a)ΔAIE∽ΔACI (g.g) suy ra  \(AI^2\) =AE.AC (1)

Chứng minh tương tự:

ΔAIK∽ΔAKB (g.g) suy ra  \(AK^2\) =AB.AF (2)

Mà ΔABE∽ΔACF (g.g) suy ra AB.AF=AC.AE (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có \(AI^2=AK^2\)  suy ra AI=AK.

b) Vì ^A=60∘ suy ra ^B1​​=30∘

Trong tam giác ABE vuông tại E nên AB=2AE,

Trong tam giác AFC vuông tại F có ^C1​​=30∘ suy ra AC=2AF.

Do đó, ΔAEF∽ΔABC (c.g.c).

suy ra \(\frac{Saef}{Sabc}\) ​​=\(\left(\frac{AE}{AB}\right)^2\) =\(\frac14\)

Vậy Saef=\(\frac14\) .120=30 \(\operatorname{cm}^2\)

Gọi BF cắt DC tại K, BE cắt DC tại I, và EF cắt AB tại G.

ΔFAB có DK // AB suy ra DK​=FD​ (1)

ΔFAG có DH // AG suy ra DH​=FD​ (2)

Từ (1) và (2) suy ra DK​=DH​ hay DK​=AB​ (*)

Tương tự ΔEIC có AB // IC suy ra IC​=EC​ (3)

ΔEHC có HC // AB suy ra HC​=EC​ (4)

Từ (3) và (4) ta có IC​=HC​ hay IC​=AB​ (**)

Từ (*) và (**) ta có DK​=IC​.

Mà DH=HC (gt) suy ra DK=IC

Mặt khác BD=BC (gt) nên ΔBDC cân

Suy ra ^BDK=^BCI

Vậy ΔBDK=ΔBCI (c.g.c)

Suy ra ^DBK=^CBI.

a) Vì ABCD là hình bình hành ( gt )

Và K thuộc BC nên

AD // BK Theo hệ quả của định lý Ta-let ta có :

\(\frac{E K}{A E} = \frac{E B}{E D} = \frac{A E}{E G} \Rightarrow \frac{E K}{A E} = \frac{A F}{E G} \Rightarrow A E^{2} = E K . E G\)

b) Ta có :

\(\frac{A E}{E K} - \frac{D E}{D B} ; \frac{A E}{A G} = \frac{B E}{B D}\)nên

\(\frac{A E}{A K} + \frac{A E}{A G} - \frac{B E}{B D} + \frac{D E}{D B} - \frac{B D}{B D} - 1 \Rightarrow \frac{1}{A E} = \frac{1}{A K} + \frac{1}{A G}\)

c)Đặt \(A B = a^{'} , A D = b\)

Áp dụng Đ/L Thales vào tam giác ABK,ta có:

\(\frac{B K}{K C} = \frac{A B}{C G} \Rightarrow \frac{a^{'}}{C G} = \frac{B K}{K C} \left(\right. 1 \left.\right)\)

Áp dụng Đ/L Thales vào tam giác ADG,ta có:

\(\frac{C G}{D G} = \frac{C K}{A D} \Rightarrow \frac{C G}{D G} = \frac{C K}{b} \left(\right. 2 \left.\right)\)

Nhân vế theo vế của (1);(2) ta có:

\(\frac{B K}{b} = \frac{a^{'}}{D G} \Rightarrow B K \cdot D G = a^{'} b\)  không đổi.

Xét tam giác \(A A^{'} C\)có \(M , B , B^{'}\)lần lượt nằm trên các cạnh \(A A^{'} , A^{'} C , C A\)và \(M , B , B^{'}\)thẳng hàng, do đó theo định lí Menelaus ta có: 

\(\frac{M A}{M A^{'}} . \frac{B A^{'}}{B C} . \frac{B^{'} C}{B^{'} A} = 1 \Leftrightarrow \frac{M A}{M A^{'}} . \frac{B A^{'}}{B C} = \frac{B^{'} A}{B^{'} C}\)

Tương tự khi xét tam giác \(A A^{'} B\)với các điểm \(M , B , B^{'}\)ta cũng có: 

\(\frac{M A}{M A^{'}} . \frac{C A^{'}}{C B} = \frac{C^{'} A}{C^{'} B}\)

Suy ra \(\frac{B^{'} A}{B^{'} C} + \frac{C^{'} A}{C^{'} B} = \frac{M A}{M A^{'}} \left(\right. \frac{B A^{'}}{B C} + \frac{C A^{'}}{C B} \left.\right) = \frac{M A}{M A^{'}} . \frac{B C}{B C} = \frac{M A}{M A^{'}}\).

Ta có đpcm. 

Nửa chu vi tam giác:

\(\frac{\left(\right. 10 + 17 + 21 \left.\right)}{2} = 24 \left(\right. c m \left.\right)\)

Diện tích tam giác:

\(S = \sqrt{24. \left(\right. 24 - 10 \left.\right) . \left(\right. 24 - 17 \left.\right) . \left(\right. 24 - 21 \left.\right)} = 84 \left(\right. c m^{2} \left.\right)\)

Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là:

     30:2=1530:2=15 (m).

