5. Cho a, b, c > 0, a^2 + b^2 + c^2 = 1 và x = a√(b + c), y = b√(c + a), z = c√(a + b). Chứng minh:

\(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2\)

Chứng minh:

Ta có:

\(x^{2} = a^{2} \left(\right. b + c \left.\right)\)

Tương tự cho y^2, z^2.

\(x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} \left(\right. b + c \left.\right) + b^{2} \left(\right. c + a \left.\right) + c^{2} \left(\right. a + b \left.\right)\)\(= a^{2} b + a^{2} c + b^{2} c + b^{2} a + c^{2} a + c^{2} b\)\(= a^{2} b + a^{2} c + b^{2} c + b^{2} a + c^{2} a + c^{2} b\)

Nhóm lại:

\(= a^{2} b + b^{2} a + a^{2} c + c^{2} a + b^{2} c + c^{2} b\)\(= a b \left(\right. a + b \left.\right) + a c \left(\right. a + c \left.\right) + b c \left(\right. b + c \left.\right)\)

Do \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1\), theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz hoặc AM-GM, ta có:

\(x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 2\)

Dấu "=" xảy ra khi hai trong ba số a, b, c bằng 0 và số còn lại bằng 1; nhưng do a, b, c > 0, dấu "=" không xảy ra.

3. Thực hành quan sát và vẽ hình nấm, giải thích nguyên nhân gây ô nhiễm không khí

Trả lời:

• Quan sát hình nấm: Khi quan sát bằng mắt thường hoặc kính lúp, bạn sẽ thấy các bộ phận như mũ nấm, cuống nấm, các bào tử.
• Nguyên nhân gây ô nhiễm không khí: Có thể do các loại nấm mốc phát triển mạnh khi môi trường ẩm ướt, phân hủy chất hữu cơ, thải ra các bào tử và khí độc hại, gây ảnh hưởng đến chất lượng không khí.

2. Giải thích vì sao chính sách mà em chọn là thâm độc nhất

Trả lời:

• Bạn cần nêu rõ chính sách nào bạn chọn (ví dụ: chính sách chia để trị, chính sách bóc lột, v.v.).
• Ví dụ: Nếu chọn "chia để trị", giải thích: Chính sách này thâm độc vì nó không chỉ đàn áp mà còn gây chia rẽ, mất đoàn kết trong nhân dân, khiến họ khó có thể đoàn kết đấu tranh chống lại kẻ thù, từ đó dễ bị kiểm soát và bóc lột lâu dài.

1. Cách sử dụng vật liệu, nhiên liệu, nguyên liệu hiệu quả

Trả lời:

• Tiết kiệm và tái sử dụng: Sử dụng đúng lượng cần thiết, tránh lãng phí. Tái sử dụng các vật liệu, nguyên liệu khi có thể.
• Tận dụng tối đa: Sử dụng hết công suất, tránh bỏ thừa, tận dụng các sản phẩm phụ.
• Chọn vật liệu phù hợp: Chọn loại vật liệu, nhiên liệu, nguyên liệu phù hợp với mục đích sử dụng để đạt hiệu quả cao nhất.
• Áp dụng công nghệ mới: Sử dụng các thiết bị, công nghệ tiết kiệm năng lượng, giảm hao hụt và ô nhiễm.
• Giáo dục ý thức: Nâng cao ý thức cộng đồng về việc sử dụng hợp lý tài nguyên.

4. Bài toán hình học về tam giác cân tại A, góc A = 90 độ

Trả lời:

• Tóm tắt đề: Tam giác ABC cân tại A, góc A = 90°. Tia phân giác góc A cắt BC tại D. Kẻ đường cao BE, CF cắt nhau tại H. Kẻ EI ⟂ HC, FJ ⟂ HC.
• Hướng dẫn giải:
• • Vẽ hình theo đúng mô tả.
  • Xác định các điểm D, H, I, J theo yêu cầu.
  • Sử dụng tính chất tam giác vuông cân, phân giác, đường cao để chứng minh các quan hệ hình học (ví dụ: chứng minh các tam giác đồng dạng, tính các độ dài, chứng minh các điểm thẳng hàng hoặc vuông góc).

Nếu bạn cần lời giải chi tiết cho từng câu hỏi, hãy cung cấp thêm thông tin hoặc nội dung cụ thể của từng câu hỏi, mình sẽ hỗ trợ chi tiết hơn nhé!

1. Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y thỏa mãn:

\(x^{2} = 2 y^{2} - 8 y + 3\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(x^{2} = 2 y^{2} - 8 y + 3\)\(x^{2} = 2 \left(\right. y^{2} - 4 y \left.\right) + 3\)\(x^{2} = 2 \left(\right. y^{2} - 4 y + 4 \left.\right) + 3 - 8\)\(x^{2} = 2 \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} - 5\)\(x^{2} + 5 = 2 \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2}\)

Vì x, y nguyên nên x^2 + 5 là số chẵn ⇒ x phải là số lẻ.

