Bước 1: Đặt ẩn để rút gọn

Giả sử:

• Gọi \(a = 423134\), thì \(a - 1 = 423133\)
• Gọi \(b = 846267\)
  → Tử số:

\(a \times b - \left(\right. a - 1 \left.\right) = a b - a + 1\)

Tương tự:

• Gọi \(c = 846207\), \(d = 423158\)
  → Mẫu số:

\(c \times d + d + 26 = c d + d + 26 = d \left(\right. c + 1 \left.\right) + 26\)

(Bởi vì 423184 = 423158 + 26)

Bước 2: Biến đổi lại biểu thức

Biểu thức ban đầu trở thành:

\(\left(\right. a b - a + 1 \left.\right) : \left(\right. c d + d + 26 \left.\right) \times 2026\)

Ta thử thay giá trị cụ thể để kiểm tra quy luật:

Bước 3: Ước lượng nhanh – dùng máy tính hợp lý

Dùng máy tính để kiểm tra nhanh:

Tử số:

\(423134 \times 846267 = 357943356078 \Rightarrow 357943356078 - 423133 = 357942932945\)

Mẫu số:

\(846207 \times 423158 = 357942931706 \Rightarrow + 423184 = 357943354890\)

Biểu thức:

\(\frac{357942932945}{357943354890} \times 2026 \approx \left(\right. \frac{\&\text{nbsp}; 1}{1.000001179} \left.\right) \times 2026 \approx 2026\)

Kết quả rất gần với 2026
Vì tử số và mẫu số chỉ lệch rất nhỏ, nên:

✅ Đáp án xấp xỉ là \(\boxed{2026}\)

✅ Kết luận:

\(\boxed{\text{Gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{tr}ị\&\text{nbsp};\text{bi}ể\text{u}\&\text{nbsp};\text{th}ứ\text{c}\&\text{nbsp};\text{g} \overset{ˋ}{\hat{\text{a}}} \text{n}\&\text{nbsp};đ \overset{ˊ}{\text{u}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; 2026}\)

PHÂN TÍCH VÀ GIẢI TỪNG PHẦN:

1. Tam giác ABC vuông tại A, AB = 18, AC = 24, BC = 30

Do tam giác vuông tại A, và \(A B = 18 , A C = 24 , B C = 30\), nên A là góc vuông.

→ Ta đặt hệ trục tọa độ như sau:

• Gọi A tại gốc tọa độ \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)
• Do AB = 18, đặt \(B \left(\right. 18 , 0 \left.\right)\)
• AC = 24, nên C nằm trên đường thẳng vuông góc AB → \(C \left(\right. 0 , 24 \left.\right)\)
• Kiểm tra độ dài BC:

\(B C = \sqrt{\left(\right. 18 - 0 \left.\right)^{2} + \left(\right. 0 - 24 \left.\right)^{2}} = \sqrt{324 + 576} = \sqrt{900} = 30 \checkmark\)

2. Tìm tọa độ K — chân đường cao từ A xuống BC

Đường BC đi qua \(B \left(\right. 18 , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , 24 \left.\right)\), nên có vector chỉ phương:

\(\overset{⃗}{B C} = \left(\right. 0 - 18 , 24 - 0 \left.\right) = \left(\right. - 18 , 24 \left.\right) \Rightarrow \text{Ph}ưo\text{ng}\&\text{nbsp};\text{tr} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};đườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{th}ẳ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{BC}: \frac{x - 18}{- 18} = \frac{y}{24} \Rightarrow 24 \left(\right. x - 18 \left.\right) + 18 y = 0 \Rightarrow 4 x + 3 y = 72\)

Từ A(0, 0), hạ vuông góc AK đến BC ⇒ ta cần tìm K là hình chiếu vuông góc từ A lên đường thẳng \(4 x + 3 y = 72\)

Áp dụng công thức tọa độ hình chiếu:
Nếu điểm \(A \left(\right. x_{0} , y_{0} \left.\right)\) chiếu vuông góc lên đường \(a x + b y + c = 0\), thì tọa độ chân đường vuông góc K là:

