Bài toán

Cho tam giác ABC có AB = 8 cm.
Trên AC lấy điểm D sao cho AD gấp 3 lần DC.
Trên BC lấy điểm E sao cho BE = 1/3 EC.
Kéo dài DE cắt AB tại G.
Tính độ dài BG.

Phân tích và giải

Bước 1: Gán biến và xác định tỉ lệ đoạn thẳng

• Gọi AC = x (cm).
• Vì AD gấp 3 lần DC, tức là AD = 3 * DC.
  Vì D nằm trên AC, ta có:
  AD + DC = AC = x
  AD = 3 * DC
  => 3 * DC + DC = x
  => 4 * DC = x
  => DC = x/4, AD = 3x/4
• Gọi BC = y (cm).
• Vì BE = 1/3 EC, tức là BE = (1/3) * EC.
  BE + EC = BC = y
  BE = (1/3) * EC
  => (1/3) * EC + EC = y
  => (4/3) * EC = y
  => EC = (3/4) y, BE = (1/4) y

Bước 2: Sử dụng tọa độ để giải

Để dễ tính, ta đặt hệ tọa độ trên mặt phẳng:

• Đặt điểm A tại gốc tọa độ O(0,0).
• Đặt điểm B trên trục Ox tại (8,0) vì AB = 8 cm.
• Gọi tọa độ điểm C là (x_c, y_c) chưa biết.

Bước 3: Tọa độ điểm D trên AC

• AC là đoạn thẳng từ A(0,0) đến C(x_c, y_c).
• D chia AC theo tỉ lệ AD : DC = 3 : 1, tức D chia AC thành 4 phần, D cách A 3 phần.

Vậy tọa độ D là:
\(D = \left(\right. \frac{3}{4} x_{c} , \frac{3}{4} y_{c} \left.\right)\)

Bước 4: Tọa độ điểm E trên BC

• BC là đoạn thẳng từ B(8,0) đến C(x_c, y_c).
• E chia BC theo tỉ lệ BE : EC = 1 : 3, tức E cách B 1 phần trong 4 phần.

Vậy tọa độ E là:
\(E = \left(\right. 8 + \frac{1}{4} \left(\right. x_{c} - 8 \left.\right) , 0 + \frac{1}{4} \left(\right. y_{c} - 0 \left.\right) \left.\right) = \left(\right. 8 + \frac{x_{c} - 8}{4} , \frac{y_{c}}{4} \left.\right) = \left(\right. \frac{3 \cdot 8 + x_{c}}{4} , \frac{y_{c}}{4} \left.\right) = \left(\right. \frac{24 + x_{c}}{4} , \frac{y_{c}}{4} \left.\right)\)

Bước 5: Phương trình đường thẳng DE

• Vector DE = E - D =
  \(\left(\right. \frac{24 + x_{c}}{4} - \frac{3}{4} x_{c} , \frac{y_{c}}{4} - \frac{3}{4} y_{c} \left.\right) = \left(\right. \frac{24 + x_{c} - 3 x_{c}}{4} , \frac{y_{c} - 3 y_{c}}{4} \left.\right) = \left(\right. \frac{24 - 2 x_{c}}{4} , \frac{- 2 y_{c}}{4} \left.\right) = \left(\right. 6 - \frac{x_{c}}{2} , - \frac{y_{c}}{2} \left.\right)\)
• Phương trình tham số của đường thẳng DE:
  \(\overset{⃗}{r} = D + t \cdot \overset{\rightarrow}{D E} = \left(\right. \frac{3}{4} x_{c} , \frac{3}{4} y_{c} \left.\right) + t \cdot \left(\right. 6 - \frac{x_{c}}{2} , - \frac{y_{c}}{2} \left.\right)\)

Bước 6: Tìm giao điểm G của DE với AB

• AB nằm trên trục Ox, nên y = 0.
• G có tọa độ (x_G, 0).
• Từ phương trình tham số của DE, tọa độ y của điểm trên DE là:
  \(y = \frac{3}{4} y_{c} + t \cdot \left(\right. - \frac{y_{c}}{2} \left.\right) = \frac{3}{4} y_{c} - \frac{t y_{c}}{2}\)
• Để y = 0:
  \(\frac{3}{4} y_{c} - \frac{t y_{c}}{2} = 0 \Rightarrow y_{c} \left(\right. \frac{3}{4} - \frac{t}{2} \left.\right) = 0\)
• Vì y_c ≠ 0 (C không nằm trên AB), nên:
  \(\frac{3}{4} - \frac{t}{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{4} \times 2 = \frac{3}{2} = 1.5\)
• Tọa độ x của G:
  \(x_{G} = \frac{3}{4} x_{c} + t \cdot \left(\right. 6 - \frac{x_{c}}{2} \left.\right) = \frac{3}{4} x_{c} + 1.5 \cdot \left(\right. 6 - \frac{x_{c}}{2} \left.\right)\)

