a) Xét △BHK và △CHI có:

\(\hat{BKH}=\hat{CIH}\left(=90^{\omicron}\right)\)

\(\hat{BHK}=\hat{CHI}\) (2 góc đối đỉnh)

Do đó △BHK ~ △CHI (g.g)

b) Vì \(\Delta BHK\sim\Delta CHI\) suy ra \(\hat{HBK}=\hat{HCI}\) (hai góc tương ứng) 

Mà BH là tia phân giác của \(\hat{KBC}\) nên \(\hat{HBK}=\hat{HBC}\).

Do đó \(\hat{HBC}=\hat{HCI}\) hay \(\hat{IBC}=\hat{HCI}\)

Xét \(\triangle\)CIB và \(\triangle\)HIC có:

\(\hat{I}\) chung;

\(\hat{IBC}=\hat{HCI}\) (cmt)

Vậy \(\Delta CIB\sim\Delta HIC\) (g.g) suy ra \(\frac{CI}{HI}=\frac{IB}{CI}\)

Hay \(CI^2=HI.IB\)

c) Xét \(\triangle\)ABC có \(BI\bot AC\); \(CK\bot AB\); \(BI\cap CK={\left\lbrace H\right\rbrace}\)

Nên H là trực tâm \(\triangle\)ABC suy ra \(AH\bot BC\) tại D

Xét △BKC và △HDC có:

\(\hat{C}\) chung

\(\hat{BKC}=\hat{HDC}\left(=90^{o}\right)\)

Suy ra \(\triangle BKC\sim\triangle HDC\) (g.g)

=> \(\frac{CB}{CH}=\frac{KC}{DC}\) hay \(\frac{CB}{KC}=\frac{CH}{DC}\)

Xét △BCH và △KCD có:

\(\frac{CB}{KC}=\frac{CH}{DC}\) (cmt)

\(\hat{C}\) chung

Suy ra \(\triangle BCH\sim\triangle KCD\) (c.g.c)

Khi đó \(\hat{HBC}=\hat{CKD}\) (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự \(\hat{HAC}=\hat{IKC}\)

Mà \(\hat{HBC}=\hat{HAC}\) (cùng phụ với \(\hat{ACB}\) )

Do đó \(\hat{DKC}=\hat{IKC}\).

Vậy KC là tia phân giác của \(\hat{IKD}\).

Có \(19\) kết quả cho hành động trên.

Có \(8\) kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho nên xác suất cho biến cố là: \(\frac{8}{19}\).

Ta có: AB = AD + DB

Suy ra DB = AB - AD = 10 - 6 = 4 (cm)

Lại có: AM là trung tuyến của \(\Delta ABC\) suy ra M là trung điểm của BC

Suy ra \(BM=CM=\frac{1}{2}BC=15\) (cm)

 Xét \(\Delta ABM\) có MD là phân giác của \(\hat{AMB}\) nên

\(\frac{AM}{BM}=\frac{AD}{BD}\)

hay \(\frac{AM}{15}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}\)

Do đó \(AM=\frac{3}{2}.15=22,5\) (cm).

a) Ở mỗi mặt, có \(4\) hình lập phương nhỏ được sơn một mặt (các hình được gạch sọc).

Ở sáu mặt có: \(4.6=24\) (hình).

b) Ở mỗi cạnh, có \(2\) hình lập phương được sơn hai mặt (các hình ghi dấu "\(x\)").

Ở \(12\) cạnh có : \(2.12 = 24\) (hình).

a) Xét \(\Delta A E H\) và \(\Delta A H B\) có:

\(\hat{B A H}\) chung

\(\hat{A E H} = \hat{A H B} = 9 0^{\circ}\)

Do đó \(\Delta A E H \sim \Delta A H B\) (g.g)

Suy ra \(\frac{A H}{A B} = \frac{A E}{A H}\) hay \(A H^{2} = A E . A B\) (1)

b) Chứng minh tương tự \(\Delta A H F \sim \Delta A C H\) (g.g) 

Suy ra \(\frac{A H}{A C} = \frac{A F}{A H}\) hay \(A H^{2} = A F . A C\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A E . A B = A F . A C\)

c) Ta có \(A E . A B = A F . A C\) nên \(\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}\).

