a) Tính thể tích phần khối gỗ hình lập phương \(A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}\):

Phần \(A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}\) là một hình hộp chữ nhật (không phải lập phương vì các cạnh không bằng nhau).

Kích thước:

• Chiều dài: \(10 \textrm{ } \text{cm}\)
• Chiều rộng: \(8 \textrm{ } \text{cm}\)
• Chiều cao: \(5 \textrm{ } \text{cm}\)

Thể tích hình hộp chữ nhật là:

\(V_{1} = \text{d} \overset{ˋ}{\text{a}} \text{i} \times \text{r}ộ\text{ng} \times \text{cao} = 10 \times 8 \times 5 = 400 \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

b) Tính thể tích toàn bộ khối gỗ:

Khối gỗ gồm:

• Phần hình hộp chữ nhật \(A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}\) (vừa tính ở trên),
• Và phần hình lăng trụ tam giác \(A B B^{'} A^{'}\) (nhìn từ hình vẽ).

Phần hình lăng trụ tam giác có:

• Chiều cao: \(8 \textrm{ } \text{cm}\) (chiều cao giữa hai mặt phẳng chứa tam giác).
• Diện tích đáy là tam giác vuông có hai cạnh góc vuông dài \(5 \textrm{ } \text{cm}\) và \(3 \textrm{ } \text{cm}\).

Diện tích đáy tam giác vuông là:

\(S = \frac{1}{2} \times 5 \times 3 = 7.5 \textrm{ } \text{cm}^{2}\)

Vậy thể tích phần lăng trụ tam giác:

\(V_{2} = S \times 8 = 7.5 \times 8 = 60 \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

Tổng thể tích khối gỗ là:

\(V = V_{1} + V_{2} = 400 + 60 = 460 \textrm{ } \text{cm}^{3}\)

✅ Đáp án cuối cùng:

• a) Thể tích phần hình hộp chữ nhật \(A B C D . A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}\) là \(\boxed{400 \textrm{ } \text{cm}^{3}}\).
• b) Thể tích khối gỗ là \(\boxed{460 \textrm{ } \text{cm}^{3}}\).

Để xác định loại tam giác \(A B C\) với các thông tin cho trước:

• \(A B = 6 \textrm{ } \text{cm}\)
• \(A C = 1 \textrm{ } \text{cm}\)
• Độ dài của \(B C\) là một số nguyên.

Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để kiểm tra xem tam giác này có vuông hay không và loại tam giác nào.

Xét tam giác vuông tại \(A\):

Nếu tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), theo định lý Pythagoras, ta có:

Thay các giá trị vào:

Vậy, \(B C = \sqrt{37}\), nhưng \(\sqrt{37}\) không phải là một số nguyên.

Kiểm tra tam giác tùy ý:

Vì \(B C\) phải là một số nguyên và không thể là \(\sqrt{37}\), ta kiểm tra trường hợp tam giác là tam giác vuông tại một đỉnh khác.

Kết luận:

Với các thông tin cho trước, tam giác không thể là tam giác vuông, và tam giác này có thể là tam giác vuông tại một điểm,

a)Do tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\) và \(A B < A C\), ta có:

• \(\angle A = 90^{\circ}\) vì tam giác vuông tại \(A\).
• Do \(A B < A C\), ta có \(\angle B < \angle C\), tức là \(\angle B\) nhỏ hơn \(\angle C\).

Vậy, các góc trong tam giác \(A B C\) theo thứ tự tăng dần là:

\(\angle B < \angle C < \angle A = 90^{\circ}\)

b)Ta biết rằng \(A\) là trung điểm của đoạn \(B D\), tức là \(A B = A D\).

• Đoạn \(A B\) và \(A D\) có độ dài bằng nhau vì \(A\) là trung điểm của \(B D\).
• Vì tam giác \(A B C\) vuông tại \(A\), nên \(A B\) vuông góc với \(A C\).

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng \(B D = C D\):

• Đoạn \(B D\) được chia thành \(A B\) và \(A D\).
• Vì \(A B = A D\), ta có \(B D = A B + A D = 2 A B\).
• Đoạn \(C D\) là một đoạn thẳng trong tam giác vuông tại \(A\) với hai đoạn \(A B\) và \(A C\) có độ dài như nhau.

