Điều kiện \(\begin{cases}x>0\\ \overset{}{5^{x}-m\ge0}\end{cases}\)

\(\Leftrightarrow\begin{cases}x>0\\ m\le5^{x}\end{cases}\)

(2log⁡32x−log⁡3x−1)5x−m=0(2log32​x−log3​x−1)5x−m​=0

⇔{x>0, 5x−m≥0[5x−m=02log⁡32x−log⁡3x−1=0⇔⎩⎨⎧​​x>0, 5x−m≥0[​5x−m=02log32​x−log3​x−1=0​​

⇔{x>0, 5x−m≥0[5x−m=0log⁡3x=−12log⁡3x=1⇔⎩⎨⎧​​x>0, 5x−m≥0​​5x−m=0log3​x=2−1​log3​x=1​​

⇔{x>0,5x−m≥0[x=log⁡5mx=312x=3⇔⎩⎨⎧​​x>0,5x−m≥0​​x=log5​mx=32​1​x=3​​

+ Khi m=1⇒x=log⁡21=0m=1⇒x=log2​1=0.

Vậy phương trình \(\left(\right. 2 \left(log ⁡\right)_{3}^{2} x - \left(log ⁡\right)_{3} x - 1 \left.\right) \sqrt{5^{x} - m} = 0\) có 2 nghiệm \(\left[\begin{array}{l}x=3^{\frac{1}{\sqrt2}}\\ x=3\end{array}\right.\)

+ m>1⇒x=log⁡5mm>1⇒x=log5​m là 1 nghiệm.

\(Đểphươngtrìnhcóđúng2nghiệmthì\frac{1}{\sqrt3}\le log⁡5m<3\)

\(\Leftrightarrow 5^{\frac{1}{\sqrt{3}}} \leq m < 5^{3}\)

\(\Leftrightarrow 2 , 53 \leq m < 125\).

Gọi \(O = A C \cap B D\)

\(\Rightarrow S O ⊥ \left(\right. A B C D \left.\right)\). Gọi \(H\) trung điểm của \(O D\).

Xét \(\Delta S O D\), \(M H\) là đường trung bình

\(\Rightarrow M H / / S O\) \(\Rightarrow M H ⊥ \left(\right. A B C D \left.\right)\).

Hình chiếu của đường thẳng \(B M\) trên mặt phẳng \(\left(\right. A B C D \left.\right)\) là \(B H\).

\(\Rightarrow \hat{\left(\right. B M ; \left(\right. A B C D \left.\right) \left.\right)} = \hat{\left(\right. B M ; B H \left.\right)} = \hat{M B H}\)

Xét tam giác vuông \(A B D\) có \(B D = \sqrt{A B^{2} + A D^{2}}\)\(= \sqrt{\left(\left(\right. 2 a \left.\right)\right)^{2} + \left(\left(\right. 2 a \left.\right)\right)^{2}}\)\(= 2 \sqrt{2} a\).

\(\Rightarrow B H = \frac{3}{4} B D = \frac{3 \sqrt{2} a}{2}\) và \(O D = \frac{1}{2} B D = \sqrt{2} a\).

Xét tam giác vuông \(S O D\) có:

\(S O = \sqrt{S D^{2} - O D^{2}}\)

\(= \sqrt{\left(\left(\right. 2 a \left.\right)\right)^{2} - \left(\left(\right. \sqrt{2} a \left.\right)\right)^{2}}\)

\(= \sqrt{2} a\).

\(\Rightarrow M H = \frac{1}{2} S O = \frac{\sqrt{2} a}{2}\).

Ta có: \(tan ⁡ \hat{M B H} = \frac{M H}{B H}\)

\(= \frac{\frac{a \sqrt{2}}{2}}{\frac{3 \sqrt{2} a}{2}}\)

\(= \frac{1}{3}\).

Gọi \(A\) là số tiền tối đa người này có thể vay, \(A_{i}\) là số tiền nợ sau tháng thứ \(i\). (đơn vị: triệu đồng)

\(r_{1} = \frac{5 \%}{12}\) là lãi suất/1 tháng, trong \(6\) tháng đầu

\(r_{2} = \frac{12 \%}{12} = 1 \%\) là lãi suất/1 tháng, từ tháng thứ 7 trở đi.

Sau 1 tháng, số tiền gốc và lãi là \(A \left(\right. 1 + r \left.\right)\), người đó trả \(15\) triệu nên còn nợ:

\(A_{1} = A \left(\right. 1 + r \left.\right) - 15\)

Sau tháng thứ 2:

\(A_{2} = A_{1} \left(\right. 1 + r_{1} \left.\right) - 15\)

\(= \left(\right. A \left(\right. 1 + r_{1} \left.\right) - 15 \left.\right) \left(\right. 1 + r_{1} \left.\right) - 15\)

\(= A \left(\left(\right. 1 + r_{1} \left.\right)\right)^{2} - \frac{15}{r_{1}} \left[\right. \left(\left(\right. 1 + r_{1} \left.\right)\right)^{2} - 1 \left]\right.\)

Sau tháng thứ 3:

\(A_{3} = A \left(\left(\right. 1 + r_{1} \left.\right)\right)^{3} - \frac{15}{r_{1}} \left[\right. \left(\left(\right. 1 + r_{1} \left.\right)\right)^{3} - 1 \left]\right.\)

…….

Sau tháng thứ 6:

\(A_{6} = A \left(\left(\right. 1 + r_{1} \left.\right)\right)^{6} - \frac{15}{r_{1}} \left[\right. \left(\left(\right. 1 + r_{1} \left.\right)\right)^{6} - 1 \left]\right.\).

Sau tháng thứ 7: \(A_{7} = A_{6} \left(\right. 1 + r_{2} \left.\right) - 15\)

Sau tháng thứ 8: \(A_{8} = A_{6} \left(\left(\right. 1 + r_{2} \left.\right)\right)^{2} - \frac{15}{r_{2}} \left[\right. \left(\left(\right. 1 + r_{2} \left.\right)\right)^{2} - 1 \left]\right.\)

………

Sau tháng thứ 240 (sau đúng 20 năm):

\(A_{240} = A_{6} \left(\left(\right. 1 + r_{2} \left.\right)\right)^{234} - \frac{15}{r_{2}} \left[\right. \left(\left(\right. 1 + r_{2} \left.\right)\right)^{234} - 1 \left]\right.\)

Vì phải trả hết nợ sau 20 năm nên:

\(A_{240} = 0\)

\(\Leftrightarrow A_{6} = \frac{15 \left[\right. \left(\left(\right. 1 + r_{2} \left.\right)\right)^{234} - 1 \left]\right.}{\left(\left(\right. 1 + r_{2} \left.\right)\right)^{234} r_{2}} \approx 1 353 , 819328\)

\(\Rightarrow A = \frac{A_{6} + \frac{15}{r_{1}} \left[\right. \left(\left(\right. 1 + r_{1} \left.\right)\right)^{6} - 1 \left]\right.}{\left(\left(\right. 1 + r_{1} \left.\right)\right)^{6}} \approx 1 \overset{\cdot}{4} 09 , 163992\).

Vậy người này có thể mua được căn nhà có giá trị tối đa là \(\frac{A}{85 \%} \approx 1 657 , 83999\) triệu đồng \(\approx 1 , 65784\) tỷ đồng.