l like summer

Đề bài:

Cho:

\(A = \frac{2^{2023}}{2^{2023}} + \frac{3^{2024}}{3^{2024}} + \frac{5^{2025}}{5^{2025}} + 2^{2023}\) \(B = \frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \hdots + \frac{1}{2024 \times 2025}\)

Phân tích A:

\(A = 1 + 1 + 1 + 2^{2023} = 3 + 2^{2023}\)

Vì 3 số đầu tiên đều là 1 do tử và mẫu giống nhau.

Phân tích B:

Dãy này là một dạng tổng của phân số dạng:

\(\sum_{n = 1}^{2024} \frac{1}{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}\)

Ta có công thức rút gọn:

\(\frac{1}{n \left(\right. n + 1 \left.\right)} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}\)

Vậy tổng B là:

\(\left(\right. \frac{1}{1} - \frac{1}{2} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \left.\right) + \hdots + \left(\right. \frac{1}{2024} - \frac{1}{2025} \left.\right)\)

Đây là tổng rút gọn kiểu "telescoping", chỉ còn lại:

\(B = 1 - \frac{1}{2025} \approx 1 - 0.000494 \approx 0.9995\)

So sánh A và B:

• A = \(3 + 2^{2023}\)
• \(2^{2023}\) là một số rất lớn, xấp xỉ khoảng \(10^{609}\) → A là một số siêu khổng lồ.
• B chỉ xấp xỉ gần 1.

✅ Kết luận:

\(\boxed{A \gg B}\)

Tức là A lớn hơn B rất nhiều.