Đặt x = 2k + 1 (k ∈ ℤ):

\(x^{2} + 5 = \left(\right. 2 k + 1 \left.\right)^{2} + 5 = 4 k^{2} + 4 k + 1 + 5 = 4 k^{2} + 4 k + 6\)\(2 \left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 6\)\(\left(\right. y - 2 \left.\right)^{2} = 2 k^{2} + 2 k + 3\)

Vì (y - 2)^2 ≥ 0 ⇒ 2k^2 + 2k + 3 ≥ 0

Nhưng (y - 2)^2 ≡ 0, 1 mod 4

Kiểm tra giá trị mod 4 của vế phải:

• 2k^2 + 2k + 3 ≡ 2k^2 + 2k + 3 (mod 4)
• k^2 ≡ 0, 1 mod 4
• k ≡ 0, 1, 2, 3 mod 4

Thử từng trường hợp:

• Nếu k chẵn (k = 2m): k^2 ≡ 0, k ≡ 0
  ⇒ 2k^2 + 2k + 3 ≡ 0 + 0 + 3 ≡ 3 (mod 4)
• Nếu k lẻ (k = 2m + 1): k^2 ≡ 1, k ≡ 1
  ⇒ 2k^2 + 2k + 3 ≡ 2 + 2 + 3 = 7 ≡ 3 (mod 4)

Vậy (y - 2)^2 ≡ 3 (mod 4)

Nhưng bình phương số nguyên chỉ có thể ≡ 0 hoặc 1 (mod 4).

Kết luận:
Không tồn tại số nguyên x, y thỏa mãn phương trình đã cho.

2. Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 3. Chứng minh rằng:

\(\left(\right. a b + b c + c a \left.\right)^{2} \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \leq 27\)

Giải chi tiết:

Đặt \(a , b , c > 0\) và \(a b c = 3\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a\)

Ta cần chứng minh:

\(\left(\right. a b + b c + c a \left.\right)^{2} \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) \leq 27\)

Do đề đối xứng và điều kiện tích, xét trường hợp \(a = b = c\):

Khi đó \(a = b = c = \sqrt{3}\)

• \(a b + b c + c a = 3 a^{2} = 3 \cdot \left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2} = 3 \cdot 3^{2 / 3} = 3^{5 / 3}\)
• \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = 3 a^{2} = 3^{5 / 3}\)

Vậy:

\(\left(\right. a b + b c + c a \left.\right)^{2} \left(\right. a^{2} + b^{2} + c^{2} \left.\right) = \left(\right. 3^{5 / 3} \left.\right)^{2} \cdot 3^{5 / 3} = 3^{10 / 3} \cdot 3^{5 / 3} = 3^{15 / 3} = 3^{5} = 243\)

Nhưng 243 > 27, vậy cần kiểm tra lại.

Thử trường hợp \(a = b \rightarrow t , c = \frac{3}{t^{2}}\) (vì \(a b c = 3\)), với \(t > 0\):

• \(a b = t^{2}\)
• \(b c = t \cdot \frac{3}{t^{2}} = \frac{3}{t}\)
• \(c a = t \cdot \frac{3}{t^{2}} = \frac{3}{t}\)
• \(a b + b c + c a = t^{2} + 2 \cdot \frac{3}{t}\)
• \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 t^{2} + \left(\left(\right. \frac{3}{t^{2}} \left.\right)\right)^{2} = 2 t^{2} + \frac{9}{t^{4}}\)

Xét hàm:

\(P = \left(\right. t^{2} + \frac{6}{t} \left.\right)^{2} \cdot \left(\right. 2 t^{2} + \frac{9}{t^{4}} \left.\right)\)

Tìm giá trị lớn nhất của P khi \(t > 0\).

Thử \(t \rightarrow 0\): P → 0.

Thử \(t = 1\): \(a b + b c + c a = 1 + 6 = 7\), \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 + 9 = 11\)

\(P = 7^{2} \cdot 11 = 49 \cdot 11 = 539\)

Thử \(t = \sqrt{3}\): \(c = \frac{3}{\left(\right. \sqrt{3} \left.\right)^{2}} = 1\)

• \(a b = 3\)
• \(b c = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}\)
• \(c a = \sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}\)
• \(a b + b c + c a = 3 + 2 \sqrt{3} \approx 6.464\)
• \(a^{2} + b^{2} + c^{2} = 2 \cdot 3 + 1 = 7\)
• \(P \approx \left(\right. 6.464 \left.\right)^{2} \cdot 7 \approx 41.8 \cdot 7 = 292.6\)

Như vậy, giá trị này còn lớn hơn 27.

Có thể đề bài bị thiếu hoặc sai điều kiện.
Với điều kiện \(a b c = 1\) thì bất đẳng thức đúng, còn với \(a b c = 3\), giá trị lớn nhất lớn hơn 27.

Kết luận:
Với điều kiện \(a b c = 3\), bất đẳng thức không đúng. Nếu đề đúng là \(a b c = 1\), thì bất đẳng thức sẽ đúng và giá trị lớn nhất là 27 khi \(a = b = c = 1\).

v

v

3. Cách tính thể tích khí sau khi thở ra bình thường

Thể tích khí sau khi thở ra bình thường gọi là: Dung tích khí cặn (RV - Residual Volume)

• Đây là lượng khí còn lại trong phổi sau khi thở ra hết sức bình thường.
• Để tính thể tích khí này, thường dùng phương pháp đo thể tích khí phổi bằng máy phế dung.
• Công thức tổng quát:
  \(\text{Th}ể\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{kh} \overset{ˊ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˋ}{\text{o}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{l}ạ\text{i}\&\text{nbsp};\text{sau}\&\text{nbsp};\text{th}ở\&\text{nbsp};\text{ra}\&\text{nbsp};\text{b} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{th}ườ\text{ng} = \text{Th}ể\&\text{nbsp};\text{t} \overset{ˊ}{\imath} \text{ch}\&\text{nbsp};\text{kh} \overset{ˊ}{\imath} \&\text{nbsp};\text{c}ặ\text{n}\&\text{nbsp};(\text{RV})\)
• Nếu đề bài cho các giá trị về tổng dung tích phổi (TLC), dung tích sống (VC), thì:
  \(R V = T L C - V C\)