a) Chứng minh tứ giác OMKB nội tiếp:

Chứng minh:

* OM ⊥ MK (vì MK là tiếp tuyến tại M của đường tròn (O)).

* BK ⊥ BK (vì BK là tiếp tuyến tại B của đường tròn (O)).

* Xét tứ giác OMKB, ta có:

∠OMK = 90° (cmt)

∠OBK = 90° (cmt)

* Tổng hai góc đối diện: ∠OMK + ∠OBK = 90° + 90° = 180°.

* Vậy, tứ giác OMKB nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 180°).

b) Chứng minh OK ⊥ MB:

Chứng minh:

* Vì OM = OB (cùng là bán kính của đường tròn (O)), nên tam giác OMB cân tại O.

* Do đó, đường phân giác của góc OMB cũng là đường trung trực của MB.

* Trong tứ giác nội tiếp OMKB, ta có:

∠MOK = ∠MBK (cùng chắn cung MK)

∠BOK = ∠BMK (cùng chắn cung BK)

* Xét tam giác OMB, OK là phân giác của góc OMB (do OM = OB).

* Vậy, OK là đường trung trực của MB.

* Do đó, OK ⊥ MB.

c) Chứng minh ∠EMK = ∠MFE và ∠OFE = ∠EHK:

Chứng minh ∠EMK = ∠MFE:

* Xét đường tròn (O), ta có:

∠EMK là góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung (MK là tiếp tuyến, ME là dây cung).

∠MFE là góc nội tiếp chắn cung ME.

* Theo tính chất, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung bằng góc nội tiếp cùng chắn cung.

* Vậy, ∠EMK = ∠MFE.

Chứng minh ∠OFE = ∠EHK:

* Ta có OK ⊥ MB (chứng minh trên), suy ra ∠OHB = 90°.

* Xét tam giác OHB vuông tại H, ta có:

∠OBH + ∠BOH = 90°

* Xét tam giác OEF cân tại O (vì OE = OF là bán kính), ta có:

∠OFE = (180° - ∠EOF) / 2

* Ta có: ∠EOF = 2 * ∠EBF (góc ở tâm bằng hai lần góc nội tiếp cùng chắn cung EF)

* Mà ∠EBF = ∠OBH (cùng chắn cung EF)

* => ∠EOF = 2 * ∠OBH

* => ∠OFE = (180° - 2 * ∠OBH) / 2 = 90° - ∠OBH

* Ta có: ∠EHK = 180° - ∠OHB - ∠BHK = 180° - 90° - ∠BHK

* Mà ∠BHK = ∠OBH (cùng chắn cung EF)

* => ∠EHK = 90° - ∠OBH

* Vậy, ∠OFE = ∠EHK.

Đặt ẩn và xác định các đại lượng:

* Gọi x (dm) là độ dài cạnh đáy hình vuông (x > 0).

* Gọi h (dm) là chiều cao của hộp (h > 0).

* Thể tích của hộp: V = x² * h = 8 dm³

* Diện tích toàn phần của hộp: S = 2x² + 4xh

Biểu diễn h theo x:

* Từ V = x² * h = 8, suy ra h = 8/x²

Biểu diễn S theo x:

* Thay h = 8/x² vào công thức tính diện tích toàn phần:

S = 2x² + 4x •(8/x²)

S = 2x² + 32/x

Tìm giá trị nhỏ nhất của S:

* Để tìm giá trị nhỏ nhất của S, ta sử dụng đạo hàm:

S'(x) = 4x - 32/x²

* Tìm nghiệm của S'(x) = 0:

4x - 32/x² = 0

4x³ - 32 = 0

x³ = 8

x = 2 (vì x > 0)

* Kiểm tra dấu của S'(x):

* Với 0 < x < 2, S'(x) < 0 (hàm số giảm)

* Với x > 2, S'(x) > 0 (hàm số tăng)

* Vậy, S đạt giá trị nhỏ nhất khi x = 2.

Kết luận:

* Độ dài cạnh đáy của mỗi hộp muốn thiết kế là 2 dm.

Đáp án: 2 dm

Dưới đây là phân tích và so sánh thể tích của hai mẫu thiết kế để xác định mẫu nào có thể tích lớn hơn, từ đó dự trữ được nhiều nước hơn.

Mẫu 1: Bồn hình hộp đáy vuông

Xác định cạnh đáy:

* Gọi cạnh đáy hình vuông là a.

* Đường chéo đáy là 4 mét.