\(K = \left(\right. x_{0} - \frac{a \left(\right. a x_{0} + b y_{0} + c \left.\right)}{a^{2} + b^{2}} , \&\text{nbsp}; y_{0} - \frac{b \left(\right. a x_{0} + b y_{0} + c \left.\right)}{a^{2} + b^{2}} \left.\right)\)

Ở đây: \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , \&\text{nbsp}; a = 4 , \&\text{nbsp}; b = 3 , \&\text{nbsp}; c = - 72\)

Tính:

\(a x_{0} + b y_{0} + c = 4 * 0 + 3 * 0 - 72 = - 72 , \&\text{nbsp}; a^{2} + b^{2} = 16 + 9 = 25\) \(K = \left(\right. 0 - \frac{4 * \left(\right. - 72 \left.\right)}{25} , \&\text{nbsp}; 0 - \frac{3 * \left(\right. - 72 \left.\right)}{25} \left.\right) = \left(\right. \frac{288}{25} , \&\text{nbsp}; \frac{216}{25} \left.\right)\)

✅ Tọa độ K là \(\left(\right. \frac{288}{25} , \frac{216}{25} \left.\right)\)

3. Tính độ dài AK và BK

• AK là khoảng cách từ A(0,0) đến \(K \left(\right. \frac{288}{25} , \frac{216}{25} \left.\right)\)

\(A K = \sqrt{\left(\left(\right. \frac{288}{25} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{216}{25} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{1}{25} \sqrt{288^{2} + 216^{2}}\)

Tính:

\(288^{2} = 82944 , \&\text{nbsp}; 216^{2} = 46656 \Rightarrow A K = \frac{1}{25} \sqrt{129600} = \frac{1}{25} * 360 = 14.4\)

✅ AK = 14.4

• BK: Khoảng cách từ B(18,0) đến \(K \left(\right. \frac{288}{25} , \frac{216}{25} \left.\right)\)

\(B K = \sqrt{\left(\left(\right. 18 - \frac{288}{25} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. 0 - \frac{216}{25} \left.\right)\right)^{2}} = \sqrt{\left(\left(\right. \frac{162}{25} \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. \frac{- 216}{25} \left.\right)\right)^{2}}\) \(B K = \frac{1}{25} \sqrt{162^{2} + 216^{2}} = \frac{1}{25} \sqrt{26244 + 46656} = \frac{1}{25} \sqrt{72900} = \frac{270}{25} = 10.8\)

✅ BK = 10.8

4. Tính góc B

Tam giác ABC vuông tại A ⇒ \(\angle B = \angle A B C\)

Tam giác vuông tại A có các cạnh:

• \(A B = 18 , \&\text{nbsp}; A C = 24 , \&\text{nbsp}; B C = 30\)

Dùng định lý lượng giác trong tam giác vuông:

\(cos ⁡ \left(\right. \angle B \left.\right) = \frac{A B}{B C} = \frac{18}{30} = 0.6 \Rightarrow \angle B = \left(cos ⁡\right)^{- 1} \left(\right. 0.6 \left.\right) \approx 53.13^{\circ}\)

✅ Góc B ≈ \(\boxed{53.13^{\circ}}\)

5. Tính \(tan ⁡ \left(\right. \angle C N I \left.\right)\)

Phần này phức tạp vì cần dựng thêm điểm M, N, I theo các giả thiết như:

• \(C M = A M = I M\)
• I nằm trên phân giác góc CAM, I nằm trên đoạn CM

Tuy nhiên, do bài cho điều kiện CM = AM = IM, nên tam giác AMI đều, từ đó có thể suy ra một số góc.

Tuy nhiên, nếu không cần dựng hình chi tiết, thì có thể dùng giả thiết tam giác đều để suy:

• Trong tam giác đều \(\triangle A M I\), ta có:
  \(\angle A M I = \angle A I M = \angle I M A = 60^{\circ}\)

Góc \(\angle C N I\) là góc giữa hai đường: \(N C\) và \(N I\), ta không có đủ tọa độ để xác định trực tiếp, nên không thể tính chính xác \(tan ⁡ \left(\right. \angle C N I \left.\right)\) nếu không dựng được điểm N và I cụ thể hơn.