\(= \frac{3}{4} x_{c} + 1.5 \times 6 - 1.5 \times \frac{x_{c}}{2} = \frac{3}{4} x_{c} + 9 - \frac{3}{4} x_{c} = 9\)

• Vậy:
  \(x_{G} = 9\)

Bước 7: Tính BG

• B có tọa độ (8,0), G có tọa độ (9,0).
• Độ dài BG = |9 - 8| = 1 cm.

Kết luận

Độ dài BG = 1 cm.

Nếu bạn muốn, mình có thể vẽ hình minh họa hoặc giải thích thêm chi tiết!

Để giải bài toán:

a) Xác định nguyên tố A và B

• Nguyên tử của nguyên tố A có tổng số hạt (proton + neutron + electron) là 60, khối lượng nguyên tử A không quá 40 đvC.
  Gọi số proton (cũng là số hạt mang điện dương) của A là \(Z_{A}\), số neutron là \(N_{A}\). Vì nguyên tử trung hòa nên số electron = số proton = \(Z_{A}\).
  Tổng số hạt: \(2 Z_{A} + N_{A} = 60\).
  Khối lượng nguyên tử gần bằng số proton + neutron: \(Z_{A} + N_{A} \leq 40\).
• Nguyên tử của nguyên tố B có tổng số hạt ít hơn nguyên tử A là 20 hạt, tức:
  \(2 Z_{B} + N_{B} = 60 - 20 = 40\).
• Trong hạt nhân B, số hạt mang điện (proton) ít hơn số hạt không mang điện (neutron) là 1 hạt:
  \(N_{B} - Z_{B} = 1\).

Từ đó ta có hệ phương trình cho B:

Thay \(N_{B} = Z_{B} + 1\) vào phương trình đầu:

Suy ra:

Khối lượng nguyên tử B: \(A_{B} = Z_{B} + N_{B} = 27\).

Nguyên tố có \(Z = 13\) là Nhôm (Al), khối lượng nguyên tử 27 đvC.

Tiếp theo, tìm \(Z_{A}\) và \(N_{A}\):

và

Thay \(N_{A} = 60 - 2 Z_{A}\) vào bất đẳng thức:

Nhưng \(Z_{A}\) phải là số nguyên tố, và tổng \(2 Z_{A} + N_{A} = 60\) nên \(N_{A} = 60 - 2 Z_{A}\).

Thử \(Z_{A} = 20\):

Khối lượng nguyên tử:

Nguyên tố có \(Z = 20\) là Canxi (Ca), khối lượng nguyên tử 40 đvC.

Kết luận:

• Nguyên tố A là Canxi (Ca), \(Z = 20\), \(A = 40\).
• Nguyên tố B là Nhôm (Al), \(Z = 13\), \(A = 27\)6815.

b) Tính khối lượng mỗi kim loại trong hỗn hợp X

• Hỗn hợp X gồm A (Ca) và B (Al), tổng khối lượng 9,4 g.
• Phản ứng với nước dư, thoát ra 6,272 lít khí (H2) ở điều kiện tiêu chuẩn (đktc).
• Thể tích khí H2: 6,272 lít = 0,28 mol (vì 1 mol khí ở đktc = 22,4 lít).

Phản ứng:

• Ca + 2H2O → Ca(OH)2 + H2 (1 mol Ca cho 1 mol H2)
• 2Al + 6H2O → 2Al(OH)3 + 3H2 (2 mol Al cho 3 mol H2, tức 1 mol Al cho 1.5 mol H2)

Gọi số mol Ca là \(x\), số mol Al là \(y\).

Phương trình lượng H2:

Khối lượng hỗn hợp:

Giải hệ:

Từ phương trình đầu:

Thay vào phương trình thứ hai:

Tính \(x\):

Khối lượng từng kim loại:

Tóm tắt đáp án

Kết luận:
a) Nguyên tố A là Canxi (Ca), nguyên tố B là Nhôm (Al).
b) Trong 9,4 g hỗn hợp, có khoảng 7,93 g Ca và 1,47 g

Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn gạch chân dưới đại từ trong đoạn văn bạn đưa nhé.

