Đặt \(� � = �\) (\(0 \leq � \leq 30\))

Chỉ ra được \(�_{� � � �} = �_{� � � �} - 4 �_{� � �} = 900 - 2 � \left(\right. 30 - � \left.\right)\)

Do đó \(2 �^{2} - 60 � + 900 = 2 \left(\right. � - 15 \left.\right)^{2} + 450 \geq 450\)

Dấu “\(=\)" xảy ra khi và chỉ khi \(� = 15\) (TM)

Vậy \(min ⁡ �_{� � � �} = 450\) m² khi \(� � = 15\).

a) Gọi \(�\) là trung điểm của \(� �\)

+) \(� �\) vuông góc \(� �\) tại \(�\), mà \(� \in � �\)

Suy ra \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\)

\(\Delta � � �\) vuông tại \(�\), từ đó suy ra : \(� � = � � = � �\)(1)

+ Ta có: \(\hat{� � �}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, nên \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\)

Hay  \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\), suy ra \(\Delta � � �\) vuông tại \(�\),

Suy ra \(� � = � � = � �\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(�\), \(�\), \(�\), \(�\) cùng thuộc một đường tròn đường kính \(� �\).

b) Xét \(\Delta � � �\) và \(\Delta � � �\) có:

\(\hat{� � �} = \hat{� � �} = 9 0^{\circ}\);

\(\hat{�}\): góc chung

Do đó \(\Delta � � � \sim \Delta � � �\) (g.g)

Suy ra: \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\)

Hay \(� � . � � = � � . � �\)

Suy ra \(� � . � � = 2 �^{2}\) (điều phải chứng minh)

+) Từ  \(\Delta � � � \sim \Delta � � �\) suy ra: \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\) hay \(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �}\)

Mà \(� �\) là tia phân giác của góc \(� � �\)nên suy ra:

\(\frac{� �}{� �} = \frac{� �}{� �} = \frac{\frac{3}{2} �}{\frac{1}{2} �} = 3\)

Suy ra \(\frac{� �}{� �} = \frac{1}{3}\)

Do đó, \(� � = 3 � �\).

c) Vì \(� � = 3 � �\), mà \(� � = � � \left(\right. = � \left.\right)\) nên \(� � = 3 � �\)

Suy ra \(� � = \frac{2}{3} � �\)

Suy ra \(�\) là trọng tâm tam giác \(� � �\).

\(� � ⊥ � �\) nên \(\hat{� � �} = 9 0^{\circ}\)

\(\Delta � � �\) vuông tại \(�\) có \(� � = � � \left(\right. = � \left.\right)\) nên là tam giác vuông cân tại \(�\) có đường cao \(� �\) đồng thời là đường trung tuyến nên \(�\) là trung điểm của \(� �\).

Suy ra \(�\), \(�\), \(�\), \(�\) thẳng hàng

Ta có \(� �\) cắt \(� �\) tại \(�\) nên \(�\) là trực tâm của \(\Delta � � �\)

\(� � ⊥ � �\) (3)

\(\Delta � � �\) có \(� � = � �\) (Vì \(� �\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền trong tam giác vuông cân \(� � �\)) nên \(\Delta � � �\) cân tại \(�\).

Suy ra \(� �\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao, hay \(� � ⊥ � �\)

Suy ra \(� � ⊥ � �\) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(�\), \(�\), \(�\) thẳng hàng. (điều phải chứng minh).

a) Thùng nước là một hình trụ có chiều cao \(ℎ = 1\) m, chu vi đáy là \(� = 2\) m.

Gọi \(�\) là bán kính đáy của hình trụ

Ta có : \(� = 2 � . �\), suy ra \(� = \frac{1}{�}\) (m)

Thể tích của hình trụ là : \(� = � �^{2} ℎ = � \left(\right. \frac{1}{�^{2}} \left.\right) . 1 = \frac{1}{�} \approx 0 , 32\) m³.

Vậy thùng đựng được \(0 , 32\) m³ nước.

b) Để lấy bóng, em bé chỉ cần đổ đầy nước vào thùng tôn. Em bé cần lấy ít nhất \(0 , 32\) m³ nước thì bóng nổi trên mặt thùng tôn khi đó sẽ an toàn.

a) Các kết quả có thể xảy ra là: \(1\); \(2\); \(3\); \(4\); ... ; \(18\); \(19\); \(20\).

\(\Omega = \left{\right. 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . ; 18 ; 19 ; 20 \left.\right}\).

b) Có \(3\) kết quả thuận lợi cho biến cố \(�\) là \(1 , 8 , 15\).

Vậy \(� \left(\right. � \left.\right) = \frac{3}{20} = 0 , 15\).

a) Bảng tần số tương đối:

b) Tỉ lệ phần trăm đại biểu sử dụng được ít nhất \(2\) ngoại ngữ là:

\(32 \% + 12 \% + 8 \% + 6 \% = 58 \%\).

c) Ý kiến đó đúng vì:
+ Tỉ lệ đại biểu sử dụng được \(3\) ngôn ngữ của \(1\) năm trước là: \(24 , 5 \%\).
+ Tỉ lệ đại biểu sử dụng được \(3\) ngôn ngữ của năm nay là:

\(12 \% + 8 \% + 6 \% = 26 \% > 24 , 5 \%\).

a) Với \(� = 2\), phương trình (1) trở thành:

\(�^{2} - 4 � + 3 = 0\)

Vì \(� + � + � = 1 - 4 + 3 = 0\) nên \(�_{1} = 1\) và \(�_{2} = 3\).

Vậy với \(� = 2\), phương trình có hai nghiệm là \(�_{1} = 1\) và \(�_{2} = 3\).

b) Vì \(� = 1 \neq 0\) nên phương trình đã cho là phương trình bậc hai.

Ta có: \(\Delta^{'} = \left(\right. - � \left.\right)^{2} - \left(\right. �^{2} - 1 \left.\right) = 1\)

Vì \(\Delta^{'} = 1 > 0\) với mọi giá trị của \(�\) nên phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của \(�\), hai nghiệm đó là: \(� - 1\) và \(� + 1\).

Vì \(�_{1} < �_{2}\) nên \(�_{1} = � - 1\) và \(�_{2} = � + 1\)

Thay \(�_{1} = � - 1\) và \(�_{2} = � + 1\) vào đẳng thức \(2 �_{1}^{2} - �_{2} = - 2\) ta được:

\(2 \left(\right. � - 1 \left.\right)^{2} - \left(\right. � + 1 \left.\right) = - 2\)

\(2 �^{2} - 5 � + 3 = 0\)

Vì \(2 + \left(\right. - 5 \left.\right) + 3 = 0\) nên \(�_{1} = 1\); \(�_{2} = \frac{3}{2}\)

Vậy \(� \in \left{\right. 1 ; \frac{3}{2} \left.\right}\).