✅ KẾT LUẬN CUỐI CÙNG:

• \(\boxed{A K = 14.4}\)
• \(\boxed{B K = 10.8}\)
• \(\boxed{\angle B = 53.13^{\circ}}\)
• \(tan ⁡ \left(\right. \angle C N I \left.\right)\): không đủ dữ kiện để tính chính xác, cần thêm vị trí điểm N, I hoặc sơ đồ hình học rõ hơn.

Câu a)

Tìm các số hữu tỉ \(x , y\) sao cho:

\(2 x - y \sqrt{2} = 5 + \left(\right. x + 1 \left.\right) \sqrt{2}\)

Tách phần hữu tỉ – vô tỉ:

• Vế trái: \(2 x - y \sqrt{2} =\) phần hữu tỉ: \(2 x\), phần vô tỉ: \(- y \sqrt{2}\)
• Vế phải: \(5 + \left(\right. x + 1 \left.\right) \sqrt{2} =\) phần hữu tỉ: 5, phần vô tỉ: \(\left(\right. x + 1 \left.\right) \sqrt{2}\)

So sánh từng phần:

• Hữu tỉ:   \(2 x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\)
• Vô tỉ:    \(- y = x + 1 \Rightarrow y = - \left(\right. x + 1 \left.\right) = - \left(\right. \frac{5}{2} + 1 \left.\right) = - \frac{7}{2}\)

✅ Kết luận câu a:

\(\boxed{x = \frac{5}{2} , y = - \frac{7}{2}}\)

Câu b)

Tìm các số hữu tỉ \(x , y\) sao cho:

\(5 x + y - \left(\right. 2 x - 1 \left.\right) \sqrt{7} = y \sqrt{7} + 2\)

Tách phần hữu tỉ – vô tỉ:

• Vế trái:
• • Hữu tỉ:    \(5 x + y\)
  • Vô tỉ:     \(- \left(\right. 2 x - 1 \left.\right) \sqrt{7}\)
• Vế phải:
• • Hữu tỉ:    2
  • Vô tỉ:     \(y \sqrt{7}\)

So sánh từng phần:

Vô tỉ:

\(- \left(\right. 2 x - 1 \left.\right) = y \Rightarrow y = - 2 x + 1\)

Hữu tỉ:

\(5 x + y = 2 \Rightarrow 5 x + \left(\right. - 2 x + 1 \left.\right) = 2 \Rightarrow 3 x + 1 = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = - 2 x + 1 = - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}\)

✅ Kết luận câu b:

\(\boxed{x = \frac{1}{3} , y = \frac{1}{3}}\)

✅ Tóm tắt đáp án:

• a) \(\boxed{x = \frac{5}{2} , \& \text{nbsp} ; y = - \frac{7}{2}}\)
• b) \(\boxed{x = \frac{1}{3} , \& \text{nbsp} ; y = \frac{1}{3}}\)

Câu a)

Tìm các số hữu tỉ \(x , y\) sao cho:

\(2 x - y \sqrt{2} = 5 + \left(\right. x + 1 \left.\right) \sqrt{2}\)

Tách phần hữu tỉ – vô tỉ:

• Vế trái: \(2 x - y \sqrt{2} =\) phần hữu tỉ: \(2 x\), phần vô tỉ: \(- y \sqrt{2}\)
• Vế phải: \(5 + \left(\right. x + 1 \left.\right) \sqrt{2} =\) phần hữu tỉ: 5, phần vô tỉ: \(\left(\right. x + 1 \left.\right) \sqrt{2}\)

So sánh từng phần:

• Hữu tỉ:   \(2 x = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{2}\)
• Vô tỉ:    \(- y = x + 1 \Rightarrow y = - \left(\right. x + 1 \left.\right) = - \left(\right. \frac{5}{2} + 1 \left.\right) = - \frac{7}{2}\)

✅ Kết luận câu a:

\(\boxed{x = \frac{5}{2} , y = - \frac{7}{2}}\)

Câu b)

Tìm các số hữu tỉ \(x , y\) sao cho:

\(5 x + y - \left(\right. 2 x - 1 \left.\right) \sqrt{7} = y \sqrt{7} + 2\)

Tách phần hữu tỉ – vô tỉ:

• Vế trái:
• • Hữu tỉ:    \(5 x + y\)
  • Vô tỉ:     \(- \left(\right. 2 x - 1 \left.\right) \sqrt{7}\)
• Vế phải:
• • Hữu tỉ:    2
  • Vô tỉ:     \(y \sqrt{7}\)