Đoạn văn có đại từ được gạch chân

Một hôm, Ốc Sên con hỏi mẹ: “Mẹ ơi, tại sao chúng ta vừa mới sinh ra đã phải mang một cái vỏ vừa cứng, vừa nặng trên lưng thế hả mẹ?”

Ốc Sên mẹ đáp: “Bởi vì cơ thể của chúng ta không có xương đỡ nên chỉ có thể bò, nhưng chúng ta lại không bò nhanh được nên phải cần có vỏ để bảo vệ con ạ.”

Đại từ trong đoạn văn là:

• mẹ (xưng hô)
• chúng ta (đại từ nhân xưng số nhiều)
• con (xưng hô)
• Mẹ (xưng hô)

Bạn chỉ cần gạch chân những từ này trong đoạn văn là đúng yêu cầu nhé!

Nếu bạn cần mình giúp bạn định dạng hoặc làm rõ thêm, cứ hỏi nhé! Chúc bạn học tốt!

Để giải câu c) ý 2 bài toán về tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O), với các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H, ta có:

Câu c) ý 2:

• Tia KD cắt đường tròn (O) tại điểm I.
• Đường thẳng AI cắt đường thẳng DF tại điểm M.
• Chứng minh: \(H D \cdot F A = H E \cdot F D\) và M là trung điểm của đoạn thẳng DF.

Hướng giải

1. Chứng minh \(H D \cdot F A = H E \cdot F D\):
2. • Sử dụng tính chất các đoạn thẳng liên quan đến các đường cao trong tam giác nội tiếp đường tròn.
   • Áp dụng định lý về các đoạn thẳng trong tam giác với các đường cao và các điểm trên đường tròn ngoại tiếp.
   • Có thể dùng các tam giác đồng dạng hoặc các tứ giác nội tiếp để thiết lập tỉ lệ đoạn thẳng.
   • Cụ thể, từ các điểm H, D, E, F, A, ta có thể xét các tam giác có góc bằng nhau hoặc tứ giác nội tiếp để suy ra tỉ lệ đoạn thẳng tương ứng.
3. Chứng minh M là trung điểm của DF:
4. • Vì M là giao điểm của AI và DF, ta cần chứng minh M chia DF thành hai đoạn bằng nhau.
   • Có thể sử dụng tính chất các đường phân giác hoặc các tam giác đồng dạng liên quan đến điểm I trên đường tròn (O).
   • Ngoài ra, có thể dùng tính chất đối xứng hoặc các hệ thức về đoạn thẳng trong tam giác nội tiếp để chứng minh M là trung điểm.

Tóm tắt ý chính

• Sử dụng tính chất tứ giác nội tiếp và các tam giác đồng dạng liên quan đến các điểm H, D, E, F, A, I.
• Áp dụng các định lý về đường cao, đường phân giác, và các đoạn thẳng trong tam giác nội tiếp.
• Thiết lập các tỉ lệ đoạn thẳng để chứng minh \(H D \cdot F A = H E \cdot F D\).
• Chứng minh M là trung điểm của DF dựa trên giao điểm của AI với DF và các tính chất hình học liên quan.

Nếu bạn cần chi tiết từng bước chứng minh cụ thể, bạn có thể cung cấp thêm dữ liệu hình vẽ hoặc yêu cầu hướng dẫn từng bước. Tuy nhiên, các bước trên là hướng tiếp cận chuẩn cho bài toán này dựa trên các kiến thức về tam giác nội tiếp, đường cao, và tứ giác nội tiếp6.

Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn giải bài toán về con chim bắc cực lao từ trên cao xuống mặt đất nhé.

Bài toán

Con chim bắc cực lao từ độ cao h xuống mặt đất, vận tốc ban đầu khi lao xuống là 0 (giả sử chim bắt đầu rơi tự do), gia tốc trọng trường g = 9.8 m/s².

a] Lao từ độ cao 522m

Tính thời gian t để chim chạm đất.

b] Lao từ độ cao 4182m, vận tốc cuối đạt 82 m/s

Tính thời gian t để chim chạm đất.

Phân tích và giải

a] Tính thời gian rơi tự do từ độ cao 522m

Công thức rơi tự do:

Giải t:

Đáp án a: Chim mất khoảng 10.32 giây để chạm đất.

b] Lao từ độ cao 4182m, vận tốc cuối đạt 82 m/s

Ở đây, vận tốc cuối v = 82 m/s, độ cao h = 4182 m.