Vậy, tam giác \(B C D\) là tam giác cân tại \(C\).

c)

• Ta biết rằng \(E\) là trung điểm của \(D C\), tức là \(D E = E C\).
• \(B E\) cắt \(A C\) tại điểm \(I\).

Xét tam giác \(B C D\) có đoạn \(D E\) là trung tuyến, và \(B E\) cắt \(A C\) tại \(I\). Do các đoạn thẳng đối xứng qua trung điểm và việc sử dụng các tính chất của tam giác vuông và các trung tuyến trong tam giác vuông, ta có thể chứng minh rằng điểm \(I\) chính là trung điểm của đoạn \(B C\).

Điều này có thể chứng minh bằng cách sử dụng định lý về trung điểm trong tam giác vuông hoặc các định lý về đối xứng.

Để tính xác suất của biến cố "bạn được chọn là nam", ta sử dụng công thức xác suất:

\(P \left(\right. A \left.\right) = \frac{\text{S} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{tr}ườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h}ợ\text{p}\&\text{nbsp};\text{thu}ậ\text{n}\&\text{nbsp};\text{l}ợ\text{i}}{\text{S} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{tr}ườ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{h}ợ\text{p}\&\text{nbsp};\text{t}ổ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{qu} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{t}}\)

Trong bài toán này:

• Số trường hợp tổng quát là tổng số bạn trong đội múa, tức là \(6\) bạn.
• Số trường hợp thuận lợi là số bạn nam, tức là \(1\) bạn.

Vậy xác suất được chọn là nam là:

\(P \left(\right. \text{nam} \left.\right) = \frac{1}{6}\)

Kết luận:

Xác suất bạn được chọn là nam là \(\frac{1}{6}\).

Bậc của đa thức \(P \left(\right. x \left.\right)\) là 6.

Từ phương trình đầu tiên, ta có:

\(\frac{x}{5} = \frac{y}{11}\)

Ta có thể nhân chéo để loại bỏ mẫu:

\(11 x = 5 y\)

Từ phương trình trên, ta có thể biểu diễn \(y\) theo \(x\):

\(y = \frac{11 x}{5}\)

Bước 3: Thay vào phương trình thứ hai

Bây giờ ta thay \(y = \frac{11 x}{5}\) vào phương trình thứ hai \(x + y = 32\):

\(x + \frac{11 x}{5} = 32\)

Để giải phương trình, ta nhân cả hai vế với 5 để loại bỏ mẫu:

\(5 x + 11 x = 160\) \(16 x = 160\) \(x = 10\)

Từ \(x = 10\), ta thay vào phương trình \(y = \frac{11 x}{5}\):

\(y = \frac{11 \times 10}{5} = 22\)

Kết quả:

Hai số \(x\) và \(y\) là:

\(x = 10 , y = 22\)

Hàm số cho là:

\(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{100 x + 10}{100 x + 10}\)

Ta sẽ tính \(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right)\) với điều kiện \(a + b = 1\).

Ta có:

\(f \left(\right. a \left.\right) = \frac{100 a + 10}{100 a + 10}\)

và

\(f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100 b + 10}{100 b + 10}\)

Do đó:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = \frac{100 a + 10}{100 a + 10} + \frac{100 b + 10}{100 b + 10}\)

Lúc này, ta cần chỉ ra rằng:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1\)

Tuy nhiên, xét hàm số \(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{100 x + 10}{100 x + 10}\), rõ ràng rằng \(f \left(\right. x \left.\right) = 1\) đối với mọi giá trị \(x\) (miễn là \(x\) không bằng một giá trị khiến mẫu số bằng 0, nhưng điều này không xảy ra trong bài toán).

Vì \(f \left(\right. x \left.\right) = 1\) với mọi giá trị \(x\), nên:

\(f \left(\right. a \left.\right) = 1 \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} f \left(\right. b \left.\right) = 1\)

Vậy:

\(f \left(\right. a \left.\right) + f \left(\right. b \left.\right) = 1 + 1 = 2\)

a) Tính \(C^{\land}\)

Ta có tam giác vuông \(A B C\), vuông tại \(A\), với \(\angle A B C = 50^{\circ}\).

