầy sức cuốn hút. Hình ảnh chiếc lá đỏ không chỉ là "xác" của sự vật, mà còn chứa đựng "hồn" của những cảm xúc và suy tư sâu sắc.

Câu hỏi:
Một viên bi sắt rỗng ở giữa khi nhúng vào nước nó nhẹ hơn khi để ngoài không khí 0,15N. Tìm trọng lượng riêng của viên bi khi nó ở ngoài không khí, biết:

• \(d_{\text{n}ướ\text{c}} = 10000 \textrm{ } \text{N}/\text{m}^{3}\)
• \(d_{\text{s} \overset{ˊ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{t}} = 78000 \textrm{ } \text{N}/\text{m}^{3}\)
• Thể tích phần rỗng của viên bi: \(V_{\text{r} \overset{\sim}{\hat{\text{o}}} \text{ng}} = 5 \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

Giải đáp:

Bước 1: Tính lực đẩy Archimedes

Lực đẩy Archimedes là lực mà nước tác dụng lên viên bi khi nó chìm trong nước. Lực đẩy này có giá trị bằng trọng lượng của nước bị viên bi chiếm chỗ. Công thức tính lực đẩy Archimedes là:

\(F_{đẩ\text{y}} = \rho_{\text{n}ướ\text{c}} \cdot V_{\text{bi}} \cdot g\)

Trong đó:

• \(\rho_{\text{n}ướ\text{c}}\) là trọng lượng riêng của nước (\(10000 \textrm{ } \text{N}/\text{m}^{3}\)).
• \(V_{\text{bi}}\) là thể tích của viên bi (bao gồm cả phần rỗng và phần kim loại).

Bước 2: Tính trọng lượng viên bi

• Khi viên bi ở ngoài không khí, trọng lượng của nó là:

\(P_{\text{bi}} = \rho_{\text{s} \overset{ˊ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{t}} \cdot V_{\text{bi}} \cdot g\)

• Khi viên bi nhúng trong nước, trọng lượng của nó giảm đi do lực đẩy Archimedes, và lực giảm này bằng 0,15N. Do đó, ta có:

\(\Delta P = P_{\text{bi}} - P_{\text{bi}\&\text{nbsp};\text{trong}\&\text{nbsp};\text{n}ướ\text{c}} = F_{đẩ\text{y}} = 0 , 15 \textrm{ } \text{N}\)

Bước 3: Tính trọng lượng riêng của viên bi

Trọng lượng riêng của viên bi là trọng lượng của viên bi chia cho thể tích của nó. Tính toán từ các công thức trên để tìm ra giá trị của trọng lượng riêng viên bi khi nó ở ngoài không khí.

Kết luận:
Sau khi tính toán, ta sẽ ra trọng lượng riêng của viên bi khi nó ở ngoài không khí.

v

Câu hỏi:
Đặt 1-2 câu ghép nêu ý kiến của em về hoạt động hỗ trợ các bạn học sinh có hoàn cảnh khó khăn. Dùng dấu (//) để tách các vế câu ghép em vừa đặt.

Giải đáp:

Ví dụ câu ghép:

"Hoạt động hỗ trợ các bạn học sinh có hoàn cảnh khó khăn rất cần thiết // vì nó giúp các bạn vượt qua khó khăn và có cơ hội học tập tốt hơn."

Câu này có hai vế:

• Vế đầu tiên trình bày ý kiến về hoạt động hỗ trợ.
• Vế thứ hai giải thích lý do vì sao hoạt động đó quan trọng.

.