Kiểm tra xem vận tốc cuối có phù hợp với rơi tự do không:

Vận tốc cuối khi rơi tự do từ độ cao h:

Vận tốc 82 m/s nhỏ hơn nhiều vận tốc rơi tự do từ 4182m (286.4 m/s), có thể chim không rơi tự do mà có vận tốc ban đầu khác 0 hoặc bị lực cản không khí.

Giả sử chim được thả từ độ cao 4182m với vận tốc ban đầu v0 = 0, thời gian rơi:

Nếu vận tốc cuối là 82 m/s, ta có thể tính thời gian bằng công thức vận tốc:

Kiểm tra quãng đường rơi trong thời gian này:

Chim chỉ rơi được 343.3m trong 8.37 giây, không phải 4182m.

Kết luận

• Nếu chim rơi tự do từ 4182m, thời gian rơi khoảng 29.22 giây, vận tốc cuối khoảng 286.4 m/s.
• Vận tốc 82 m/s có thể là vận tốc chim đạt được trong một giai đoạn lao xuống, không phải vận tốc cuối khi chạm đất.

Tóm tắt đáp án

Nếu bạn cần giải thích thêm hoặc bài toán có giả thiết khác, bạn cứ hỏi nhé!

Phân tích bài toán

• Công suất dây đốt: \(P\)
• Nhiệt độ cân bằng (nhiệt độ cuối cùng của bình): \(T\)
• Nhiệt độ môi trường (giả sử): \(T_{0}\)
• Công suất truyền nhiệt giữa bình và môi trường tỉ lệ thuận với hiệu nhiệt độ giữa chúng:
  \(P_{\text{m} \hat{\text{o}} \text{i}\&\text{nbsp};\text{tr}ườ\text{ng}} = k \left(\right. T - T_{0} \left.\right)\)
  với \(k\) là hằng số tỉ lệ.
• Khi dây đốt hoạt động, công suất dây đốt \(P\) được sử dụng để cân bằng với công suất truyền nhiệt ra môi trường, tức là:
  \(P = k \left(\right. T - T_{0} \left.\right)\)

Dữ liệu bài toán

• Khi \(P = 75 W\), \(T = 30^{\circ} C\)
• Khi \(P = 225 W\), \(T = 40^{\circ} C\)
• Yêu cầu: Tìm \(P\) khi \(T = 55^{\circ} C\)

Giải

Từ công thức cân bằng công suất:

Từ hai điều kiện đã cho:

1. \(75 = k \left(\right. 30 - T_{0} \left.\right)\)
2. \(225 = k \left(\right. 40 - T_{0} \left.\right)\)

Chia (2) cho (1):

Giải phương trình:

Thay \(T_{0} = 25\) vào (1):

Tính công suất khi \(T = 55^{\circ} C\):

Kết luận:

Công suất dây đốt cần để nhiệt độ cân bằng là 55 độ C là 450W.

Đáp án: A. 450W

Để giải bài toán:

Bài toán:
Trên quãng đường AB có 2 xe đi ngược chiều nhau, xe 1 khởi hành từ A đến B, xe 2 khởi hành từ B đến A. Hai xe khởi hành cùng một lúc và gặp nhau sau 2 giờ. Biết xe 2 đi nhanh hơn xe 1 là 10 km/h. Tính vận tốc mỗi xe.

Phân tích và lời giải

Gọi:

• Vận tốc xe 1 là \(x\) km/h
• Vận tốc xe 2 là \(x + 10\) km/h (vì xe 2 nhanh hơn xe 1 10 km/h)
• Quãng đường AB là \(s\) km (chưa biết)

Hai xe đi ngược chiều và gặp nhau sau 2 giờ, tức là tổng quãng đường hai xe đi được trong 2 giờ là toàn bộ quãng đường AB:

Tuy nhiên, vì không biết \(s\), ta chỉ có thể tìm vận tốc theo điều kiện gặp nhau sau 2 giờ.

Nhưng từ công thức tổng vận tốc khi hai xe đi ngược chiều gặp nhau sau thời gian \(t\):

Ở đây:

Đúng như biểu thức trên.

Như vậy, vận tốc hai xe thỏa mãn:

Nếu biết quãng đường \(s\), ta có thể tính được \(x\).