Xét \(\Delta A E F\) và \(\Delta A C B\) có:

\(\hat{E A F}\) chung

\(\frac{A E}{A C} = \frac{A F}{A B}\) (cmt)

Do đó \(\Delta AEF\sim\Delta ACB\) (c.g.c).

Suy ra \(\frac{E F}{C B} = \frac{P_{A E F}}{P_{A C B}} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}\) (tỉ số chu vi bằng tỉ số đồng dạng)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có \(\frac{S_{A E F}}{4} = \frac{S_{A C B}}{9} = \frac{S_{A C B} - S_{A E F}}{9 - 4} = \frac{25}{5} = 5\)

Suy ra

\(S_{A E F} = 5.4 = 20\) cm\(^{2}\);

\(S_{A C B} = 5.9 = 45\) cm\(^{2}\).

Vậy \(S_{A E F} = 20\) cm\(^{2}\) và \(S_{A C B} = 45\) cm\(^{2}\).

Xác suất cho biến cố "Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3" là: \(\frac{6}{20} = \frac{3}{10}\).

Gọi vận tốc riêng của ca nô là \(x\) (km/h, \(x > 3\)).

Vận tốc ca nô khi đi xuôi khúc sông từ \(A\) đến \(B\) là: \(x + 3\) (km/h);

Vận tốc ca nô khi đi ngược khúc sông từ \(B\) về \(A\) là: \(x - 3\) (km/h);

Khúc sông \(A B\) có chiều dài không đổi nên ta có phương trình: \(\frac{3}{2} \left(\right. x + 3 \left.\right) = 2 \left(\right. x - 3 \left.\right)\).

Giải phương trình trên ta nhận được \(x = 21\) (thỏa mãn)

Do đó vận tốc riêng của ca nô là \(21\) km/h.

Chiều dài khúc sông là: \(2 \left(\right. 21 - 3 \left.\right) = 36\) (km).

Vậy vận tốc riêng của cano là \(21\) km/h, chiều dài khúc sông là \(36\) km .

a. Ta có: \(3 x - 4 = 5 + x\)

\(3 x - x = 5 + 4\)

\(2 x = 9\)

\(x = \frac{9}{2}\).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm \(x = \frac{9}{2}\).

b. Ta có: \(3 \left(\right. x - 1 \left.\right) - 7 = 5 \left(\right. x + 2 \left.\right)\)

\(3 x - 3 - 7 = 5 x + 10\)

\(5 x - 3 x = - 3 - 7 - 10\)

\(2 x = - 20\)

\(x = - 10\).

Vậy phương trình có nghiệm \(x = - 10\).

Xét \(\Delta A B C\) có \(A B = 10\) cm, \(A C = 17\) cm, \(B C = 21\) cm.

Gọi \(A H\) là đường cao của tam giác.
Vì \(B C\) là cạnh lớn nhất của tam giác nên \(\hat{B} , \hat{C} < 9 0^{\circ}\),C

<90∘, do đó \(H\) nằm giữa \(B\) và \(C\).

Đặt \(H C = x , H B = y\), ta có : \(x + y = 21\) (1)

Mặt khác \(\left(A H\right)^{2} = 1 0^{2} - y^{2} , \left(A H\right)^{2} = 1 7^{2} - x^{2}\) nên \(x^{2} - y^{2} = 1 7^{2} - 1 0^{2} = 289 - 100 = 189\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(x + y = 21\), \(x - y = 9\).

Do đó \(x = 15\), \(y = 6\).

Ta có \(\left(A H\right)^{2} = 1 0^{2} - 6^{2} = 64\) nên \(A H = 8\).

Vậy \(S_{A B C} = \frac{21.8}{2} = 84\) (cm\(^{2}\)).

Chiều cao của mỗi hình chóp tứ giác đều là:

     \(30 : 2 = 15\) (m).

Thể tích của lồng đèn quả trám là:

     \(V = 2. \left(\right. \frac{1}{3} . 20.20.15 \left.\right) = 4 000\) (cm\(^{3}\)).