* Theo định lý Pythagoras: a² + a² = 4²

* 2a² = 16

* a² = 8

* a = √8 = 2√2 (mét)

Tính thể tích:

* Thể tích V₁ = diện tích đáy * chiều cao

* V₁ = a² * h = 8 * 2 = 16 (m³)

Mẫu 2: Bồn hình trụ

Xác định bán kính đáy:

* Đường kính đáy là 4 mét, nên bán kính r = 4/2 = 2 (mét)

Tính thể tích:

* Thể tích V₂ = π * r² * h

* V₂ = π * 2² * 2 = 8π (m³)

* Sử dụng giá trị gần đúng của π ≈ 3.14: V₂ ≈ 8 * 3.14 = 25.12 (m³)

So sánh thể tích:

* V₁ = 16 m³

* V₂ ≈ 25.12 m³

Kết luận:

V₂ > V₁

Mẫu 2 (bồn hình trụ) có thể tích lớn hơn mẫu 1 (bồn hình hộp đáy vuông).

Vậy, người đó nên chọn mẫu thiết kế 2 (bồn hình trụ) để dự trữ nước được nhiều nhất.

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi Δ > 0. Tính Δ:

Δ = b² - 4ac = [-2(m - 3)]² - 4 •1 • [-2(m - 1)]

Δ = 4(m² - 6m + 9) + 8(m - 1)

Δ = 4m² - 24m + 36 + 8m - 8

Δ = 4m² - 16m + 28

Δ = 4(m² - 4m + 7)

Giải bất phương trình Δ > 0:

4(m² - 4m + 7) > 0

m² - 4m + 7 > 0

(m - 2)² + 3 > 0

Vì (m - 2)² ≥ 0 với mọi m, nên (m - 2)² + 3 > 0 luôn đúng với mọi m.

Vậy, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

Sử dụng định lý Vi-ét:

Theo định lý Vi-ét, ta có:

x₁ + x₂ = -b/a = 2(m - 3)

x₁ • x₂ = c/a = -2(m - 1)

Biến đổi biểu thức T:

T = x₁² + x₂²

T = (x₁ + x₂)² - 2x₁x₂

Thay các giá trị từ định lý Vi-ét vào:

T = [2(m - 3)]² - 2 * [-2(m - 1)]

T = 4(m² - 6m + 9) + 4(m - 1)

T = 4m² - 24m + 36 + 4m - 4

T = 4m² - 20m + 32

Tìm giá trị nhỏ nhất của T:

Để tìm giá trị nhỏ nhất của T, ta biến đổi T về dạng bình phương:

T = 4(m² - 5m) + 32

T = 4(m² - 5m + 25/4) - 25 + 32

T = 4(m - 5/2)² + 7

Vì (m - 5/2)² ≥ 0 với mọi m, nên T đạt giá trị nhỏ nhất khi (m - 5/2)² = 0, tức là m = 5/2.

Giá trị nhỏ nhất của T là 7.

Kết luận:

• Giá trị của m để biểu thức T đạt giá trị nhỏ nhất là m = 5/2.

Đặt ẩn và xác định các đại lượng:

Gọi x (nghìn đồng) là số tiền điện nhà bác An dùng trong tháng 7.

Gọi y (nghìn đồng) là số tiền điện nhà bác Bình dùng trong tháng 7.

Theo đề bài, ta có x + y = 500.

Lập hệ phương trình:

Trong tháng 8:

Nhà bác An giảm 15% tiền điện, tức là dùng 85% số tiền điện của tháng 7: 0.85x

* Nhà bác Bình giảm 10% tiền điện, tức là dùng 90% số tiền điện của tháng 7: 0.9y

* Tổng số tiền điện tháng 8: 0.85x + 0.9y

* Tổng số tiền điện tiết kiệm được: (x + y) - (0.85x + 0.9y) = 65

* Ta có hệ phương trình:

* x + y = 500

* (x + y) - (0.85x + 0.9y) = 65

Giải hệ phương trình:

Rút gọn phương trình thứ hai:

x + y - 0.85x - 0.9y = 65

0.15x + 0.1y = 65

Từ phương trình thứ nhất, rút ra y = 500 - x.

Thay vào phương trình thứ hai:

0.15x + 0.1(500 - x) = 65

0.15x + 50 - 0.1x = 65

0.05x = 15

x = 300

Thay x = 300 vào y = 500 - x:

y = 500 - 300

y = 200

–> kết luận

Trong tháng 7, nhà bác An dùng hết 300 nghìn đồng tiền điện.

Trong tháng 7, nhà bác Bình dùng hết 200 nghìn đồng tiền điện.

Nhà bác An: 300 nghìn đồng

Nhà bác Bình: 200 nghìn đồng

1. Đặt ẩn và xác định các đại lượng:

* Gọi x là số xe ban đầu của đội (x > 0, x ∈ ℕ).

* Khi đó, mỗi xe dự định chở 120/x tấn hàng.

* Sau khi có thêm 5 xe, tổng số xe là x + 5.

* Khi đó, mỗi xe chở 120/(x + 5) tấn hàng.