Ví dụ minh họa (giả sử quãng đường AB là 100 km)

Giả sử \(s = 100\) km, ta có:

Vậy:

• Vận tốc xe 1: 20 km/h
• Vận tốc xe 2: 30 km/h

Kết luận

• Gọi vận tốc xe 1 là \(x\) km/h, xe 2 là \(x + 10\) km/h
• Hai xe gặp nhau sau 2 giờ nên tổng vận tốc là \(\frac{s}{2} = 2 x + 10\)
• Nếu biết quãng đường AB, ta giải được \(x\). Nếu không biết \(s\), ta chỉ biểu diễn vận tốc theo \(x\) như trên.

Công thức tổng quát:

Đây là phương pháp giải bài toán chuyển động ngược chiều với điều kiện vận tốc chênh lệch và thời gian gặp nhau128.

Citations:

Chào bạn! Mình sẽ giúp bạn tính tổng sau:

Bài toán

Tính tổng:

Phân tích bài toán

• Ở đây, tử số của mỗi phân số là \(5^{2} = 25\).
• Mẫu số có vẻ là các số có dạng 12, 132, 352, ..., 1612.

Hãy xem xét các mẫu số kỹ hơn:

• 12 = 1 2
• 132 = 1 3 2
• 352 = 3 5 2
• 1612 = 1 6 1 2

Nhưng mẫu số có vẻ không theo quy luật dễ nhận thấy. Có thể bạn viết thiếu dấu phân cách hoặc nhầm lẫn trong mẫu số.

Bạn có thể kiểm tra lại mẫu số các phân số trong tổng? Ví dụ, có thể mẫu số là các số có dạng: 12, 132, 352, 1612... hoặc có thể là các số khác.

Giả sử mẫu số là các số có dạng: \(1 \times 2 , 1 \times 3 \times 2 , 3 \times 5 \times 2 , 1 \times 6 \times 1 \times 2\) thì rất khó xác định quy luật.

Nếu bạn muốn tính tổng dạng:

với \(n_{i}\) là các số bạn cho, bạn chỉ cần thay các giá trị vào và cộng lại.

Nếu bạn có thể cung cấp thêm thông tin về quy luật mẫu số hoặc số hạng tổng, mình sẽ giúp bạn tính chính xác hơn nhé!

Bạn có thể sửa lại câu hỏi hoặc gửi thêm chi tiết để mình hỗ trợ tốt nhất!

Câu 3. (3,0 điểm)

Cho điểm O trên đường thẳng xy. Trên tia Ox lấy điểm A sao cho OA = 3 cm. Trên tia Oy lấy điểm B sao cho OB = 3 cm. Vẽ điểm C sao cho B là trung điểm của đoạn thẳng OC.

a) Điểm O có phải là trung điểm của đoạn thẳng AB không? Vì sao?

• Vì A nằm trên tia Ox và B nằm trên tia Oy, mà Ox và Oy là hai tia vuông góc (hoặc ít nhất là hai tia khác phía so với O), nên A và B nằm ở hai phía khác nhau so với điểm O, tức O nằm giữa A và B trên đường thẳng xy.
• Do OA = OB = 3 cm, nên O cách đều hai điểm A và B.
• Theo định nghĩa trung điểm, điểm nằm giữa hai điểm và cách đều hai điểm đó là trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm đó.
• Vậy O là trung điểm của đoạn thẳng AB6.

b) Tính độ dài AC

• Vì B là trung điểm của đoạn thẳng OC, nên OB = BC.
• Ta có OB = 3 cm, nên BC = 3 cm.
• Đoạn AC gồm hai phần: từ A đến O và từ O đến C.
• Độ dài AO = 3 cm (đã cho).
• Độ dài OC = OB + BC = 3 + 3 = 6 cm.
• Vì O nằm giữa A và B, và B nằm giữa O và C, ta cần tính AC = AO + OC = 3 + 6 = 9 cm.

Tuy nhiên, vì A nằm trên tia Ox, B và C nằm trên tia Oy, nên A và C không nằm trên cùng một đường thẳng thẳng hàng, mà tạo thành hình tam giác vuông tại O.

Do đó, để tính AC, ta dùng định lý Pythagoras:

• OA = 3 cm (trên Ox)
• OC = OB + BC = 3 + 3 = 6 cm (trên Oy)
• AC = \(\sqrt{O A^{2} + O C^{2}} = \sqrt{3^{2} + 6^{2}} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3 \sqrt{5}\) cm.

Vậy AC = \(3 \sqrt{5}\) cm ≈ 6,71 cm.

Tóm tắt:

Giải thích thêm về trung điểm: Trung điểm của đoạn thẳng là điểm nằm chính giữa đoạn thẳng đó, chia đoạn thẳng thành hai phần bằng nhau về độ dài147.

v