Cho hai đa thức:
\(A \left(\right. x \left.\right) = 2 x^{3} - 5 x^{2} - 7 x - 2024\)
\(B \left(\right. x \left.\right) = - 2 x^{3} + 9 x^{2} + 7 x + 2025\)

a) Tính \(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\)

Ta có:
\(H \left(\right. x \left.\right) = A \left(\right. x \left.\right) + B \left(\right. x \left.\right)\)
\(H \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x^{3} - 5 x^{2} - 7 x - 2024 \left.\right) + \left(\right. - 2 x^{3} + 9 x^{2} + 7 x + 2025 \left.\right)\)
\(H \left(\right. x \left.\right) = \left(\right. 2 x^{3} - 2 x^{3} \left.\right) + \left(\right. - 5 x^{2} + 9 x^{2} \left.\right) + \left(\right. - 7 x + 7 x \left.\right) + \left(\right. - 2024 + 2025 \left.\right)\)
\(H \left(\right. x \left.\right) = 0 x^{3} + 4 x^{2} + 0 x + 1\)
\(H \left(\right. x \left.\right) = 4 x^{2} + 1\)

b) Chứng minh \(H \left(\right. x \left.\right)\) vô nghiệm

Xét phương trình:
\(H \left(\right. x \left.\right) = 0 \Rightarrow 4 x^{2} + 1 = 0\)
\(\Rightarrow 4 x^{2} = - 1 \Rightarrow x^{2} = - \frac{1}{4}\)

Vì \(x^{2} \geq 0\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\) nên phương trình vô nghiệm.

Vậy đa thức \(H \left(\right. x \left.\right)\) vô nghiệm.

a) Chứng minh tam giác CBD là tam giác cân.

Vì tam giác ABC vuông tại A nên ∠CAB = 90°.
Vì AD = AB và D nằm trên tia đối của AB nên tam giác ABD cân tại A.
⇒ ∠ABD = ∠ADB (hai góc ở đáy của tam giác cân).
Lại có ∠CBD = ∠ABD và ∠CDB = ∠ADB (vì cùng là góc với tam giác ABD).
⇒ ∠CBD = ∠CDB nên tam giác CBD là tam giác cân (có hai góc bằng nhau).

b) Gọi M là trung điểm của CD, đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng BM tại E. Chứng minh rằng BC = DE.

Ta có:

• M là trung điểm của CD nên đoạn BM nối từ B đến trung điểm của CD.
• Đường thẳng qua D và song song với BC nên gọi là đường thẳng d, mà d cắt BM tại E.

Vì DE // BC (giả thiết) và hai đoạn này cắt bởi các đoạn thẳng BM và CD, nên ta áp dụng tính chất hai đường thẳng song song bị cắt bởi các đường chéo nhau:
⇒ Tứ giác BCED là hình bình hành (vì có các cạnh đối song song và cắt nhau).

Mà trong hình bình hành, hai cạnh đối bằng nhau, nên:
⇒ BC = DE (đpcm).

Gọi số cây ba lớp 7A, 7B, 7C lần lượt trồng được là \(a , b , c\) (cây) (\(a , b , c \in N^{*}\) )

Theo đề bài ta có:

+) Tổng số cây ba lớp 7A, 7B, 7C trồng được là 118
Do đó: \(a + b + c = 118\)

+) Ba lớp 7A, 7B, 7C có lần lượt 18, 20, 21 học sinh và năng suất mỗi người như nhau
Suy ra: \(\frac{a}{18} = \frac{b}{20} = \frac{c}{21}\)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau kết hợp \(a + b + c = 118\) được:

\(\frac{a}{18} = \frac{b}{20} = \frac{c}{21} = \frac{a + b + c}{18 + 20 + 21} = \frac{118}{59} = 2\)

Suy ra: \(a = 18 \cdot 2 = 36\) (thỏa mãn điều kiện)

\(b = 20 \cdot 2 = 40\) (thỏa mãn điều kiện)

\(c = 21 \cdot 2 = 42\) (thỏa mãn điều kiện)

Vậy 7A: 36 cây

7B: 40 cây

7C: 42 cây

 Thể tích của khối gỗ hình hộp chữ nhật là: 9 x 6 x 5 = 270 (cm3) Thể tích khối gỗ hình lập phương cắt đi là: 4 x 4 x 4 = 64 (cm3) Thể tích phần gỗ còn lại là: 270 - 64 = 206 (cm3) Đáp số: 206cm3 .

 Thể tích của khối gỗ hình hộp chữ nhật là: 9 x 6 x 5 = 270 (cm3) Thể tích khối gỗ hình lập phương cắt đi là: 4 x 4 x 4 = 64 (cm3) Thể tích phần gỗ còn lại là: 270 - 64 = 206 (cm3) Đáp số: 206cm3 .

Hai số cần tìm là:

\(x = 16 + \sqrt{201} , y = 16 - \sqrt{201} \text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp};\text{ng}ượ\text{c}\&\text{nbsp};\text{l}ạ\text{i} .\)

Ta có:

\(\left{\right. A B + A C = 6 + 1 = 7 > B C \\ A B - A C = 6 - 1 = 5 < B C \Rightarrow B C = 6\)(Vì BC nguyên)

Vậy ABC là tam giác cân tại B

a) \(\angle C < \angle B < \angle A\)

b) Tam giác \(B C D\) cân tại \(C\)

c) \(D I\) cắt \(B C\) tại trung điểm của \(B C\)

Chọn 1 bạn nam có 1 cách.

Chọn 1 bạn trong 5 bạn nữ có \(C_{5}^{1} = 5\) cách

Theo quy tắc cộng, ta có : \(1 + 5 = 6\) cách chọn 1 bạn để phỏng vấn.

\(\Rightarrow n \left(\right. \Omega \left.\right) = 6\)

Gọi \(A : ‘ ‘\) Bạn được chọn ngẫu nhiên là nam  \("\)

Do trong đội múa chỉ có 1 nam nên \(\Rightarrow n \left(\right. A \left.\right) = 1\)

Xác suất của biến cố A là \(P \left(\right. A \left.\right) = \frac{n \left(\right. A \left.\right)}{n \left(\right. \Omega \left.\right)} = \frac{1}{6}\)

Xét đa thức \(P \left(\right. x \left.\right)\) có :

3 hạng tử là :

\(3 x^{2}\) có bậc là 2 ( bậc của x là 2 )

\(5 x\) có bậc là 1 ( bậc của x là 1 )

\(- 7 x^{6}\) có bậc là 6 ( bậc của x là 6 )

Hạng tử cao nhất trong đa thức P(x) là : \(- 7 x^{6}\) 

Vậy đa thức có bậc là : 6