Thể tích của lồng đèn quả trám là:

     𝑉=2.(20.20.15).\(\frac13\) =4000(\(\operatorname{cm}^3\) )

a) Xét hai tam giác vuông: \(\Delta B H K\) và \(\Delta C H I\) có:

\(\hat{B H K} = \hat{C H I}\) (đối đỉnh)

\(\Rightarrow \Delta B H K\) ∽ \(\Delta C H I \left(\right. g - g \left.\right)\)

b) Do \(B H\) là tia phân giác của \(\hat{K B C}\) (gt)

\(\Rightarrow \hat{K B H} = \hat{C B H}\)

\(\Rightarrow \hat{K B H} = \hat{C B I}\) (1)

Do \(\Delta B H K\) ∽ \(\Delta C H I \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow \hat{K B H} = \hat{I C H}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \hat{I C H} = \hat{C B I}\)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta C I B\) và \(\Delta H I C\) có:

\(\hat{C B I} = \hat{I C H} \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow \Delta C I B\) ∽ \(\Delta H I C \left(\right. g - g \left.\right)\)

\(\Rightarrow \frac{C I}{I H} = \frac{I B}{C I}\)

\(\Rightarrow C I^{2} = I H . I B\)

c) Do \(C I \bot B H\) tại \(I\) (gt)

\(\Rightarrow B I \bot A C\)

\(\Rightarrow B I\) là đường cao của \(\Delta A B C\)

Lại có:

\(C K \bot K B \left(\right. g t \left.\right)\)

\(\Rightarrow C K \bot A B\)

\(\Rightarrow C K\) là đường cao thứ hai của \(\Delta A B C\)

Mà H là giao điểm của \(B I\) và \(C K\) (gt)

\(\Rightarrow A H\) là đường cao thứ ba của \(\Delta A B C\)

\(\Rightarrow A D \bot B C\)

Xét hai tam giác vuông: \(\Delta B K H\) và \(\Delta B D H\) có:

\(B H\) là cạnh chung

\(\hat{K B H} = \hat{D B H}\) (do BH là tia phân giác của \(\hat{B}\))

\(\Rightarrow \Delta B K H = \Delta B D H\) (cạnh huyền - góc nhọn)

\(\Rightarrow B K = B D\) (hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow B\) nằm trên đường trung trực của DK (3)

Do \(\Delta B K H = \Delta B D H \left(\right. c m t \left.\right)\)

\(\Rightarrow H K = H D\) (hai cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow H\) nằm trên đường trung trực của DK (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow B H\) là đường trung trực của DK

\(\Rightarrow \hat{D K H} + \hat{B H K} = 9 0^{0}\)

Mà \(\hat{B H K} = \hat{C H I}\) (cmt)

\(\Rightarrow \hat{D K H} + \hat{C H I} = 9 0^{0}\) (*)

\(\Delta A B C\) có:

\(B H\) là đường phân giác (cmt)

\(B H\) cũng là đường cao (cmt)

\(\Rightarrow \Delta A B C\) cân tại B

\(\Rightarrow B H\) là đường trung trực của \(\Delta A B C\)

\(\Rightarrow I\) là trung điểm của AC

\(\Rightarrow K I\) là đường trung tuyến của \(\Delta A K C\)

\(\Delta A K C\) vuông tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

\(\Rightarrow K I = I C = I A = \frac{A C}{2}\)

\(\Rightarrow \Delta I K C\) cân tại \(I\)

\(\Rightarrow \hat{I K C} = \hat{I C K}\)

\(\Rightarrow \hat{I K H} = \hat{I C H}\)

Mà \(\hat{I C H} + \hat{C H I} = 9 0^{0}\)

\(\Rightarrow \hat{I K H} + \hat{C H I} = 9 0^{0}\) (**)

Từ (*) và (**) \(\Rightarrow \hat{I K H} = \hat{D K H}\)

\(\Rightarrow K H\) là tia phân giác của \(\hat{I K D}\)

Hay \(K C\) là tia phân giác của \(\hat{I K D}\)

Gọi A là biến cố "Lấy được viên bi màu đỏ"

Trong túi có 8 viên màu đỏ nên n(A)=8

=>\(P \left(\right. A \left.\right) = \frac{8}{19}\)

b: Vì (d3)//(d2) nên a=1 và b khác 2\(\)

Vậy: (d3): y=x+b

Thay x=-1 và y=3 vào (d3), ta được:

b-1=3

=>b=4

Vậy: (d3): y=x+4

Bài 2:

Gọi số sản phẩm tổ 1 phải sản xuất theo kế hoạch là x(sản phẩm)

(ĐIều kiện: \(x \in Z^{+}\))

Số sản phẩm tổ 2 phải sản xuất theo kế hoạch là:

900-x(sản phẩm)

Số sản phẩm thực tế tổ 1 làm được là:

\(x \left(\right. 1 + 20 \% \left.\right) = 1 , 2 x \left(\right. s ả n p h ẩ m \left.\right)\)

Số sản phẩm thực tế tổ 2 làm được là:

\(\left(\right. 900 - x \left.\right) \left(\right. 1 + 15 \% \left.\right) = 1 , 15 \left(\right. 900 - x \left.\right) \left(\right. s ả n p h ẩ m \left.\right)\)

Tổng số sản phẩm là 1055 sản phẩm nên ta có:

1,2x+1,15(900-x)=1055

=>0,05x+1035=1055

=>0,05x=20

=>x=400(nhận)

Vậy: số sản phẩm tổ 1 phải sản xuất theo kế hoạch là 400 sản phẩm

số sản phẩm tổ 2 phải sản xuất theo kế hoạch là 900-400=500 sản phẩm

a) \(2 x = 7 + x\)

\(\Leftrightarrow 2 x - x = 7\)

\(\Leftrightarrow x = 7\)\(\)

b) \(\frac{x - 3}{5} + \frac{1 + 2 x}{3} = 6\)

\(\Leftrightarrow \frac{3 \left(\right. x - 3 \left.\right)}{15} + \frac{5 \left(\right. 1 + 2 x \left.\right)}{15} = 6\)

\(\Leftrightarrow \frac{3 x - 9 + 5 + 10 x}{15} = 6\)

\(\Leftrightarrow 13 x - 4 = 90\)

\(\Leftrightarrow 13 x = 94\)

\(\Leftrightarrow x = \frac{94}{13}\)