So sánh từng phần:

Vô tỉ:

\(- \left(\right. 2 x - 1 \left.\right) = y \Rightarrow y = - 2 x + 1\)

Hữu tỉ:

\(5 x + y = 2 \Rightarrow 5 x + \left(\right. - 2 x + 1 \left.\right) = 2 \Rightarrow 3 x + 1 = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{3} \Rightarrow y = - 2 x + 1 = - \frac{2}{3} + 1 = \frac{1}{3}\)

✅ Kết luận câu b:

\(\boxed{x = \frac{1}{3} , y = \frac{1}{3}}\)

✅ Tóm tắt đáp án:

• a) \(\boxed{x = \frac{5}{2} , \&\text{nbsp}; y = - \frac{7}{2}}\)
• b) \(\boxed{x = \frac{1}{3} , \&\text{nbsp}; y = \frac{1}{3}}\)

🎤 Đoạn tiêu biểu từ lời bài hát (từ nguồn nhaccuatui)

“Chị đại Kamui là bất bại. Gáy đi gáy đi khi mày có thể.
Đến khi gặp tao mày chỉ có lệ.
Súng tao mài dũa đến khi họ kể rằng…
T‑Gaming huyền thoại sống vì khó phế…”

1. \(x - \sqrt{3} \in \mathbb{Z}\)
2. \(x^{2} - 4 \sqrt{3} \in \mathbb{Z}\)

Bước 1: Đặt ẩn phụ

Đặt:

\(x = a + \sqrt{3} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; a \in \mathbb{Z} \Rightarrow x - \sqrt{3} = a \in \mathbb{Z} (\text{th}ỏ\text{a}\&\text{nbsp};\text{m} \overset{\sim}{\text{a}} \text{n}\&\text{nbsp};\text{1})\)

Bước 2: Tính biểu thức thứ hai

Ta có:

\(x^{2} = \left(\right. a + \sqrt{3} \left.\right)^{2} = a^{2} + 2 a \sqrt{3} + 3 \Rightarrow x^{2} - 4 \sqrt{3} = a^{2} + 2 a \sqrt{3} + 3 - 4 \sqrt{3} = a^{2} + 3 + \left(\right. 2 a - 4 \left.\right) \sqrt{3}\)

Ta cần biểu thức này là số nguyên ⇒ Phần vô tỉ phải bằng 0:

\(\left(\right. 2 a - 4 \left.\right) \sqrt{3} = 0 \Rightarrow 2 a - 4 = 0 \Rightarrow a = 2\)

Bước 3: Tìm x

\(x = a + \sqrt{3} = 2 + \sqrt{3}\)

Kết luận:

\(\boxed{x = 2 + \sqrt{3}}\)

Giải câu a)

Bước 1: Tìm m₁

\(\frac{0 , 15 m_{1}}{m_{1} - 60} = 0 , 18 \Rightarrow 0 , 15 m_{1} = 0 , 18 \left(\right. m_{1} - 60 \left.\right) \Rightarrow 0 , 15 m_{1} = 0 , 18 m_{1} - 10 , 8 \Rightarrow 0 , 03 m_{1} = 10 , 8 \Rightarrow m_{1} = 360 \textrm{ } \left(\right. g \left.\right)\)

=> Dung dịch sau bay hơi là: m' = 360 - 60 = 300g, chứa NaOH: 0,15 × 360 = 54g

Bước 2: Thêm m₂ gam Na vào dung dịch 300g (chứa 54g NaOH)

• Na + H₂O → NaOH
  → 1 mol Na (23g) → 1 mol NaOH (40g)

Gọi m₂ (g) Na → số mol Na:

\(n_{N a} = \frac{m_{2}}{23} \Rightarrow k h \overset{ˊ}{\hat{o}} i l ượ n g N a O H t ạ o t h \overset{ˋ}{a} n h : \frac{m_{2}}{23} \times 40 = \frac{40 m_{2}}{23} \textrm{ } \left(\right. g \left.\right)\)

→ Tổng khối lượng NaOH sau phản ứng:

\(54 + \frac{40 m_{2}}{23}\)