2. Lập phương trình:

* Theo đề bài, mỗi xe chở ít đi 2 tấn so với dự định, nên ta có phương trình:

120/x - 120/(x + 5) = 2

3. Giải phương trình:

* Quy đồng mẫu số và giải phương trình:

120(x + 5) - 120x = 2x(x + 5)

120x + 600 - 120x = 2x^2 + 10x

2x^2 + 10x - 600 = 0

x^2 + 5x - 300 = 0

* Giải phương trình bậc hai:

(x - 15)(x + 20) = 0

=> x = 15 hoặc x = -20

* Loại nghiệm: Vì x > 0, nên x = 15.

4. Kết luận:

* Vậy, lúc đầu đội có 15 xe.

Để tính xác suất của biến cố "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 3", ta làm như sau:

1. Xác định không gian mẫu:

Không gian mẫu là tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra khi quay đĩa.

Trong trường hợp này, không gian mẫu là tập hợp các số {1, 2, 3, 4, 5, 6 } Số phần tử của không gian mẫu là 6.

2. Xác định các kết quả thuận lợi cho biến cố:

Biến cố "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 3" có nghĩa là kim chỉ vào số 3 hoặc số 6.

Các kết quả thuận lợi là {3, 6}.

Số kết quả thuận lợi là 2.

3. Tính xác suất:

Xác suất của một biến cố được tính bằng công thức:

P(biến cố) = (Số kết quả thuận lợi) / (Tổng số kết quả có thể)

Trong trường hợp này:

P("Số chia hết cho 3") = 2 / 6 = 1/3

Vậy, xác suất của biến cố "Chiếc kim chỉ vào hình quạt ghi số chia hết cho 3" là 1/3.

a) Tính giá trị của A tại x = 1/4**

* Thay x = 1/4 vào biểu thức A:

A = √(1/4) / (1/4 + 1)

* Tính toán:

A = (1/2) / (5/4)

A = (1/2) * (4/5)

A = 2/5

Vậy, giá trị của A tại x = 1/4 là 2/5.

b) Chứng minh rằng B = (x + 1) / (x - 1)

* Biến đổi biểu thức B:

B = 3/(√x + 1) + 1/(1 - √x) + (x + 5)/(x - 1)

B = 3/(√x + 1) - 1/(√x - 1) + (x + 5)/((√x - 1)(√x + 1))

* Quy đồng mẫu số:

B = (3(√x - 1) - (√x + 1) + x + 5) / ((√x - 1)(√x + 1))

* Thu gọn tử số:

B = (3√x - 3 - √x - 1 + x + 5) / ((√x - 1)(√x + 1))

B = (x + 2√x + 1) / ((√x - 1)(√x + 1))

B = (√x + 1)^2 / ((√x - 1)(√x + 1))

* Rút gọn (với điều kiện x ≠ 1):

B = (√x + 1) / (√x - 1)

B = (x + 1) / (x - 1)

*Vậy, B = (x + 1) / (x - 1) đã được chứng minh.

c) Tìm các giá trị của x thỏa mãn P ≤ 4

* Tính P = A • B:

P = (√x / (√x + 1)) • ((√x + 1) / (√x - 1))

P = √x / (√x - 1) (với x ≥ 0 và x ≠ 1)

* Giải bất phương trình P ≤ 4:

√x / (√x - 1) ≤ 4

√x ≤ 4(√x - 1)

√x ≤ 4√x - 4

4 ≤ 3√x

4/3 ≤ √x

(4/3)^2 ≤ x

16/9 ≤ x

* Kết hợp với điều kiện xác định: x ≥ 0 và x ≠ 1.

* Kết luận:

Vì 16/9 > 1, nên tập nghiệm của bất phương trình là: x ≥ 16/9

Vậy, các giá trị của x thỏa mãn P ≤ 4 là x ≥ 16/9.

Cách tính:

Tần số ghép nhóm:

* Đây là số lượng người có số lần truy cập Internet nằm trong khoảng [60; 70).

* Để xác định, ta cần đọc giá trị trên biểu đồ ứng với nhóm [60; 70).

Tần số tương đối ghép nhóm:

* Công thức: (Tần số ghép nhóm) / (Tổng số người được điều tra)

* Tổng số người được điều tra là 40.

* Kết quả sẽ là một số thập phân, thường được biểu diễn dưới dạng phần trăm.

Ví dụ minh họa (giả sử):

Giả sử, từ biểu đồ, ta đọc được rằng có 8 người có số lần truy cập Internet trong khoảng [60; 70).

1.Tần số ghép nhóm: = 8

2. Tần số tương đối ghép nhóm:

* (8 / 40) = 0.2

* 0.2 * 100% = 20%

Kết luận

* Tần số ghép nhóm của nhóm [60; 70) là 8.

* Tần số tương đối ghép nhóm của nhóm [60; 70) là 20%.