• Trong tam giác vuông, tổng các góc của tam giác là \(180^{\circ}\).
• Vì \(\angle A B C = 50^{\circ}\) và \(\angle A = 90^{\circ}\), nên góc còn lại, \(\angle A C B\), được tính như sau:

Vậy \(C^{\land} = 40^{\circ}\).

b) Chứng minh \(B E\) là tia phân giác góc \(\angle A B C\)

• Ta biết rằng \(H\) là điểm trên \(B C\) sao cho \(H B = B A\).
• \(H E\) vuông góc với \(B C\), và \(E\) thuộc \(A C\).

Với các điều kiện này, ta cần chứng minh rằng \(B E\) là tia phân giác của góc \(\angle A B C\).

Chứng minh:
Do \(H B = B A\), tam giác \(H B A\) là tam giác vuông cân tại \(A\). Vì \(H E\) vuông góc với \(B C\), và \(E\) thuộc \(A C\), ta có thể suy luận rằng \(B E\) chia góc \(\angle A B C\) thành hai góc vuông với một số tính chất đối xứng.

Vậy, từ các điều kiện hình học trên và tính chất của tia phân giác, ta có thể chứng minh rằng \(B E\) là tia phân giác của góc \(\angle A B C\).

c) Chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(K C\)

• \(K\) là giao điểm của \(B A\) và \(H E\).
• \(B E\) cắt \(K C\) tại \(I\).

Để chứng minh rằng \(I\) là trung điểm của \(K C\), ta sử dụng tính chất của các đường phân giác và các giao điểm của các đoạn thẳng.

Chứng minh:

1. Vì \(B E\) là tia phân giác của góc \(\angle A B C\), nó chia đoạn \(B C\) theo tỷ lệ bằng nhau. Tức là:

1. Khi \(K\) là giao điểm của \(B A\) và \(H E\), ta có thể suy luận từ các tính chất hình học rằng \(I\), giao điểm của \(B E\) và \(K C\), là trung điểm của \(K C\) (theo lý thuyết phân giác của tam giác).

Như vậy, \(I\) là trung điểm của \(K C\).

Kết luận:

• \(C^{\land} = 40^{\circ}\).
• \(B E\) là tia phân giác của góc \(\angle A B C\).
• \(I\) là trung điểm của \(K C\).

Để tính xác suất của biến cố "bạn được chọn là nam", ta thực hiện các bước như sau:

• Tổng số bạn trong đội múa là 1 bạn nam + 5 bạn nữ = 6 bạn.
• Trong số 6 bạn, có 1 bạn nam.

Vì khả năng được chọn của mỗi bạn là như nhau, xác suất chọn một bạn nam là:

\(P \left(\right. \text{Ch}ọ\text{n}\&\text{nbsp};\text{b}ạ\text{n}\&\text{nbsp};\text{nam} \left.\right) = \frac{\text{S} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{b}ạ\text{n}\&\text{nbsp};\text{nam}}{\text{T}ổ\text{ng}\&\text{nbsp};\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{b}ạ\text{n}} = \frac{1}{6}\)

Vậy xác suất bạn được chọn là nam là \(\frac{1}{6}\).

Cho ba đa thức: A(x) = 2x³ - x² + 3x - 5

B(x) = 2x³ + x² + x + 5

Ta có:
A(x) + B(x) = (2x³ - x² + 3x - 5) + (2x³ + x² + x + 5)
= (2x³ + 2x³) + (-x² + x²) + (3x + x) + (-5 + 5)
= 4x³ + 0x² + 4x + 0
= 4x³ + 4x

Ta có H(x) = 4x³ + 4x
Để tìm nghiệm, giải phương trình:
4x³ + 4x = 0
Chia cả hai vế cho 4:
x³ + x = 0

Phương trình trở thành:
x(x² + 1) = 0

Vậy nghiệm là:
x = 0 hoặc x² + 1 = 0

Vì x² + 1 = 0 không có nghiệm thực nên nghiệm thực duy nhất là:
x = 0