→ Tổng khối lượng dung dịch:

\(300 + m_{2}\)

Ta có nồng độ mới:

\(\frac{54 + \frac{40 m_{2}}{23}}{300 + m_{2}} = 20 , 37 \% = 0 , 2037\)

Giải phương trình:

\(\frac{54 + \frac{40 m_{2}}{23}}{300 + m_{2}} = 0 , 2037 \Rightarrow 54 + \frac{40 m_{2}}{23} = 0 , 2037 \left(\right. 300 + m_{2} \left.\right)\)

Tính vế phải:

\(54 + \frac{40 m_{2}}{23} = 61 , 11 + 0 , 2037 m_{2}\)

Chuyển vế:

\(\frac{40 m_{2}}{23} - 0 , 2037 m_{2} = 61 , 11 - 54 = 7 , 11 \Rightarrow m_{2} \left(\right. \frac{40}{23} - 0 , 2037 \left.\right) = 7 , 11 \Rightarrow m_{2} \left(\right. 1 , 7391 - 0 , 2037 \left.\right) = 7 , 11 \Rightarrow m_{2} \times 1 , 5354 = 7 , 11 \Rightarrow m_{2} \approx \frac{7 , 11}{1 , 5354} \approx 4 , 63 \textrm{ } \left(\right. g \left.\right)\)

✅ Đáp án câu a: m₂ ≈ 4,63 gam

Giải câu b)

Dữ kiện:

• Lấy m₁ = 360g dung dịch NaOH 20% → chứa 0,2 × 360 = 72g NaOH
• Trộn với 200 ml dung dịch HCl x mol/l → số mol HCl = 0,2x mol

Phản ứng:

\(N a O H + H C l \rightarrow N a C l + H_{2} O \Rightarrow s \overset{ˊ}{\hat{o}} m o l N a O H = \frac{72}{40} = 1 , 8 \textrm{ } m o l\)

Sau phản ứng còn lại:

• Nếu HCl dư: sẽ không hòa tan ZnO
• Nếu NaOH dư → phần dư phản ứng với ZnO:

\(Z n O + 2 N a O H \rightarrow N a_{2} Z n O_{2} + H_{2} O \Rightarrow 1 m o l Z n O c \overset{ˋ}{\hat{a}} n 2 m o l N a O H\)

Tính mol ZnO:

\(\frac{1 , 62}{81} = 0 , 02 \textrm{ } m o l \Rightarrow c \overset{ˋ}{\hat{a}} n 2 \times 0 , 02 = 0 , 04 m o l N a O H d ưđể h \overset{ˋ}{o} a t a n h \overset{ˊ}{\hat{e}} t Z n O \Rightarrow N a O H d ư = 1 , 8 - 0 , 2 x = 0 , 04 \Rightarrow 0 , 2 x = 1 , 76 \Rightarrow x = \frac{1 , 76}{0 , 2} = 8 , 8\)

✅ Đáp án câu b: x = 8,8 mol/l

Tóm tắt đáp án:

• a) \(m_{2} \approx 4 , 63 \textrm{ } \mathbf{g}\)
• b) \(x = 8 , 8 \textrm{ } \mathbf{m} \mathbf{o} \mathbf{l} \mathbf{/} \mathbf{l}\)

• "Bạn bè là nghĩa tương tri, Sao cho sau trước một bờ mới nên." 
• "Trong hoạn nạn mới biết ai là người bạn tốt." 
• "Bạn bè là nghĩa tương thân, khó khăn, thuận lợi ân cần có nhau." 
• "Tứ hải giai huynh đệ." (Bốn biển đều là anh em) 
• "Anh em như thể chân tay, rách lành đùm bọc, dở hay đỡ đần." 
• "Một cây làm chẳng nên non, ba cây chụm lại nên hòn núi cao." 
• "Chọn bạn mà chơi, chọn nơi mà ở." 
• "Đã là bạn thì mãi là bạn, đừng như sông lúc cạn lúc đầy." 
• "Bạn bè là nghĩa trước sau, tuổi thơ cho đến bạc đầu không phai." 

12

Số lớn nhất 9998

Số bé nhất 1000

Có: (9998 - 1000) : 2 + 1 = 4500 (số)